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2019年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

1、2019年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)一、选择题(本题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知集合 Ax| x2x 20 ,Bx|2 x2,则有(  )AAB x|0x2 BABx|1x1CAB x| 1x1 DABx|1x22 (5 分)已知 i 是虚数单位,则 (  )A2i B2i C2 D23 (5 分)已知向量 ,若 ,则实数 m(  )A0 B C3 D4 (5 分)在一组样本数据(x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 、 (x n,y n) (n2,x 1、x

2、2、x n 互不相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i) (i 1,2,n)都在直线y2x +100 上,则这组样本数据的样本相关系数为(  )A1 B0 C D15 (5 分)下列命题正确的是(  )A若 pq 为假命题,则 p、 q 都是假命题Bab 是 lnalnb 的充分不必要条件C命题“若 coscos,则 ”的逆否命题为真命题D命题“ x0R,x 0+60”的否定是“ x0R,x 0+60”6 (5 分)x、y 满足约束条件 ,若 zkx+y 取得最大值的最优解有无数个,则实数k 的值为(   )A1 B0 C1 D1 或 07 (5 分)已知

3、 ,则 的值为(  )A B C D8 (5 分)已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a 1 1,且a 3、a 2、a 4 成等差数列,则 Sn 与 an 的关系是(  )第 2 页(共 24 页)AS n2a n1 BS n2a n+1 CS n4a n3 DS n4a n19 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为(  )A10 B18 C D10 (5 分)某饲料厂原有陈粮 10 吨,又购进新粮 x 吨,现将粮食总库存量的一半精加工为饲料若被精加工的新粮最多可用 y1 吨,被精加工的陈粮最多

4、可用 y2 吨,记 f(x)y 1+y2,则函数 f(x )的图象为(  )A BC D11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 C:(x3) 2+(y a) 24 上存在两点A、B 满足: AOB60,则实数 a 的最大值是(  )A5 B3 C D12 (5 分)设函数 ,曲线 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程是(  )A5xy40 B3xy20 Cxy0 Dx 1二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在边长为 1 的正方形四个顶点中任取两个点,则这两点之间距离大于 1 的概率为    

5、; 第 3 页(共 24 页)14 (5 分)已知双曲线 C: 的离心率为 ,C 与抛物线y28x 的准线交于 A、B 两点, |AB|2,则双曲线 C 的焦距为     15 (5 分)设等差数列a n的公差为 d,若 ,且 ,则an的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为      16 (5 分)如图,平面图形由一个边长为 6 的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为 6、8、10,现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥,则该四棱锥的体积为     三、解答题(共 70 分解答应写出文字说

6、明、证明过程或演箅步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60 分17 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知:(1)求边 c 和 sinC;(2)设 D 是 BC 边上一点,且 ADAC,求ABD 的面积18 (12 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,已知点 M 在正方形A1B1C1D1 内部, (1)经过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线与 CM 垂直 说明作法及理由) ;(2)求直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值第 4

7、 页(共 24 页)19 (12 分)某蛋糕店计划按天生产一种面包,每天生产量相同,生产成本每个 6 元,售价每个 8 元,未售出的面包降价处理,以每个 5 元的价格当天全部处理完(1)若该蛋糕店一天生产 30 个这种面包,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:个,nN)的函数解析式;(2)蛋糕店记录了 30 天这种面包的日需求量(单位:个) ,整理得表:日需求量 n 28 29 30 31 32 33频数 3 4 6 6 7 4假设蛋糕店在这 30 天内每天生产 30 个这种面包,求这 30 天的日利润(单位:元)的平均数及方差;(3)蛋糕店规定:若连续 10 天的日需求量都

8、不超过 10 个,则立即停止这种面包的生产,现给出连续 10 天日需求量的统计数据为“平均数为 6,方差为 2”,试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产?并给出理由20 (12 分)已知PAB 的三个顶点都在椭圆 上,且 AB 过椭圆的左焦点F,O 为坐标原点,M 在 AB 上,且 (1)求点 M 的轨迹方程;(2)求|PM| 的取值范围21 (12 分)已知函数 (1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调区间,并求出其极值;(2)若函数 F(x )f(x)g(x) ,存在两个零点,求 k 的取值范围(二)选考题(共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做

9、的第一题计分)选修 4-4:坐标系与参数方程第 5 页(共 24 页)22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0,直线 l的参数方程为 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且|AB |8,求以 AB 为直径的圆的方程选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x +1|+|x1| (1)求不等式 f(x )2 的解集;(2)当 恒成立,求实数 a 的取值范围第 6 页(共 24 页)2019 年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共 12 个题,

10、每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)已知集合 Ax| x2x 20 ,Bx|2 x2,则有(  )AAB x|0x2 BABx|1x1CAB x| 1x1 DABx|1x2【分析】可求出集合 A,B,然后进行交集、并集的运算即可【解答】解:Ax| 1x 2,Bx|x1;ABx| 1x 1故选:B【点评】考查描述法的定义,一元二次不等式的解法,指数函数的单调性,以及交集的运算2 (5 分)已知 i 是虚数单位,则 (  )A2i B2i C2 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解: 2故选:

11、D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题3 (5 分)已知向量 ,若 ,则实数 m(  )A0 B C3 D【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可【解答】解:向量 ,若 ,可得:3+ m6,解得 m 故选:B【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查转化思想以及计算能力第 7 页(共 24 页)4 (5 分)在一组样本数据(x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 、 (x n,y n) (n2,x 1、x 2、x n 互不相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i) (i 1,2,n)都在直线y2x +100 上,则这组样本数据的样本相关系数为(  )A1

12、B0 C D1【分析】根据题意,分析可得组样本数据完全负相关,即可得答案【解答】解:根据题意,若所有样本点(x i,y i) (i 1, 2,n)都在直线y2x+100 上,那么这组样本数据完全负相关,则相关系数为1;故选:A【点评】本题考查相关系数的定义以及性质,关键是掌握相关系数的定义5 (5 分)下列命题正确的是(  )A若 pq 为假命题,则 p、 q 都是假命题Bab 是 lnalnb 的充分不必要条件C命题“若 coscos,则 ”的逆否命题为真命题D命题“ x0R,x 0+60”的否定是“ x0R,x 0+60”【分析】利用复合命题的真假判断 A 的正误;充要条件判断

13、B 的正误;四种命题的逆否关系判断 C 的正误;命题的否定判断 D 的正误【解答】解:pq 为假命题,则 p、q 至少一个是假命题,所以 A 不正确;ab0 是 lnalnb 的充分不必要条件,所以 B 不正确;命题“若 coscos ,则 ”的逆否命题为: ,则 coscos,反例 30,30 ,cos cos 不正确,所以 C 不正确;命题“ x0R,x 0+60”的否定是“x 0R,x 0+60” ,满足命题的否定形式,所以 D正确;故选:D【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,涉及复合命题,充要条件四种命题的逆否关系,是基本知识的考查6 (5 分)x、y 满足约束条件 ,若 zkx+

14、y 取得最大值的最优解有无数个,则实数第 8 页(共 24 页)k 的值为(  )A1 B0 C1 D1 或 0【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 zkx+y 取得最大值的最优解有无穷多个,得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同,解方程即可得到结论【解答】解:不等式对应的平面区域如图:由 zkx+ y 得 ykx+z,若 k0 时,直线 ykx+ zz,此时取得最大值的最优解只有一个,不满足条件,k0,则直线 ykx+ z 截距取得最大值时,z 取的最大值,此时直线与 xy 重合时,最大值有无数个,k1,解得 k1当k 0 时,目标函数的最优解只有一个,不满

15、足题意;故选:A【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,结合 zkx+y 取得最大值的最优解有无穷多个,利用结合数形结合是解决本题的根据7 (5 分)已知 ,则 的值为(  )A B C D【分析】由题意利用诱导公式求得 cos( )的值,可得 sin( )的值,再根据 sin(2 )sin2( ) ,利用二倍角公式求得结果【解答】解: cos( ) ,sin( ) ,第 9 页(共 24 页)则 sin(2 )sin2( )2sin( )cos ( )2( ) ,故选:C【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,同角三角函数的基本关系,属于基础题8 (5 分

16、)已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a 1 1,且a 3、a 2、a 4 成等差数列,则 Sn 与 an 的关系是(  )AS n2a n1 BS n2a n+1 CS n4a n3 DS n4a n1【分析】设等比数列的公比为 q(q0) ,由已知列式求得 q,再由等比数列的通项公式与前 n 项和求解得答案【解答】解:设等比数列的公比为 q(q0) ,由 a11,且a 3、a 2、a 4 成等差数列,得 2a2a 4a 3,即 2qq 3q 2,得 q2 , ,则 Sn2a n1故选:A【点评】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和,考查等差数列的性质,是基础题9 (

17、5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的表面积为(  )A10 B18 C D【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解:由题意可知几何体上部是半径为 2 的半球;下部是圆台,下底半径为 2,上底半径为 1,高为 4,所以,几何体的表面积为:S2 2+212+(2+1) 6+3 故选:D第 10 页(共 24 页)【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键10 (5 分)某饲料厂原有陈粮 10 吨,又购进新粮 x 吨,现将粮食总库存量的一半精加工为饲料若被精加工的新粮最多可用

18、y1 吨,被精加工的陈粮最多可用 y2 吨,记 f(x)y 1+y2,则函数 f(x )的图象为(  )A BC D【分析】根据条件,利用特殊值分别验证当 x0,10,20 时,函数图象的对应值,利用排除法进行求解即可【解答】解:若 x0,则此时库存为 10 吨,则库存的一半为 5 吨加工成饲料,则 y10,y 25,此时 f(0)0+55,排除 A,若 x10,则此时库存为 10+1020 吨,则库存的一半为 10 吨加工成饲料,若全部被加工的是陈粮,则 y210,若全部被加工的是新粮,则 y110,此时 f(10)10+10 20,若 x20,则此时库存为 10+2030 吨,则

19、库存的一半为 15 吨加工成饲料,若全部被加工的是陈粮,则 y210,若全部被加工的是新粮,则 y115,此时 f(20)10+15 25,排除 D,(0,5) , (10,20) , (20,25)三点不共线,不可能是直线,故排除 C,故选:B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用特值法结合排除法是解决本题的关键11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 C:(x3) 2+(y a) 24 上存在两点A、B 满足: AOB60,则实数 a 的最大值是(  )A5 B3 C D第 11 页(共 24 页)【分析】根据题意,分析可得:当圆心距离 x 轴的距离越远,AOB

20、 越小,由圆的方程分析可得圆心在直线 xa 上,进而可得当 a0 时,圆心 C 在 x 轴上方,若 OA、OB 为圆的切线且AOB60,此时 a 取得最大值,据此可得|OC| 2|AC| 4,即(30)2+(a0) 216,解可得 a 的值,即可得答案【解答】解:根据题意,圆 C 的圆心为(3,a) ,在直线 xa 上,分析可得:当圆心距离 x 轴的距离越远,AOB 越小,如图:当 a0 时,圆心 C 在 x 轴上方,若 OA、OB 为圆的切线且 AOB 60,此时a 取得最大值,此时AOC30,有|OC| 2| AC| 4,即(30 ) 2+(a0) 216,解可得 a ,故实数 a 的最大

21、值是 ,故选:C【点评】本题考查直线与圆的位置关系,注意分析角AOB 的变化规律,属于基础题12 (5 分)设函数 ,曲线 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程是(  )A5xy40 B3xy20 Cxy0 Dx 1【分析】由已知取 x1,可得 f(1)f( )2,把已知等式求导,取 x 求得f(1) ,进一步得到 f( ) ,则函数解析式可求,则曲线 f(x)在(1,f(1) )处的切线方程可求【解答】解:由 ,得 f(1)f ( )2,第 12 页(共 24 页)由 ,得 f(x ) ,取 x ,可得 f( )f( )2+2f(1) ,f (1)1,代入 f(1)f( )2,

22、得 f( )3,f(x)3x 22x+lnx,则 f(x)6x2+ f(1)5,曲线 f(x)在( 1,f(1) )处的切线方程是 y15(x1) ,即 5xy40故选:A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,关键是明确 f( )为常数,是中档题二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在边长为 1 的正方形四个顶点中任取两个点,则这两点之间距离大于 1 的概率为    【分析】利用列举法分别列举出对应事件的个数,结合古典概型的概率公式进行求解即可【解答】解:从正方形 ABCD 四个顶点中任取 2 个点,有 AB,BC,CD

23、,DA,AC,BD共有 6 种结果,若这 2 个点间的距离大于该正方形边长,则为 AC,BD,2 个结果,则对应的概率 P ,故答案为:【点评】本题主要考查概率的计算,利用列举法是解决本题的关键14 (5 分)已知双曲线 C: 的离心率为 ,C 与抛物线y28x 的准线交于 A、B 两点, |AB|2,则双曲线 C 的焦距为 2   第 13 页(共 24 页)【分析】根据双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用|AB| 2,即可求得结论【解答】解:抛物线 y28x,2p8,p4, 2抛物线的准线方程为 x2设双曲线与抛物线的准线 x2 的两个交点 A(2,y ) ,B(2,y) (y

24、 0) ,则|AB| |y(y )|2y2,y1将 x2,y1代入双曲线 C: ,得 ,又双曲线 C: 的离心率为 , ,即 2,b 2a 2由得 a2 3,b 23,双曲线 C 的焦距为:2故答案为:2 【点评】本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题15 (5 分)设等差数列a n的公差为 d,若 ,且 ,则an的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为 4 【分析】推导出 a115d,从而 an1+(n6)d,由 an0,得 n6 ,由第 14 页(共 24 页) d ,能求出a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值【解答】解: ,(a 11

25、1+a 11) (a 111a 1+1)0,(2a 1+10d2)10d0,2a 1+10d20,a 115d,a n15d+(n1)d1+(n6)d,a n0 时,1+(n6)d0,n6 , d ,3 2,n62,a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为 8故答案为:8【点评】本题考查等差数列的前 n 项和取最大值时项数 n 的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力能力,是中档题16 (5 分)如图,平面图形由一个边长为 6 的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为 6、8、10,现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥,则该四棱锥的体积为 1

26、2   【分析】根据四棱锥的侧棱长可知一个侧面与底面垂直,此侧面的高即棱锥的高,利用勾股定理求出高即可得出棱锥的体积【解答】解:由侧面展开图可知四棱锥的一个侧面与底面垂直,该侧面为等腰三角形,第 15 页(共 24 页)腰长为 8,底边为 6,此等腰三角形的高为 ,故四棱锥的高为 ,四棱锥的体积 V 12 故答案为:12 【点评】本题考查了棱锥的结构特征,体积计算,属于基础题三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60 分17 (12 分)在ABC

27、中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知:(1)求边 c 和 sinC;(2)设 D 是 BC 边上一点,且 ADAC,求ABD 的面积【分析】 (1)由已知可求 A 的值,根据余弦定理解得 c 的值,利用正弦定理可求 sinC的值(2)利用同角三角函数基本关系式可求 ,在直角ADC 中,可求 AD 的值,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 (本题满分为 12 分)解:(1) , ,根据余弦定理:a 2b 2+c22bccosA,得: (舍去) ,(3 分)根据正弦定理: ,综上, ;(6 分)(2)由 ,得出 ,第 16 页(共 24 页)在直角ADC 中, , ,(9 分

28、) ,即ABD 的面积为 (12 分)【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题18 (12 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,已知点 M 在正方形A1B1C1D1 内部, (1)经过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线与 CM 垂直 说明作法及理由) ;(2)求直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值【分析】 (1)计算 C1M 可知 M 为 A1C1 的中点,故 B1D1 即为所求直线;(2)取 AC,BD 的交点 O,则可证 AC平面 BD

29、D1B1,于是 CMO 为所求角【解答】解:(1)过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线 B1D1 即为所求理由如下:连接 C1M,在直角CC 1M 中,可计算 又 , ,所以点 M 是 A1C1 的中点,所以 B1D1C 1M,B 1D1CC 1,C 1MCC 1C 1,所以 B1D1平面 CC1M,所以 B1D1CM第 17 页(共 24 页)(2)连接 AC 与 BD 交于点 O,易证 AC平面 BDD1B1,所以直线 CM 在平面 BDD1B1 内的射影是(,1) ,所以CMO 就是直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角,在CMO 中, 故直线 CM 与平面 BDD1B1

30、所成角的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定,线面角的计算,属于中档题19 (12 分)某蛋糕店计划按天生产一种面包,每天生产量相同,生产成本每个 6 元,售价每个 8 元,未售出的面包降价处理,以每个 5 元的价格当天全部处理完(1)若该蛋糕店一天生产 30 个这种面包,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:个,nN)的函数解析式;(2)蛋糕店记录了 30 天这种面包的日需求量(单位:个) ,整理得表:日需求量 n 28 29 30 31 32 33频数 3 4 6 6 7 4假设蛋糕店在这 30 天内每天生产 30 个这种面包,求这 30 天的日利润(单位:元)的平均

31、数及方差;(3)蛋糕店规定:若连续 10 天的日需求量都不超过 10 个,则立即停止这种面包的生产,现给出连续 10 天日需求量的统计数据为“平均数为 6,方差为 2”,试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产?并给出理由【分析】 (1)当天需求量 n30 时,当天的利润 y8n+5(30n)6303n30,当天需求量 n30 时,当天的利润 y83063060由此能求出当天的利润y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:个,nN)的函数解析式(2)由题意能求出这 30 天的日利润的平均数和方差第 18 页(共 24 页)(3)根据该统计数据,一定要停止这种面包的生产推导出连续 10 天

32、的日需求量都不超过 10 个,由此说明一定要停止这种面包的生产【解答】解:(1)由题意可知,当天需求量 n30 时,当天的利润 y8n+5(30n)6303n30,当天需求量 n30 时,当天的利润 y83063060故当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:个,nN)的函数解析式为:,nN (4 分)(2)由题意可得:日需求量 n 28 29 30 31 32 33日利润 54 57 60 60 60 60频数 3 4 6 6 7 4所以这 30 天的日利润的平均数为 (元) , (7 分)方差为  (9 分)(3)根据该统计数据,一定要停止这种面包的生产理由如下:由,

33、可得 ,所以 ,所以 xk10,由此可以说明连续 10 天的日需求量都不超过 10 个,即说明一定要停止这种面包的生产 (12 分)【点评】本题考查函数解析式、平均数、方差的求法,考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题20 (12 分)已知PAB 的三个顶点都在椭圆 上,且 AB 过椭圆的左焦点F,O 为坐标原点,M 在 AB 上,且 第 19 页(共 24 页)(1)求点 M 的轨迹方程;(2)求|PM| 的取值范围【分析】 (1)法一(代数法)设 AB:xmy2,M(x,y) ,通过 消去 m 得x2+y2+2x0( x0)推出结果法二(几何法)由已知可得 F

34、(2,0) ,OMAB,说明 M 的轨迹为以 OF 为直径的圆(经检验,原点也符合题意) 求解即可(2)由(1)知,M 的轨迹为以 N(1,0)为圆心,1 为半径的圆,设 P(x 0,y 0) ,则 ,求出 PN 的表达式,利用二次函数的性质求解最大值与最小值即可【解答】 (12 分)解:(1)法一(代数法)由已知可得 F(2,0) ,故当直线 AB 斜率不为 0 时,可设AB:x my2,M (x,y )由 消去 m 得 x2+y2+2x0(x0)经检验,当直线 AB 斜率为 0,即 m 存在时,M (0,0)也符合上式,故点 M 的轨迹方程为:(x+1) 2+y21 (6 分)法二(几何法

35、)由已知可得 F(2,0) ,OMAB,所以 M 的轨迹为以 OF 为直径的圆(经检验,原点也符合题意) M 的轨迹方程为:(x+1) 2+y21(2)由(1)知,M 的轨迹为以 N(1,0)为圆心,1 为半径的圆,设 P(x 0,y 0)则 , ,当 时,当 时, ,|PM |的取值范围是 (12 分)第 20 页(共 24 页)【点评】本题考查轨迹方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力21 (12 分)已知函数 (1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调区间,并求出其极值;(2)若函数 F(x )f(x)g(x) ,存在两个零点,求 k 的取值范围【分析】 (1

36、)先求出函数的导数,然后根据导数的符号,判断函数的单调区间,利用单调性确定出极大值与极小值;(2)有两种思路:一是对 k 分情况讨论,根据各种情况函数 F(x)零点个数,确定 k的取值范围;二是先对问题进行转化,再利用数形结合的方法求解【解答】解:(1)当 k1 时, ,f'(x)(x+1)e x(x+1)(x+1) (e x1) ,故 x(, 1) ,f(x ) 0,f (x)为增函数,x ( 1,0) ,f(x)0,f(x)为减函数, x( 0,+) ,f '(x)0,f(x )为增函数,故函数 f(x)的单调增区间为(,1)和(0,+) ;单调减区间为(1,0) &nbs

37、p;   (4 分) ,f(x ) 极小 f(0) 0 (5 分)(2)解法一:由已知, ,g(x)ke xx F'(x)kxe xxx(ke x1) (6 分)当 k0 时,F(x)在(,0)为增,在(0,+)为减,且注意到 F(0)k 0,函数 F(x )的图象两边向下无限伸展,故此时 F(x)存在两个零点,适合题意                                    (7分)

38、当 k0 时, 在(,0)为增,在(0,+)为减,且 F(0)0,故此时 F(x )只有一个零点                                    (8 分)当 k1 时, F(x)xe xxx(e x1) ,故函数( ,+)为增,易知函数 F(x )只有一个零点                   &nbs

39、p;                           (9 分)第 21 页(共 24 页)当 k(0,1)时, ,F(x )在(,0)为增, 为减,为增,且 F(0)k 0 易知 F(x )只有一个零点                                    (10 分

40、)当 k(1,+ )时, ,F(x )在 为增, 为减,(0,+)为增,且 ,F(0)k0 易知 F(x)只有一个零点           (11 分)综上,k( ,0)时,函数 F(x)f (x)g(x)存在两个零点                       (12 分)解法二:F(x) f(x)g(x)依题函数 F(x )f(x)g(x)存在两个零点,即方程 有两个根也即直线 yk(x 1)与函数 的图象有两个交点  

41、                           (7 分)记 ,由 h'(x )0x(2x )00x2,由 h'(x)0x(2x)0x0,x2故 h(x)在(,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减              (9 分)且 h(0)0,x0 时 h(x )0又直线 yk(x 1)过(1, 0) ,斜率为 k由图象观察知:当 k

42、0 时直线 yk (x1)与 的图象必有两个交点, (10分)第 22 页(共 24 页)当 k0 时直线 yk (x1)与 的图象只有一个交点                        (11 分)综上,函数 F(x )f(x)g(x)存在两个零点,k 的取值范围为(,0) (12分)【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点等问题,综合性较强(二)选考题(共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分)选修 4-4:

43、坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0,直线 l的参数方程为 (1)求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且|AB |8,求以 AB 为直径的圆的方程【分析】 (1)两边同乘以 后,用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程,有直线参数方程消去参数 t 后可得直线 l 的直角坐标方程;(2)联立直线与曲线 C 根据韦达定理以及抛物线的定义可得 tan1,根据中点公式可得 AB 的中点的坐标,再写出圆的方程【解答】解(1)由 cos24cos 0 得2 2cos24cos0x 2+

44、y2x 24x0所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x (3 分)由 ,消去参数 t 得直线 l 的直角坐标方程为 ytan (x1)     (5 分)(2)设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)由得 tan2x2(2tan 2+4)x +tan20所以 , (7 分)因直线 l 恒过点(1,0)即过抛物线 C 的焦点,所以   (8 分)第 23 页(共 24 页)由题设知 ,又 ,故 tan1,因此 l 的方程为 yx1又|AB| x1+x2+28 x1+x26,所以 AB 的中点坐标为( 3,2) , (9 分)因此所求圆的方程为(x3) 2+

45、(y2) 216                                    (10 分)【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x +1|+|x1| (1)求不等式 f(x )2 的解集;(2)当 恒成立,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)通过去掉绝对值符号,转化求解不等式即可(2)画出函数的图象,利用数形结合转化求解即可【解答】解:(1) ,f(x )2 等价于 或或 ,所以 或 0x1 或 x1,故原不等式的解集为    (5 分)(2)yf(x)的图象如图所示: ,B(1,3) ,直线 过定点因为 ,所以     (10 分)第 24 页(共 24 页)【点评】本题考查函数与方程的应用,绝对值不等式的解法,考查数形结合以及计算能力