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2018年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2018 年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 A1, 0,1 ,By|y x 2,xA ,则 AB(  )A0 B1 C0 ,1 D0 ,12 (5 分)若复数 z 在复平面内对应的点在直线 x+y0 上,则|z| (  )A2 B C1 D23 (5 分)设双曲线 1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线的渐近线方程为(  )Ay x By x Cy x Dy 2x4 (5 分)已知某 7 个数的平均数为 4,

2、方差为 2,现加入一个新数据 4,此时这 8 个数的平均数为 ,方差为 s2,则(  )A ,s 22 B ,s 22 C ,s 22 D ,s 225 (5 分)下列说法正确的是(  )A直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线B直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线C直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线D直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M6 (5 分)已知 a ,blog 2017 ,c log 2018 ,则 a,b,c 的大小关系为(  )Aabc Bac

3、b Cbac Dc ba7 (5 分)已知函数 f(x )(mx +n) (x 1)为偶函数,且在( ,0)单调递增,则f(2x )0 的解集为(    )A (1,3) B (,1)(3,+)C (1,1) D (, 1)(1,+)8 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 m1,n3,输出的 x1.75,则空白判断框内应填的条件为(  )第 2 页(共 23 页)A|m n|1 B| mn|0.5 C|mn|0.2 D|mn|0.19 (5 分)已知等比数列a n的前 n 项和是 Sn,则下列说法一定成立的是(   )A若 a30,则 a20170

4、 B若 a40,则 a20180C若 a30,则 S20170 D若 a4 0,则 S2018010 (5 分)如图是某四面体的三视图,则该几何体最长的棱长为(  )A2 B2 C D311 (5 分)若函数 f(x )4sinxsin 2( + )+cos2 x1(0)在 , 内有且仅有一个最大值,则 的取值范围是(  )A ,5) B1,5) C (0, ) D (0, 12 (5 分)已知抛物线 C:y 22px(p0) ,过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若 3 ,且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)关于直线对称,则该抛物线的

5、焦点到准线的距离为(  )A4 B5 C D6二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知两个平面向量 , 满足| |1,| | ,且 与 的夹角为 120,则| |      14 (5 分)曲线 f(x )xe x 在点(1,f (1) )处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为     第 3 页(共 23 页)15 (5 分)若实数 x,y 满足 ,则| x3y| 的取值范围是     16 (5 分)如图,平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部,AB ,BC 2,

6、ACCD ,AC CD ,当ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为     三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n为等差数列,其中 a2+a38,a 53a 2(1)求数列a n的通项公式;(2)记 bn ,设b n的前 n 项和为 Sn求最小的正整数 n,使得 Sn 18 (12 分)如图,正三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AB2,AA 13,F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点,点 E 在棱

7、 BB1 上且 BF面 A1CE(1)求 BE 的长;(2)求正三棱柱 ABCA 1B1C1 被平面 A1CE 分成的左右两个几何体的体积之比19 (12 分)2018 年 4 月 4 日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实,推动我国数字经济发展和信息消费,今年移动流量资费将再降 30%以上,为响应第 4 页(共 23 页)国家政策,某通讯商计划推出两款优惠流量套餐,详情如下:套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 30 3000B 50 6000这两款套餐均有以下附加条款:套餐费用月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就会自动帮用户充值 2000M 流量,资

8、费 20 元;如果又超出充值流量,系统再次自动帮用户充值 2000M 流量,资费 20 元,以此类推此外,若当月流量有剩余,系统将自动清零,不可次月使用小张过去 50 个月的手机月使用流量(单位:M)的频数分布表如下:月使用流量分组 2000, 3000(3000,4000(4000,5000(5000,6000(6000,7000(7000,8000频数 4 5 11 16 12 2根据小张过去 50 个月的手机月使用流量情况,回答以下几个问题:(1)若小张选择 A 套餐,将以上频率作为概率,求小张在某一个月流量费用超过 50 元的概率(2)小张拟从 A 或 B 套餐中选定一款,若以月平均费

9、用作为决策依据,他应订购哪一种套餐?说明理由20 (12 分)已知椭圆 E: + 1(ab0)过点 ,且两个焦点的坐标分别为(1,0) , (1,0) (1)求 E 的方程;(2)若 A,B ,P 为 E 上的三个不同的点,O 为坐标原点,且 ,求证:四边形 OAPB 的面积为定值21 (12 分)设函数 f(x )(1+ax 2)e x1(1)若 a0,讨论 f(x )的单调性;(2)若 f(x)在 0,1上有两个零点,求 a 的取值范围(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 【选修 4-4:坐标系与参数方程 】 (10 分)第 5

10、 页(共 23 页)22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为()写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程;()设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B,P 为圆 C 上的任意一点,求的取值范围【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分)23已知函数 f(x )|2x 4|+|x+1|,x R(1)解不等式 f(x )9;(2)若方程 f(x )x 2+a 在区间0 ,2有解,求实数 a 的取值范围第 6 页(共 23 页)2018 年江西省重点中学盟

11、校高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 A1, 0,1 ,By|y x 2,xA ,则 AB(  )A0 B1 C0 ,1 D0 ,1【分析】把 A 中元素代入 B 中解析式求出 y 的值,确定出 B,找出两集合的交集即可【解答】解:把 A 中 x1,0,1 代入 B 中得:y 0,1,即 B0 ,1,则 AB0,1,故选:C【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 (5 分)若复数 z 在复平面内对应的点在直线 x+y0

12、上,则|z| (  )A2 B C1 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 的坐标,代入直线 x+y0 求得 a值,再由复数模的计算公式求解【解答】解:z 在复平面内对应的点( )在直线 x+y0 上, ,即 a2z1i,则| z| 故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题3 (5 分)设双曲线 1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线的渐近线方程为(  )Ay x By x Cy x Dy 2x【分析】由题意可得 b,c,由双曲线的 a,b,c 的关系可得 a,再由双曲线的渐近线方程,即可得到【解答】解:由题

13、意可得,双曲线的 b1,c ,则 a ,第 7 页(共 23 页)则双曲线的渐近线方程为 y x,即为 y x故选:A【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查运算能力,属于基础题4 (5 分)已知某 7 个数的平均数为 4,方差为 2,现加入一个新数据 4,此时这 8 个数的平均数为 ,方差为 s2,则(  )A ,s 22 B ,s 22 C ,s 22 D ,s 22【分析】由题设条件,利用平均数和方差的计算公式进行求解即可【解答】解:某 7 个数的平均数为 4,方差为 2,则这 8 个数的平均数为 (74+4)4,方差为 s2 72+(44) 2 2故选:

14、A【点评】本题考查了平均数和方差的计算应用问题,是基础题5 (5 分)下列说法正确的是(  )A直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线B直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线C直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线D直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M【分析】依据空间中点线面的位置关系的判断定理定义及条件,对四个选项逐一判断找出正确命题,即可得到正确选项【解答】解:A 选项不正确,因为一条线平行于一个平面,则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面;B 选项正确,因为直线 a 与平面

15、 M 相交,则 a 与 M 内的任意一条直线位置关系是异面或相交;C 选项不正确,因为直线 a 不垂直于平面 M,则 a 与平面 M 内与它的投影垂直的直线是垂直关系;D 选项不正确,因为直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面可以垂直于 M第 8 页(共 23 页)故选:B【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解题的关键是有着较强的空间感知能力,且能根据点线面间的位置关系判定定理,相关的定义及条件进行灵活推理,即有着较强的推理论证能力6 (5 分)已知 a ,blog 2017 ,c log 2018 ,则 a,b,c 的大小关系为(  )Aabc Bacb Cbac

16、 Dc ba【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解:a 2018 01,0log 20171c log 2018 blog 2017 log 201720171,a,b,c 的大小关系为 abc故选:A【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题7 (5 分)已知函数 f(x )(mx +n) (x 1)为偶函数,且在( ,0)单调递增,则f(2x )0 的解集为(    )A (1,3) B (,1)(3,+)C (1,1) D (, 1)(1,+)【分析】根据题意,由偶函数

17、的性质可得 f(x )f(x) ,即(mx+n) (x1)(mx+n) (x1) ,变形可得 mn,结合函数在( ,0)单调递增,可得m0,则不等式 f(2x)0 可以转化为(x2) 21,解可得 x 的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x )(mx +n) (x 1)为偶函数,则有 f(x) f(x ) ,即( mx+n) (x1)(mx+n) (x 1) ,变形可得:mn,则 f(x)m(x +1) (x 1) m(x 21) ,又由 f(x)在( ,0)单调递增,则 m0,f(2x)0m(2x) 21 0(x2) 21,解可得:1x3,第 9 页(共 23 页)即不等式

18、 f(2x )0 的解集为(1,3) ;故选:A【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,关键是求出 m、n 的值8 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 m1,n3,输出的 x1.75,则空白判断框内应填的条件为(  )A|m n|1 B| mn|0.5 C|mn|0.2 D|mn|0.1【分析】模拟执行如图所示的程序框图,即可得出空白判断框内应填的条件是什么【解答】解:模拟执行如图所示的程序框图知,输入 m1,n3,x 2,不满足 2230,n2,不满足条件| mn|1?x 1.5,满足 1.5230,m 1.5,不满足条件|mn|0.5?,x 1.75,不满足 1.7

19、5230,n1.75,满足条件|mn|0.25?,输出 x1.75,则空白判断框内应填的条件为| mn|0.5故选:B【点评】本题考查了算法与程序语言的应用问题,是基础题9 (5 分)已知等比数列a n的前 n 项和是 Sn,则下列说法一定成立的是(   )A若 a30,则 a20170 B若 a40,则 a20180C若 a30,则 S20170 D若 a4 0,则 S20180【分析】根据题意,依次分析选项,对于 A、B、D 举出反例可得其错误,对于 C,由等比数列的前 n 项和分析可得 C 正确,即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于 A,对于等比数列a n,当 a

20、11,q1 时,则 an 1,满足 a30,但a201710,A 错误;对于 B,对于等比数列a n,当 a11,q1 时,满足 a410,但 a201810,B错误;对于 C,对于等比数列a n,若 a30,即 a1q20,则有 a10,第 10 页(共 23 页)当 q1 时,S 20172017a 10,当 q1 时,S 2017 ,分析可得 q1 与 q1 时,都有 S20170,C 正确;对于 D,对于等比数列a n,当 a11,q1 时,满足 a410,但 S20180,D 错误;故选:C【点评】本题考查等比数列前 n 项和的性质,关键是掌握等比数列前 n 项的公式10 (5 分)

21、如图是某四面体的三视图,则该几何体最长的棱长为(  )A2 B2 C D3【分析】利用三视图画出几何体的直观图,通过三视图的数据,判断最长的棱长,求解即可【解答】解:由题意可知几何体是正方体中的一部分,正方体的棱长为 2,三视图对应的几何体的棱长分别为:ABBCBE 2,AEACEC 2 ,ADDE ,DC 3最长的棱长为 3故选:D第 11 页(共 23 页)【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用,判断几何体的棱长是解题的关键11 (5 分)若函数 f(x )4sinxsin 2( + )+cos2 x1(0)在 , 内有且仅有一个最大值,则 的取值范围是(  )A ,

22、5) B1,5) C (0, ) D (0, 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简,结合三角函数的性质,根据在 , 上仅包含一个最大值点,或者函数是增函数,建立不等式组,即可求解【解答】解:函数 f(x )4sinxsin 2( + )+cos2 x14sinx+cos2x14sinx +cos2x12sinx+2sin 2x+12sin 2x12sin x (0) f(x)在 , 内有且仅有一个最大值,故在 , 内,仅包含一个最大值点,或函数在这个区间上单调递增 ,或 1 ,或 0 1综上可得,0 ,故选:C【点评】本题主要考查利用 yAsin ( x+)的图象特征,单调性的应用,属于中档题第

23、 12 页(共 23 页)12 (5 分)已知抛物线 C:y 22px(p0) ,过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,若 3 ,且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)关于直线对称,则该抛物线的焦点到准线的距离为(  )A4 B5 C D6【分析】通过抛物线 C:y 22px(p0) ,过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,3 ,可得直线的斜率为: ,通过抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点N(7,0)关于直线对称,求出对称点的坐标,代入抛物线方程,求出 p即可【解答】解:抛物线 C:y 22px(p0) ,过其焦点 F 的直线

24、l 交抛物线于 A,B 两点,若 3 ,可得直线 l 的斜率为 ,如图:抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)关于直线对称,可得 M( , (7 ) ,M 在抛物线上,可得: 解得:p6故选:D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知两个平面向量 , 满足| |1,| | ,且 与 的夹角为 120,则| |  1 第 13 页(共 23 页)【分析】通过向量模的运算法则,转化求解即可【解答】解:两个平面向量 , 满足| |1,且 与 的夹角为 1

25、20,| | ,可得 ,解得| | 1(| |2 舍去) 故答案为:1【点评】本题考查向量的模的求法,向量的夹角的求法与应用,考查计算能力14 (5 分)曲线 f(x )xe x 在点(1,f (1) )处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 【分析】求出函数的导数,计算 f(1) ,f (1)的值,求出切线方程,从而求出三角形的面积即可【解答】解:f(x )xe x,f(x)e x+xex,kf(1) 2e,f(1) e,曲线 f(x) xex 在点(1,f (1) )处的切线为 ye2e(x1) ,当 x0 时,ye ,当 y0 时,x ,曲线 f(x) xex 在点(1,f (1) )处的

26、切线与坐标轴围成的三角形的面积为:S 故答案为: 【点评】本题考查三角形的面积的求法,考查导数的应用以及切线方程问题等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题15 (5 分)若实数 x,y 满足 ,则| x3y| 的取值范围是 0,4 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合直线的截距,利用数形结合进行求解即可【解答】解:由 zx3y 得 y x作实数 x,y 满足 对应的平面区域如图(阴影部分):第 14 页(共 23 页)平移直线 y x ,由图象可知当直线 y x 经过点 B(1,1)时,直线 y x 的截距最小,此时 z 最大,此时 z4,经过点

27、 A 时,直线截距最大,此时 z 最小,由 ,解得 A(1, ) 代入目标函数 zx3y ,得 z ,即 z4,则|x 3y| 的取值范围是0,4故答案为:0,4【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法16 (5 分)如图,平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部,AB ,BC 2,ACCD ,AC CD ,当ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为 3第 15 页(共 23 页)【分析】设ABC,ACB ,由余弦定理可得 AC264 cos,由正弦定理可得 sin ,再利用余弦定理即可得出【解答】解:设ABC,

28、ACB ,由余弦定理可得 AC2 4 cos64 cos,AC CD由正弦定理可得:sin ,BD 24+6 4 cos22 cos(90 +)104 cos+4sin104 cos+4 sin10+8sin , 时,BD 有最大值 3 故答案为:3 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n为等差数列,其中 a2+a38,a

29、 53a 2(1)求数列a n的通项公式;(2)记 bn ,设b n的前 n 项和为 Sn求最小的正整数 n,使得 Sn 【分析】 (1)设等差数列a n的公差为 d,有 ,解得 a12,d2 即可,(2)b n ,累加可得 Sn1 ,解得 n 即可第 16 页(共 23 页)【解答】解:(1)设等差数列a n的公差为 d,依题意有                                      

30、              3 分解得 a12,d2,从而a n的通项公式为 ;                                     6 分(2)因为 bn ,所以 Sn(1 )+( )+ ( )1                   &n

31、bsp;                                          9 分令 1 ,解得 n1008.5,故取 n1009                                   &n

32、bsp;       12 分【点评】本题考查了等差数列的通项公式,及裂项求和,属于中档题18 (12 分)如图,正三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AB2,AA 13,F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点,点 E 在棱 BB1 上且 BF面 A1CE(1)求 BE 的长;(2)求正三棱柱 ABCA 1B1C1 被平面 A1CE 分成的左右两个几何体的体积之比【分析】 (1)作 FGCC 1 与 A1C 交于点 G,证明 BEGF 平行四边形,然后求解 BE 即可第 17 页(共 23 页)(2)利用几何体的体积的计算,转化求解即可【解答】 (本小题满分 12

33、分)解:(1)如图,作 FGCC 1 与 A1C 交于点 G,BECC 1,BEFG,面 BEGF面 A1CEEG,BF面 A1CE,BFEG于是在平行四边形 BEGF 中,BE FG A12(6 分)(2) , 3 左边几何体的体积为: 左右两个几何体的体积之比为 5:4(12 分)【点评】本题考查几何体的体积的求法,点线面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力19 (12 分)2018 年 4 月 4 日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实,推动我国数字经济发展和信息消费,今年移动流量资费将再降 30%以上,为响应国家政策,某通讯商计划推出两款优惠流量套餐,详情如下:

34、套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 30 3000B 50 6000这两款套餐均有以下附加条款:套餐费用月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就会自动帮用户充值 2000M 流量,资费 20 元;如果又超出充值流量,系统再次自动帮用户充值 2000M 流量,资费 20 元,以此类推此外,若当月流量有剩余,第 18 页(共 23 页)系统将自动清零,不可次月使用小张过去 50 个月的手机月使用流量(单位:M)的频数分布表如下:月使用流量分组 2000, 3000(3000,4000(4000,5000(5000,6000(6000,7000(7000,8000频数 4 5 11

35、 16 12 2根据小张过去 50 个月的手机月使用流量情况,回答以下几个问题:(1)若小张选择 A 套餐,将以上频率作为概率,求小张在某一个月流量费用超过 50 元的概率(2)小张拟从 A 或 B 套餐中选定一款,若以月平均费用作为决策依据,他应订购哪一种套餐?说明理由【分析】 (1)设使用流量 xM,流量费用为 y,所以流量费用超过 50 元概率:P(y 50) ;(2)分别求出订购 A 套餐和订购 B 套餐的月平均费用,比较大小后得答案【解答】解:(1)设使用流量 xM,流量费用为 y,依题意,当 2000x3000 时,y30;当 3000x5000 时,y 50;所以流量费用超过 5

36、0 元概率:P(y50) ;(2)设 yA 表示 A 套餐的月平均消费,设 yB 表示 B 套餐的月平均消费, (304+5016+7028+90 2)61.2, (5036+7014)55.6, ,故选套餐 B【点评】本题考查函数在实际问题中的应用,考查概率统计问题,是中档题20 (12 分)已知椭圆 E: + 1(ab0)过点 ,且两个焦点的坐标分别为(1,0) , (1,0) (1)求 E 的方程;第 19 页(共 23 页)(2)若 A,B ,P 为 E 上的三个不同的点,O 为坐标原点,且 ,求证:四边形 OAPB 的面积为定值【分析】 (1)根据题意,由椭圆的焦点坐标可得 c 的值

37、,结合椭圆的定义可得 2a+ 2 ,即可得 a 的值,由椭圆的定义计算可得 b 的值,将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案;(2)根据题意,按直线 AB 的斜率是否存在分 2 种情况讨论:,直线 AB 的斜率不为零, 当 AB 的斜率为零时,分别求出四边形的面积,综合即可得结论【解答】解:(1)根据题意,椭圆 E: + 1 的两个焦点的坐标分别为(1,0) , (1,0) 则 c1,又由椭圆经过点 ,则 2a + 2 ,即 a ,b 1,则 E 的方程为 ;(2)证明:根据题意,分 2 种情况讨论:,当直线 AB 的斜率不为零时,可设 AB:xmy+t 代入 得:(m 2+2)y 2+2m

38、ty+t220,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 ,8(m 2+2t 2) ,设 P(x ,y) ,由 ,得,点 P 在椭圆 E 上, ,即 ,4t 2m 2+2,第 20 页(共 23 页)原点到直线 xmy+t 的距离为 四边形 OAPB 的面积:当 AB 的斜率为零时,四边形 OAPB 的面积 ,四边形 OAPB 的面积为定值 【点评】本题考查椭圆的几何性质,涉及直线与椭圆的位置关系,关键是求出椭圆的标准方程21 (12 分)设函数 f(x )(1+ax 2)e x1(1)若 a0,讨论 f(x )的单调性;(2)若 f(x)在 0,1上有两个零点,求 a 的取值范

39、围【分析】 (1)令 f(x )0 求出 f(x)的极值点,再根据二次函数的性质讨论f(x)的符号得出 f(x )的单调性;(2)讨论 a 的符号,判断 f( x)在0 ,1上的单调性,根据单调性和零点个数列出不等式得出 a 的范围【解答】解:(1)f'(x )(ax 2+2ax+1)e x,令 g(x)ax 2+2ax+1,4a(a1) a0,0,令 g(x)0 得 , 当 xx 1 或 x x2 时,g(x)0,即 f'(x)0;当 x1 xx 2 时,g(x)0,即f'(x)0f(x)在 单调递减,在 单调递增,单调递减(2)当 a0 时,由(1)知 f(x )在

40、 单调递增,在单调递减f(x)在0 , 1上有两个零点,而 f(0)0,第 21 页(共 23 页)f(1)0,即(1+a)e 10,解得 当 a0 时,f'(x )(ax 2+2ax+1)e x,令 g(x)ax 2+2ax+1,则 g(x )开口向上,对称轴为 x1,g(x )在0,1上单调递增,当 x0,1时,g(x)g(0)1,又 ex0,f (x )0 在0 ,1上恒成立,f(x)在0 , 1单调递增,又 f(0)0,f(x)在0 , 1上只有一个零点 0,不符合题意综上,a 的取值范围为 【点评】本题考查了函数单调性的判断,函数零点与函数单调性的关系,属于中档题(二)选考题

41、:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 【选修 4-4:坐标系与参数方程 】 (10 分)22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为()写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程;()设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B,P 为圆 C 上的任意一点,求的取值范围【分析】 ()由圆 C 的普通方程,能求出圆 C 的参数方程;由直线 l 的极坐标方程转化为 + ,由此能求出直线 l 的直角坐标方程()由直

42、线 l 的方程 x+y20 可得点 A(2,0) ,点 B(0,2) 设点 P(x,y) ,则2x+4y 124sin +2cos+4 由此能求出 的取值范围【解答】解:()圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120圆 C 的参数方程为 ( 为参数) 直线 l 的极坐标方程为 , + ,直线 l 的直角坐标方程为 x+y20第 22 页(共 23 页)()直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B,由直线 l 的方程 x+y20 可得点 A(2,0) ,点 B(0,2) 设点 P(x,y) ,则 ( 2x,y)(x,2y)x 2+y22x2y2x+4y12由()知 ,则 4sin

43、 +2cos+4 R, 的取值范围是42 ,4+2 【点评】本题考查圆的参数方程、直线的直角坐标方程的求法,考查向量的数量积的取值范围的求法,考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分)23已知函数 f(x )|2x 4|+|x+1|,x R(1)解不等式 f(x )9;(2)若方程 f(x )x 2+a 在区间0 ,2有解,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)通过讨论 x 的范围得到关于 x 的不等式组,解出即可;(2)根据题意,原问题可以等价函数 ya 和函数 yx 2x+5 图象在区间0 ,2上有交点

44、,结合二次函数的性质分析函数 yx 2x +5 的值域,即可得答案【解答】解:(1)f(x )9 可化为|2x4|+| x+1|9,故 ,或 ,或 ;(2 分)解得:2x4,或1x 2,或2x 1; (4 分)不等式的解集为2,4;(5 分)(2)由题意:f(x )x 2+aax 2x+5,x 0,2 故方程 f(x) x 2+a 在区间0 ,2有解函数 ya 和函数 yx 2x +5,图象在区间0,2上有交点当 x0,2时,yx 2x +5 ,7,实数 a 的取值范围是 ,7 (10 分)【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及应用,注意零点分段讨论法的应用,属于中第 23 页(共 23 页)档题