1、2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z 满足 z（1+2i）3+i，i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 （ ）A +6i Bl i C 6i D1+i2 （5 分）已知集合 Ax|3xa0，Bx|log 2（x2 ）1 ，若 BA，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，6） B （，6 C （，12） D （12，+）3 （5 分）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩
2、的概率为（ ）A B C D4 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米（ ）A96 石 B78 石 C60 石 D42 石5 （5 分）已知 P（m，2）为角 终边上一点，且 tan（+ ）3，则 cos（ ）A B C D6 （5 分）在直角三角形 ABC 中，A90，AB2，AC4，P 在ABC
3、斜边 BC 的中线 AD 上，则 （ + ）的最大值为（ ）A B C D7 （5 分）已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd若 f（x）2019+（xa） （xb）的零点为 c，d，则下列不等式正确的是（ ）第 2 页（共 25 页）Aacdb Badcb Ccdab Dc abd8 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D，中，E，F 分别为棱 AA1、BB 1 的中点，M 为棱 A1B1 上的一点，且 A1M （02） ，设点 N 为 ME 的中点，则点 N 到平面D1EF 的距离为（ ）A B C D9 （5 分）已知正项等比
4、数列a n满足 a9a 8+2a7，若存在两项 am，a n，使得aman2a 12，则 + 的最小值为（ ）A2 B C3 D310 （5 分）已知双曲线 C： 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，O 为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF 2 分别交双曲线 C 左、右支于另一点M，N 若| PF1|2| PF2|，且 MF2N60，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy2x Dy 11 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D12 （5 分）已知 F1
5、，F 2 分别为椭圆 + l1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 PF1 交椭圆于点 Q，若 PF2PQ ，且| PF2|PQ|，则椭第 3 页（共 25 页）圆的离心率为（ ）A B 1 C D2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则（x +l） 2+（y+1） 2 的最小值为 14 （5 分）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 10个专业中，选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有
6、 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答） 15 （5 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，定义a n的“优值”为 H，现已知a n的“优值”H n2 n，则 Sn 16 （5 分）关于 x 的方程 kx 2 在区间 ，e上有两个实根，则实数 k 的最小值是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
7、分别是 a，b，c，已知 a2csinA 且cb（）求角 C 的大小；（）若 b8，延长 AB 至 D，使 BCBD，且 AD10 ，求ACD 的面积18 （12 分）如图，已知四棱锥 EABCD 的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，（1）求证：平面 EAB平面 ABCD（2）求二面角 AECD 的余弦值第 4 页（共 25 页）19 （12 分）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有人参加，现将所有参加者按年龄情况分为20，25） ，25 ，30） ， 30，35） ，35，40） ，40 ，45） ，45，50 ） ，50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示，已
8、知 25.30）这组的参加者是 6 人（）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；（）已知35，40）和40，45）这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的概率；（）组织者从45，55）这组的参加者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 3 名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 X，求 X 的分布列和均值20 （12 分）已知椭圆 C 的方程为 + l ，A 是椭圆上的一点，且 A 在第一象限内，过 A 且斜率等于 l 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于原
9、点的对称点为 D（）证明：直线 BD 的斜率为定值；（）求ABD 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）（ax+l）e x，a R（）当 al 时，证明 f（x）+ 0：（）当 a 时，对于两个不相等的实数 x1、x 2 有 f（x 1）f（x 2） ，求证：第 5 页（共 25 页）xl+x22（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 （本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 8 sin（ +
10、 ） （l）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点 P（1，0）作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 +的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1（1）解关于 x 的不等式 g（x）| xl |：（2）如果对x R，不等式|g（x）| c|xl |恒成立，求实数 c 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z 满足
11、 z（1+2i）3+i，i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 （ ）A +6i Bl i C 6i D1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解：由 z（1+2 i）3+i，得 z ， 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax|3xa0，Bx|log 2（x2 ）1 ，若 BA，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，6） B （，6 C （，12） D （12，+）【分析】解不等式简化集合 A、B，由 BA 得等价不等式，从而可得实数 a 的取值范围【解答】解：3xa0，x ，A
12、 ，+） ，log 2（x2） 1log 22，0x22，2x4，B（2，4 ，BA ， 2，a6，实数 a 的取值范围是（，6故选：B第 7 页（共 25 页）【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用及不等式的解法，属基础题3 （5 分）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A B C D【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论【解答】解：由茎叶图知： 90，设被污损的数字为 a， （83+83+87+90+99+a）88.4+ ，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，8
13、8.4+ 90，解得 a8，a8 或 a9，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ，故选：D【点评】本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出 x 的值是解决本题的关键4 （5 分）我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米（ ）A96 石 B78 石 C60 石 D42 石【分析】今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构
14、成等差数列，利用通项公式求和公式即可得出【解答】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，第 8 页（共 25 页）d 18，3a1+3（18）180，解得 a178（石） 乙应该分得白米 781860 石故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）已知 P（m，2）为角 终边上一点，且 tan（+ ）3，则 cos（ ）A B C D【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得 m 的值，可得cos 的值【解答】解：P（m，2）为角 终边上一点，t
15、an ，再根据 tan（+ ）3 ，m4，x4，y2，r| OP| 2 ，则 cos ，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题6 （5 分）在直角三角形 ABC 中，A90，AB2，AC4，P 在ABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则 （ + ）的最大值为（ ）A B C D【分析】利用已知条件，建立坐标系，利用斜率的数量积化简，结合二次函数的性质求解最值即可【解答】解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角第 9 页（共 25 页）坐标系，则 B（2，0） ，C（0，4） ，D（1，2）设
16、 P（x ，2x） ，所以 （2 x，2x） ， （x，42x） ， （x，2x） ，（ + ）10x 2+10xx 时数量积取得最大值： 故最大值为 故选：B【点评】本题考查斜向量的数量积以及向量的坐标运算，二次函数的性质的应用，考查计算能力7 （5 分）已知 a，b，c，d 都是常数，ab，cd若 f（x）2019+（xa） （xb）的零点为 c，d，则下列不等式正确的是（ ）Aacdb Badcb Ccdab Dc abd【分析】根据题意，设 g（x）（xa） （x b） ，分析可得 g（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0）和（b，0） ，对于 f（x ）2019+（xa）
17、 （xb）0，即 g（x）2019，由函数零点的定义可得 g（x）的图象与 y2019 的交点为（c，2019）和（d，2019） ，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，设 g（x）（xa） （x b） ，则 f（x）g（x）+2019，若 g（x）0，则 xa 或 x b，即函数 g（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0）和（b，0） ，对于 f（x）2019+（xa） （xb）0，即 g（x）2019，若 f（x）2019+（xa） （xb）的零点为 c，d，则 g（x）的图象与 y2019 的交点为（c，2019）和（d，2019） ，则有 acdb；第 10 页（共 2
18、5 页）故选：A【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数零点的定义，注意结合二次函数的性质进行分析8 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D，中，E，F 分别为棱 AA1、BB 1 的中点，M 为棱 A1B1 上的一点，且 A1M （02） ，设点 N 为 ME 的中点，则点 N 到平面D1EF 的距离为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 N 到平面 D1EF 的距离【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z
19、轴，建立空间直角坐标系，E（2，0，1） ，M（2， ，2） ，N （2， ， ） ，D 1（0， 0，2） ，F（2，2，1） ，（0，2，0） ， （2，0，1） ， （0， ， ） ，设平面 D1EF 的法向量 （ x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，0，2） ，第 11 页（共 25 页）点 N 到平面 D1EF 的距离为：d 故选：D【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9 （5 分）已知正项等比数列a n满足 a9a 8+2a7，若存在两项 am，a n，使得aman2a 12，则 + 的最小值为（
20、 ）A2 B C3 D3【分析】正项等比数列a n满足 a9a 8+2a7，可得 a7q2a 7（q+2） ，化为：q2q20，q0，解得 q2若存在两项 am，a n，使得 aman2a 12，利用通项公式，化为：m+n3 可得 m1，n2；或 m2，n1即可得出【解答】解：正项等比数列a n满足 a9a 8+2a7，a 7q2a 7（q+2） ，化为：q2q20，q0，解得 q2若存在两项 am，a n，使得 aman2a 12，则 a122m1 2n1 2a 12，化为：m+n3m1，n2；或 m2，n1则 + 3 或 其最小值为 3故选：C第 12 页（共 25 页）【点评】
21、本题考查了等比数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）已知双曲线 C： 1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，O 为坐标原点P是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF 2 分别交双曲线 C 左、右支于另一点M，N 若| PF1|2| PF2|，且 MF2N60，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ay By Cy2x Dy 【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得 a 与 c 的关系，再求出 a 与 b 关系即可求出渐近线方程【解答】解：由题意，|PF 1|2|PF 2|，|PF 1|PF 2|2a，|PF 1| 4a，|PF 2|2a，
22、MF 2N60 ，F 1PF260，由余弦定理可得 4c216a 2+4a224a2acos60，c a，b a ，双曲线 C 的渐近线方程为 y x故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题11 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该第 13 页（共 25 页）几何体的体积为（ ）A B C D【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形 ABC 为直角三角形，ABBC ，AB 4，BC 8，三棱锥的高为 4然后由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为
23、三棱锥，底面三角形 ABC 为直角三角形，ABBC，AB 4，BC8，三棱锥的高为 4 故选：C【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题12 （5 分）已知 F1，F 2 分别为椭圆 + l1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 PF1 交椭圆于点 Q，若 PF2PQ ，且| PF2|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A B 1 C D2【分析】由题意可得PQF 1 为等腰直角三角形，设| PF1|t ，|QF 1|m，运用椭圆的定义可得|PF 2|2at，| QF2|2am，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心
24、率【解答】解：PF 1PQ 且| PF1|PQ|，可得PQF 1 为等腰直角三角形，设|PF 1| t，| QF1|m，第 14 页（共 25 页）由椭圆的定义可得|PF 2|2at，| QF2|2am，即有 t4atm，m t，则 t2（2 ）a，在直角三角形 PF1F2 中，可得 t2+（2a t） 24c 2，4（64 ）a 2+（128 ）a 24c 2，化为 c2（96 ）a 2，可得 e 故选：A【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13
25、（5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则（x +l） 2+（y+1） 2 的最小值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义以及距离公式进行求解即可【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 ，对应的平面区域如图：z 的几何意义为区域内的点到定点 D（1 ，1）的距离的平方，由图象知，D 到直线 AB：x+y10 的距离最小，此时 d ，则 zd 2（ ） 2 ，故答案为： 第 15 页（共 25 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键14 （5 分）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的 10个专
26、业中，选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 672 种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答） 【分析】使用间接法，先去掉限制条件求得 720，再减去不符合题意得 48 可得【解答】解：使用间接法：从 10 个专业中任选 3 个专业填报，共有 A 720 种，其中甲，乙同时兼报的有：C A 48，故符合题意的填报志愿的方法种数为：72048672 种故答案为：672【点评】本题考查了排列，组合及简单技术问题，属中档题15 （5 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，定义a n的“优值”为 H，现已知a n的“优值”H n2 n，则 Sn &nbs
27、p; 【分析】可令 n1，将 n 换为 n1，作差可得 ann+1，由等差数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：由 Hn 2 n，得 a1+2a2+2n1 ann2 n， n2 时，a 1+2a2+2n2 an 1（n1）2 n1 ，得 2n 1ann2 n（ n1）2 n1 （n+1）2 n1 ，即 ann+1 ，第 16 页（共 25 页）对 n1 时，a 12 也成立，则 Sn ，故答案为： ，【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的求和公式和运用，以及运算能力，属于基础题16 （5 分）关于 x 的方程 kx 2 在区间 ，e上有两个实根，则实数 k 的最小值是 【分析】
28、根据函数与方程之间的关系进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性，利用数形结合进行判断即可【解答】解：由 kx 2 得 kx2 ，设 g（x） ，则 g（x） ，则当 x ，e时，g（x ） 0，即函数在 ，e上为增函数，且 g（e ） ，直线 ykx2 过定点（0，2） ，设过点（0，2）与 g（x）相切的切线为 l，若方程 kx 2 在区间 ，e 上有两个实根，则直线 ykx2 在切线 l 与过 A（e， ）的直线之间，由图象知当直线过 A 时直线的斜率最小，此时 k 的最小值为 k ，故答案为：第 17 页（共 25 页）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的
29、关系转化为直线和 g（x）的交点个数问题，利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a2csinA 且cb（）求角 C 的大小；（）若 b8，延长 AB 至 D，使 BCBD，且 AD10 ，求ACD 的面积【分析】 （）由正弦定理化 a2csin A，即可求出 sinC 的值，从而求出 C；（）根据图形设 BCx ，利用
30、余弦定理求出 x 的值，再求出 AB 的值，利用正弦定理求出 sinA，即可计算ACD 的面积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）ABC 中， a2csinA，由正弦定理得： sinA2sinCsin A，由 sinA0，可得：sinC ，又 cb，C ； （6 分）（）如图所示，设 BCx，则 AB10x，在ABC 中，由余弦定理得：（10x） 2x 2+822x8cos ，求得 x3，即 BC3，第 18 页（共 25 页）所以 AB7，（8 分）在ABC 中，由正弦定理有 ，sinA ， （10 分）ACD 的面积为：S ACADsinA 810 （12 分）【点评】本题考查了正弦
31、、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，已知四棱锥 EABCD 的底面为菱形，且ABC60，ABEC2，（1）求证：平面 EAB平面 ABCD（2）求二面角 AECD 的余弦值【分析】 （1）取 AB 的中点 O，连接 EO，CO，证明 EOAB，EOCO，推出 EO平面 ABCD，即可证明平面 EAB平面 ABCD（2）以 AB 的中点 O 为坐标原点， OB 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，如图建系求出平面 DCE 的法向量，求得平面 EAC 的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角 AECD 的余弦
32、值【解答】 （1）证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，CO， ，AEB 为等腰直角三角形，EOAB，EO1又ABBC， ABC 60 ，ABC 是等边三角形 ，EC2，EC 2EO 2+CO2EOCOEO平面 ABCD，又 EO平面 EAB，第 19 页（共 25 页）平面 EAB平面 ABCD（2）解：以 AB 的中点 O 为坐标原点， OB 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，如图建系则 A（0，1，0） ， ， ，E（0，0，1） ， ，设平面 DCE 的法向量为 ，则 ，即 ，解得： ，同理求得平面 EAC 的一个法向量为，所以二面角 AECD 的余弦值为 【点评】本题考
33、查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有人参加，现将所有参加者按年龄情况分为20，25） ，25 ，30） ， 30，35） ，35，40） ，40 ，45） ，45，50 ） ，50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示，已知 25.30）这组的参加者是 6 人（）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；（）已知35，40）和40，45）这两组各有 2 名数学教师，现从这两个组中各选取 2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组
34、选出的人中恰有 1 名数学老师的概率；第 20 页（共 25 页）（）组织者从45，55）这组的参加者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 3 名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 X，求 X 的分布列和均值【分析】 （）根据概率和为 1 可得矩形30，35）高为 0.06，再根据中位数的概念可得；（）记事件 A 为“从年龄在35，40）和40 ，45）之间选出的 2 人中恰有 1 名数学教师“，年龄在35，40）之间的人数为 8，年龄在40 ， 45）之间的人数为 6，再根据古典概型概率公式可得；（）年龄在45，55）之间的人数为 6 人，其中女教师 4 人，X 的可能取值
35、为1，2，3，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，再写出分布列并根据期望公式求出期望【解答】解：（）设矩形在30，35）的高为 x，（0.01+0.03+x +0.04+0.03+0.02+0.01）51，x0.06由（0.01+0.03+0.06+0.04）50.5，中位数为 35（）记事件 A 为“从年龄在35，40）和40 ，45）之间选出的 2 人中恰有 1 名数学教师“，年龄在35，40）之间的人数为 8，年龄在40 ，45）之间的人数为 6，P（A） + （）年龄在45，55）之间的人数为 6 人，其中女教师 4 人，X 的可能取值为 1，2，3，第 21 页（共 25 页）
36、P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，X 的分布列为：X 1 2 3PE（X）1 +2 +3 2【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题20 （12 分）已知椭圆 C 的方程为 + l ，A 是椭圆上的一点，且 A 在第一象限内，过 A 且斜率等于 l 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于原点的对称点为 D（）证明：直线 BD 的斜率为定值；（）求ABD 面积的最大值【分析】 （）利用点差法即可求证直线 BD 的斜率为定值；（）设直线 BD 的方程，由 SABD 2S OBD ，将直线 BD 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得
37、ABD 面积的最大值【解答】 （）证明：设 D（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 A（x 1，y 1） ，直线 BD 的斜率k ，由 ，两式相减 ，由直线 kAB 1，所以 k ，第 22 页（共 25 页）所以直线 BD 的斜率为定值 ；（）解：因为 A，D 关于原点对称，所以 SABD 2S OBD ，由（）知 BD 的斜率 k ，设 BD 方程为 y x+t，因为 D 在第三象限，所以 t1 且 t0，O 到 BD 的距离 d ，由 ，整理得：3x 2+4tx+4（t 22）0，所以 x1+x2 ，x 1x2 ，所以 SABD 2 SOBD 2 |BD|d | t| 2 ，
38、当且仅当 t 时等号成立，所以 ABD 面积的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（ax+l）e x，a R（）当 al 时，证明 f（x）+ 0：（）当 a 时，对于两个不相等的实数 x1、x 2 有 f（x 1）f（x 2） ，求证：xl+x22【分析】 （）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可证明，（）先判断函数 f（x ）的单调区间，再构造函数 g（x）f（x）f（2x） ，证明函数 g（x）的单调性，根据 x1x 2，且 f（x 1）f （x
39、 2） ，可得 x1，x 2 不在同一个单调区间内，不妨设 x11x 2，利用函数的单调性即可证明【解答】证明：（）a1，第 23 页（共 25 页）f（x）（x+l）e x，f（x）（ x+2）e x，f（x）在（ ，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，f（x） minf（2） ，即 f（x）+ 0（） 当 a 时，f（x ）（ x+l）e x，f（x） （1x）e x，f（x）在（ ，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，令 g（x）f（ x）f（2x ） ，g（x）（ x+l）e x xe2x ，g（x） （1x ） （e xe 2x ） ，当 x（1，+）时，1x0，x2x，e
40、xe 2x 0，g（x）0，g（x）在（1，+）单调递减，g（x）g（1）f（1）f（1）0，即 f（x）f（2x）0，f（x）在（ ，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，x 1x 2，且 f（x 1）f（x 2） ，x 1，x 2 不在同一个单调区间内，不妨设 x11x 2，由以上可知 f（x 2）f（2x 2） ，f（x 1）f（x 2） ，f（x 1）f（2x 2） ，x 11，2x 21，f（x）在（ ，1）上单调递增，x 12x 2，x l+x22【点评】本题考查了导数和函数的单调性，最值得关系，不等式的证明，考查了运算能第 24 页（共 25 页）力，推理论证能力，转化与化归能
41、力，属于中档题（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 （本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 8 sin（ + ） （l）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点 P（1，0）作倾斜角为 45的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 +的值【分析】 （1）两边同乘 ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；（2）先得到直线 l 的参数过程，联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程
42、，根据参数的几何意义可得【解答】解：（1）由 8 sin（ + ）得 28 （sin cos +cossin ） ，可得 x2+y28x8y0（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，将其代入圆 C 的方程可得：t 27 t70，设 A，B 对应的参数分别是 t1，t 2，则 t1+t27 ，t 1t27，所以 + + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1（1）解关于 x 的不等式 g（x）| xl |：（2）如果对x R，不等式|g（x）| c|xl |恒成立，求实数 c 的
43、取值范围【分析】 （1）由题意求出函数 g（x）的解析式，再用分类讨论法解关于 x 的不等式g（x）|xl|；（2）利用分离常数法把不等式|g（x ）|c|x l| 化为 c|2x1| |x1|，令 h（x）|2 x1| |x1|，第 25 页（共 25 页）求 h（x）的最小值即可【解答】解：（1）由函数 f（ x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）2x+1，则y2（x）+1，所以 y2 x1；所以 g（x）2x 1，所以不等式 g（x ）|xl |化为 2x 1| x1|，当 x1 时，不等式化为 2x1x1，解得 x0，所以 x1；当 x1 时，不等式化为 2x11x，解得 x ，所以 x1；综上所述，不等式的解集为 ，+ ） ；（2）对xR，不等式 |g（x ） |c|xl |恒成立，即|2 x1| c|x 1|，所以 c|2x1|x 1|，令 h（x）|2x1| |x 1|，则 h（x） ，所以 h（x）的最小值为 h（ ） ，则实数 c 的取值范围是 c 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是中档题