1、2018 年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A1， 0，1 ，By|y x 2，xA ，则 AB（ ）A0 B1 C0 ，1 D0 ，12 （5 分）若复数 z 在复平面内对应的点在直线 x+y0 上，则|z| （ ）A2 B C1 D23 （5 分）设双曲线 1（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy 2x4 （5 分）已知某 7 个数的平均数为 4，
2、方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 s2，则（ ）A ，s 22 B ，s 22 C ，s 22 D ，s 225 （5 分）下列说法正确的是（ ）A直线 a 平行于平面 M，则 a 平行于 M 内的任意一条直线B直线 a 与平面 M 相交，则 a 不平行于 M 内的任意一条直线C直线 a 不垂直于平面 M，则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线D直线 a 不垂直于平面 M，则过 a 的平面不垂直于 M6 （5 分）已知 a ，blog 2017 ，c log 2018 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bac
3、b Cbac Dc ba7 （5 分）已知函数 f（x ）（mx +n） （x 1）为偶函数，且在（ ，0）单调递增，则f（2x ）0 的解集为（ ）A （1，3） B （，1）（3，+）C （1，1） D （， 1）（1，+）8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 m1，n3，输出的 x1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）第 2 页（共 23 页）A|m n|1 B| mn|0.5 C|mn|0.2 D|mn|0.19 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和是 Sn，则下列说法一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20170
4、 B若 a40，则 a20180C若 a30，则 S20170 D若 a4 0，则 S2018010 （5 分）如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A2 B2 C D311 （5 分）若函数 f（x ）4sinxsin 2（ + ）+cos2 x1（0）在 ， 内有且仅有一个最大值，则 的取值范围是（ ）A ，5） B1，5） C （0， ） D （0， 12 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，则该抛物线的
5、焦点到准线的距离为（ ）A4 B5 C D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知两个平面向量 ， 满足| |1，| | ，且 与 的夹角为 120，则| | 14 （5 分）曲线 f（x ）xe x 在点（1，f （1） ）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 第 3 页（共 23 页）15 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则| x3y| 的取值范围是 16 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ，BC 2，
6、ACCD ，AC CD ，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n为等差数列，其中 a2+a38，a 53a 2（1）求数列a n的通项公式；（2）记 bn ，设b n的前 n 项和为 Sn求最小的正整数 n，使得 Sn 18 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB2，AA 13，F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 在棱
7、 BB1 上且 BF面 A1CE（1）求 BE 的长；（2）求正三棱柱 ABCA 1B1C1 被平面 A1CE 分成的左右两个几何体的体积之比19 （12 分）2018 年 4 月 4 日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降 30%以上，为响应第 4 页（共 23 页）国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 30 3000B 50 6000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值 2000M 流量，资
8、费 20 元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值 2000M 流量，资费 20 元，以此类推此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用小张过去 50 个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：月使用流量分组 2000， 3000（3000，4000（4000，5000（5000，6000（6000，7000（7000，8000频数 4 5 11 16 12 2根据小张过去 50 个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：（1）若小张选择 A 套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过 50 元的概率（2）小张拟从 A 或 B 套餐中选定一款，若以月平均费
9、用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 ，且两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） （1）求 E 的方程；（2）若 A，B ，P 为 E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且 ，求证：四边形 OAPB 的面积为定值21 （12 分）设函数 f（x ）（1+ax 2）e x1（1）若 a0，讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）在 0，1上有两个零点，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】 （10 分）第 5
10、 页（共 23 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为（）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；（）设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B，P 为圆 C 上的任意一点，求的取值范围【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）23已知函数 f（x ）|2x 4|+|x+1|，x R（1）解不等式 f（x ）9；（2）若方程 f（x ）x 2+a 在区间0 ，2有解，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2018 年江西省重点中学盟
11、校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A1， 0，1 ，By|y x 2，xA ，则 AB（ ）A0 B1 C0 ，1 D0 ，1【分析】把 A 中元素代入 B 中解析式求出 y 的值，确定出 B，找出两集合的交集即可【解答】解：把 A 中 x1，0，1 代入 B 中得：y 0，1，即 B0 ，1，则 AB0，1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）若复数 z 在复平面内对应的点在直线 x+y0
12、上，则|z| （ ）A2 B C1 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标，代入直线 x+y0 求得 a值，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z 在复平面内对应的点（ ）在直线 x+y0 上， ，即 a2z1i，则| z| 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）设双曲线 1（a0，b0）的虚轴长为 2，焦距为 2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy 2x【分析】由题意可得 b，c，由双曲线的 a，b，c 的关系可得 a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到【解答】解：由题
13、意可得，双曲线的 b1，c ，则 a ，第 7 页（共 23 页）则双曲线的渐近线方程为 y x，即为 y x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题4 （5 分）已知某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，现加入一个新数据 4，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 s2，则（ ）A ，s 22 B ，s 22 C ，s 22 D ，s 22【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可【解答】解：某 7 个数的平均数为 4，方差为 2，则这 8 个数的平均数为 （74+4）4，方差为 s2 72+（44） 2 2故选：
14、A【点评】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，是基础题5 （5 分）下列说法正确的是（ ）A直线 a 平行于平面 M，则 a 平行于 M 内的任意一条直线B直线 a 与平面 M 相交，则 a 不平行于 M 内的任意一条直线C直线 a 不垂直于平面 M，则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线D直线 a 不垂直于平面 M，则过 a 的平面不垂直于 M【分析】依据空间中点线面的位置关系的判断定理定义及条件，对四个选项逐一判断找出正确命题，即可得到正确选项【解答】解：A 选项不正确，因为一条线平行于一个平面，则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面；B 选项正确，因为直线 a 与平面
15、 M 相交，则 a 与 M 内的任意一条直线位置关系是异面或相交；C 选项不正确，因为直线 a 不垂直于平面 M，则 a 与平面 M 内与它的投影垂直的直线是垂直关系；D 选项不正确，因为直线 a 不垂直于平面 M，则过 a 的平面可以垂直于 M第 8 页（共 23 页）故选：B【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间感知能力，且能根据点线面间的位置关系判定定理，相关的定义及条件进行灵活推理，即有着较强的推理论证能力6 （5 分）已知 a ，blog 2017 ，c log 2018 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Cbac
16、 Dc ba【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：a 2018 01，0log 20171c log 2018 blog 2017 log 201720171，a，b，c 的大小关系为 abc故选：A【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）已知函数 f（x ）（mx +n） （x 1）为偶函数，且在（ ，0）单调递增，则f（2x ）0 的解集为（ ）A （1，3） B （，1）（3，+）C （1，1） D （， 1）（1，+）【分析】根据题意，由偶函数
17、的性质可得 f（x ）f（x） ，即（mx+n） （x1）（mx+n） （x1） ，变形可得 mn，结合函数在（ ，0）单调递增，可得m0，则不等式 f（2x）0 可以转化为（x2） 21，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）（mx +n） （x 1）为偶函数，则有 f（x） f（x ） ，即（ mx+n） （x1）（mx+n） （x 1） ，变形可得：mn，则 f（x）m（x +1） （x 1） m（x 21） ，又由 f（x）在（ ，0）单调递增，则 m0，f（2x）0m（2x） 21 0（x2） 21，解可得：1x3，第 9 页（共 23 页）即不等式
18、 f（2x ）0 的解集为（1，3） ；故选：A【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是求出 m、n 的值8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 m1，n3，输出的 x1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）A|m n|1 B| mn|0.5 C|mn|0.2 D|mn|0.1【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出空白判断框内应填的条件是什么【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，输入 m1，n3，x 2，不满足 2230，n2，不满足条件| mn|1？x 1.5，满足 1.5230，m 1.5，不满足条件|mn|0.5？，x 1.75，不满足 1.7
19、5230，n1.75，满足条件|mn|0.25？，输出 x1.75，则空白判断框内应填的条件为| mn|0.5故选：B【点评】本题考查了算法与程序语言的应用问题，是基础题9 （5 分）已知等比数列a n的前 n 项和是 Sn，则下列说法一定成立的是（ ）A若 a30，则 a20170 B若 a40，则 a20180C若 a30，则 S20170 D若 a4 0，则 S20180【分析】根据题意，依次分析选项，对于 A、B、D 举出反例可得其错误，对于 C，由等比数列的前 n 项和分析可得 C 正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，对于等比数列a n，当 a
20、11，q1 时，则 an 1，满足 a30，但a201710，A 错误；对于 B，对于等比数列a n，当 a11，q1 时，满足 a410，但 a201810，B错误；对于 C，对于等比数列a n，若 a30，即 a1q20，则有 a10，第 10 页（共 23 页）当 q1 时，S 20172017a 10，当 q1 时，S 2017 ，分析可得 q1 与 q1 时，都有 S20170，C 正确；对于 D，对于等比数列a n，当 a11，q1 时，满足 a410，但 S20180，D 错误；故选：C【点评】本题考查等比数列前 n 项和的性质，关键是掌握等比数列前 n 项的公式10 （5 分）
21、如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A2 B2 C D3【分析】利用三视图画出几何体的直观图，通过三视图的数据，判断最长的棱长，求解即可【解答】解：由题意可知几何体是正方体中的一部分，正方体的棱长为 2，三视图对应的几何体的棱长分别为：ABBCBE 2，AEACEC 2 ，ADDE ，DC 3最长的棱长为 3故选：D第 11 页（共 23 页）【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，判断几何体的棱长是解题的关键11 （5 分）若函数 f（x ）4sinxsin 2（ + ）+cos2 x1（0）在 ， 内有且仅有一个最大值，则 的取值范围是（ ）A ，
22、5） B1，5） C （0， ） D （0， 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的性质，根据在 ， 上仅包含一个最大值点，或者函数是增函数，建立不等式组，即可求解【解答】解：函数 f（x ）4sinxsin 2（ + ）+cos2 x14sinx+cos2x14sinx +cos2x12sinx+2sin 2x+12sin 2x12sin x （0） f（x）在 ， 内有且仅有一个最大值，故在 ， 内，仅包含一个最大值点，或函数在这个区间上单调递增 ，或 1 ，或 0 1综上可得，0 ，故选：C【点评】本题主要考查利用 yAsin （ x+）的图象特征，单调性的应用，属于中档题第
23、 12 页（共 23 页）12 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A4 B5 C D6【分析】通过抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，3 ，可得直线的斜率为： ，通过抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点N（7，0）关于直线对称，求出对称点的坐标，代入抛物线方程，求出 p即可【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线
24、l 交抛物线于 A，B 两点，若 3 ，可得直线 l 的斜率为 ，如图：抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，可得 M（ ， （7 ） ，M 在抛物线上，可得： 解得：p6故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知两个平面向量 ， 满足| |1，| | ，且 与 的夹角为 120，则| | 1 第 13 页（共 23 页）【分析】通过向量模的运算法则，转化求解即可【解答】解：两个平面向量 ， 满足| |1，且 与 的夹角为 1
25、20，| | ，可得 ，解得| | 1（| |2 舍去） 故答案为：1【点评】本题考查向量的模的求法，向量的夹角的求法与应用，考查计算能力14 （5 分）曲线 f（x ）xe x 在点（1，f （1） ）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 【分析】求出函数的导数，计算 f（1） ，f （1）的值，求出切线方程，从而求出三角形的面积即可【解答】解：f（x ）xe x，f（x）e x+xex，kf（1） 2e，f（1） e，曲线 f（x） xex 在点（1，f （1） ）处的切线为 ye2e（x1） ，当 x0 时，ye ，当 y0 时，x ，曲线 f（x） xex 在点（1，f （1） ）处的
26、切线与坐标轴围成的三角形的面积为：S 故答案为： 【点评】本题考查三角形的面积的求法，考查导数的应用以及切线方程问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题15 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则| x3y| 的取值范围是 0，4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 zx3y 得 y x作实数 x，y 满足 对应的平面区域如图（阴影部分）：第 14 页（共 23 页）平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x 经过点 B（1，1）时，直线 y x 的截距最小，此时 z 最大，此时 z4，经过点
27、 A 时，直线截距最大，此时 z 最小，由 ，解得 A（1， ） 代入目标函数 zx3y ，得 z ，即 z4，则|x 3y| 的取值范围是0，4故答案为：0，4【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法16 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ，BC 2，ACCD ，AC CD ，当ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为 3第 15 页（共 23 页）【分析】设ABC，ACB ，由余弦定理可得 AC264 cos，由正弦定理可得 sin ，再利用余弦定理即可得出【解答】解：设ABC，
28、ACB ，由余弦定理可得 AC2 4 cos64 cos，AC CD由正弦定理可得：sin ，BD 24+6 4 cos22 cos（90 +）104 cos+4sin104 cos+4 sin10+8sin ， 时，BD 有最大值 3 故答案为：3 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n为等差数列，其中 a2+a38，a
29、 53a 2（1）求数列a n的通项公式；（2）记 bn ，设b n的前 n 项和为 Sn求最小的正整数 n，使得 Sn 【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，有 ，解得 a12，d2 即可，（2）b n ，累加可得 Sn1 ，解得 n 即可第 16 页（共 23 页）【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，依题意有
30、 3 分解得 a12，d2，从而a n的通项公式为 ； 6 分（2）因为 bn ，所以 Sn（1 ）+（ ）+ （ ）1 &n
31、bsp; 9 分令 1 ，解得 n1008.5，故取 n1009 &n
32、bsp; 12 分【点评】本题考查了等差数列的通项公式，及裂项求和，属于中档题18 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB2，AA 13，F 为棱 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 在棱 BB1 上且 BF面 A1CE（1）求 BE 的长；（2）求正三棱柱 ABCA 1B1C1 被平面 A1CE 分成的左右两个几何体的体积之比【分析】 （1）作 FGCC 1 与 A1C 交于点 G，证明 BEGF 平行四边形，然后求解 BE 即可第 17 页（共 23 页）（2）利用几何体的体积的计算，转化求解即可【解答】 （本小题满分 12
33、分）解：（1）如图，作 FGCC 1 与 A1C 交于点 G，BECC 1，BEFG，面 BEGF面 A1CEEG，BF面 A1CE，BFEG于是在平行四边形 BEGF 中，BE FG A12（6 分）（2） ， 3 左边几何体的体积为： 左右两个几何体的体积之比为 5：4（12 分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）2018 年 4 月 4 日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降 30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：
34、套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 30 3000B 50 6000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值 2000M 流量，资费 20 元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值 2000M 流量，资费 20 元，以此类推此外，若当月流量有剩余，第 18 页（共 23 页）系统将自动清零，不可次月使用小张过去 50 个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：月使用流量分组 2000， 3000（3000，4000（4000，5000（5000，6000（6000，7000（7000，8000频数 4 5 11
35、 16 12 2根据小张过去 50 个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：（1）若小张选择 A 套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过 50 元的概率（2）小张拟从 A 或 B 套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由【分析】 （1）设使用流量 xM，流量费用为 y，所以流量费用超过 50 元概率：P（y 50） ；（2）分别求出订购 A 套餐和订购 B 套餐的月平均费用，比较大小后得答案【解答】解：（1）设使用流量 xM，流量费用为 y，依题意，当 2000x3000 时，y30；当 3000x5000 时，y 50；所以流量费用超过 5
36、0 元概率：P（y50） ；（2）设 yA 表示 A 套餐的月平均消费，设 yB 表示 B 套餐的月平均消费， （304+5016+7028+90 2）61.2， （5036+7014）55.6， ，故选套餐 B【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 ，且两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） （1）求 E 的方程；第 19 页（共 23 页）（2）若 A，B ，P 为 E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且 ，求证：四边形 OAPB 的面积为定值【分析】 （1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得 c 的值
37、，结合椭圆的定义可得 2a+ 2 ，即可得 a 的值，由椭圆的定义计算可得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，按直线 AB 的斜率是否存在分 2 种情况讨论：，直线 AB 的斜率不为零， 当 AB 的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论【解答】解：（1）根据题意，椭圆 E： + 1 的两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） 则 c1，又由椭圆经过点 ，则 2a + 2 ，即 a ，b 1，则 E 的方程为 ；（2）证明：根据题意，分 2 种情况讨论：，当直线 AB 的斜率不为零时，可设 AB：xmy+t 代入 得：（m 2+2）y 2+2m
38、ty+t220，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，8（m 2+2t 2） ，设 P（x ，y） ，由 ，得，点 P 在椭圆 E 上， ，即 ，4t 2m 2+2，第 20 页（共 23 页）原点到直线 xmy+t 的距离为 四边形 OAPB 的面积：当 AB 的斜率为零时，四边形 OAPB 的面积 ，四边形 OAPB 的面积为定值 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程21 （12 分）设函数 f（x ）（1+ax 2）e x1（1）若 a0，讨论 f（x ）的单调性；（2）若 f（x）在 0，1上有两个零点，求 a 的取值范
39、围【分析】 （1）令 f（x ）0 求出 f（x）的极值点，再根据二次函数的性质讨论f（x）的符号得出 f（x ）的单调性；（2）讨论 a 的符号，判断 f（ x）在0 ，1上的单调性，根据单调性和零点个数列出不等式得出 a 的范围【解答】解：（1）f'（x ）（ax 2+2ax+1）e x，令 g（x）ax 2+2ax+1，4a（a1） a0，0，令 g（x）0 得 ， 当 xx 1 或 x x2 时，g（x）0，即 f'（x）0；当 x1 xx 2 时，g（x）0，即f'（x）0f（x）在 单调递减，在 单调递增，单调递减（2）当 a0 时，由（1）知 f（x ）在
40、 单调递增，在单调递减f（x）在0 ， 1上有两个零点，而 f（0）0，第 21 页（共 23 页）f（1）0，即（1+a）e 10，解得 当 a0 时，f'（x ）（ax 2+2ax+1）e x，令 g（x）ax 2+2ax+1，则 g（x ）开口向上，对称轴为 x1，g（x ）在0，1上单调递增，当 x0，1时，g（x）g（0）1，又 ex0，f （x ）0 在0 ，1上恒成立，f（x）在0 ， 1单调递增，又 f（0）0，f（x）在0 ， 1上只有一个零点 0，不符合题意综上，a 的取值范围为 【点评】本题考查了函数单调性的判断，函数零点与函数单调性的关系，属于中档题（二）选考题
41、：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】 （10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为（）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；（）设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B，P 为圆 C 上的任意一点，求的取值范围【分析】 （）由圆 C 的普通方程，能求出圆 C 的参数方程；由直线 l 的极坐标方程转化为 + ，由此能求出直线 l 的直角坐标方程（）由直
42、线 l 的方程 x+y20 可得点 A（2，0） ，点 B（0，2） 设点 P（x，y） ，则2x+4y 124sin +2cos+4 由此能求出 的取值范围【解答】解：（）圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+120圆 C 的参数方程为 （ 为参数） 直线 l 的极坐标方程为 ， + ，直线 l 的直角坐标方程为 x+y20第 22 页（共 23 页）（）直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、B，由直线 l 的方程 x+y20 可得点 A（2，0） ，点 B（0，2） 设点 P（x，y） ，则 （ 2x，y）（x，2y）x 2+y22x2y2x+4y12由（）知 ，则 4sin
43、 +2cos+4 R， 的取值范围是42 ，4+2 【点评】本题考查圆的参数方程、直线的直角坐标方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）23已知函数 f（x ）|2x 4|+|x+1|，x R（1）解不等式 f（x ）9；（2）若方程 f（x ）x 2+a 在区间0 ，2有解，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过讨论 x 的范围得到关于 x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数 ya 和函数 yx 2x+5 图象在区间0 ，2上有交点
44、，结合二次函数的性质分析函数 yx 2x +5 的值域，即可得答案【解答】解：（1）f（x ）9 可化为|2x4|+| x+1|9，故 ，或 ，或 ；（2 分）解得：2x4，或1x 2，或2x 1； （4 分）不等式的解集为2，4；（5 分）（2）由题意：f（x ）x 2+aax 2x+5，x 0，2 故方程 f（x） x 2+a 在区间0 ，2有解函数 ya 和函数 yx 2x +5，图象在区间0，2上有交点当 x0，2时，yx 2x +5 ，7，实数 a 的取值范围是 ，7 （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中第 23 页（共 23 页）档题