1、2019年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 20 ，Bx|2 x2，则有（ ）AAB x|0x2 BABx|1x1CAB x| 1x1 DABx|1x22 （5 分）已知 i 是虚数单位，则 （ ）A2i B2i C2 D23 （5 分）已知向量 ，若 ，则实数 m（ ）A0 B C3 D4 （5 分）在一组样本数据（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2） 、 （x n，y n） （n2，x 1、x
2、2、x n 互不相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i） （i 1，2，n）都在直线y2x +100 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A1 B0 C D15 （5 分）下列命题正确的是（ ）A若 pq 为假命题，则 p、 q 都是假命题Bab 是 lnalnb 的充分不必要条件C命题“若 coscos，则 ”的逆否命题为真命题D命题“ x0R，x 0+60”的否定是“ x0R，x 0+60”6 （5 分）x、y 满足约束条件 ，若 zkx+y 取得最大值的最优解有无数个，则实数k 的值为（ ）A1 B0 C1 D1 或 07 （5 分）已知
3、 ，则 的值为（ ）A B C D8 （5 分）已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 1，且a 3、a 2、a 4 成等差数列，则 Sn 与 an 的关系是（ ）第 2 页（共 24 页）AS n2a n1 BS n2a n+1 CS n4a n3 DS n4a n19 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A10 B18 C D10 （5 分）某饲料厂原有陈粮 10 吨，又购进新粮 x 吨，现将粮食总库存量的一半精加工为饲料若被精加工的新粮最多可用 y1 吨，被精加工的陈粮最多
4、可用 y2 吨，记 f（x）y 1+y2，则函数 f（x ）的图象为（ ）A BC D11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：（x3） 2+（y a） 24 上存在两点A、B 满足： AOB60，则实数 a 的最大值是（ ）A5 B3 C D12 （5 分）设函数 ，曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程是（ ）A5xy40 B3xy20 Cxy0 Dx 1二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在边长为 1 的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于 1 的概率为
5、; 第 3 页（共 24 页）14 （5 分）已知双曲线 C： 的离心率为 ，C 与抛物线y28x 的准线交于 A、B 两点， |AB|2，则双曲线 C 的焦距为 15 （5 分）设等差数列a n的公差为 d，若 ，且 ，则an的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为 16 （5 分）如图，平面图形由一个边长为 6 的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为 6、8、10，现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥，则该四棱锥的体积为 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说
6、明、证明过程或演箅步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知：（1）求边 c 和 sinC；（2）设 D 是 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积18 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，已知点 M 在正方形A1B1C1D1 内部， （1）经过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线与 CM 垂直 说明作法及理由） ；（2）求直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值第 4
7、 页（共 24 页）19 （12 分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个 6 元，售价每个 8 元，未售出的面包降价处理，以每个 5 元的价格当天全部处理完（1）若该蛋糕店一天生产 30 个这种面包，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：个，nN）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了 30 天这种面包的日需求量（单位：个） ，整理得表：日需求量 n 28 29 30 31 32 33频数 3 4 6 6 7 4假设蛋糕店在这 30 天内每天生产 30 个这种面包，求这 30 天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续 10 天的日需求量都
8、不超过 10 个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续 10 天日需求量的统计数据为“平均数为 6，方差为 2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由20 （12 分）已知PAB 的三个顶点都在椭圆 上，且 AB 过椭圆的左焦点F，O 为坐标原点，M 在 AB 上，且 （1）求点 M 的轨迹方程；（2）求|PM| 的取值范围21 （12 分）已知函数 （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调区间，并求出其极值；（2）若函数 F（x ）f（x）g（x） ，存在两个零点，求 k 的取值范围（二）选考题（共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做
9、的第一题计分）选修 4-4：坐标系与参数方程第 5 页（共 24 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0，直线 l的参数方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且|AB |8，求以 AB 为直径的圆的方程选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x +1|+|x1| （1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）当 恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 个题，
10、每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax| x2x 20 ，Bx|2 x2，则有（ ）AAB x|0x2 BABx|1x1CAB x| 1x1 DABx|1x2【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集、并集的运算即可【解答】解：Ax| 1x 2，Bx|x1；ABx| 1x 1故选：B【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算2 （5 分）已知 i 是虚数单位，则 （ ）A2i B2i C2 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 2故选：
11、D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）已知向量 ，若 ，则实数 m（ ）A0 B C3 D【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可【解答】解：向量 ，若 ，可得：3+ m6，解得 m 故选：B【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力第 7 页（共 24 页）4 （5 分）在一组样本数据（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2） 、 （x n，y n） （n2，x 1、x 2、x n 互不相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i） （i 1，2，n）都在直线y2x +100 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A1
12、B0 C D1【分析】根据题意，分析可得组样本数据完全负相关，即可得答案【解答】解：根据题意，若所有样本点（x i，y i） （i 1， 2，n）都在直线y2x+100 上，那么这组样本数据完全负相关，则相关系数为1；故选：A【点评】本题考查相关系数的定义以及性质，关键是掌握相关系数的定义5 （5 分）下列命题正确的是（ ）A若 pq 为假命题，则 p、 q 都是假命题Bab 是 lnalnb 的充分不必要条件C命题“若 coscos，则 ”的逆否命题为真命题D命题“ x0R，x 0+60”的否定是“ x0R，x 0+60”【分析】利用复合命题的真假判断 A 的正误；充要条件判断
13、B 的正误；四种命题的逆否关系判断 C 的正误；命题的否定判断 D 的正误【解答】解：pq 为假命题，则 p、q 至少一个是假命题，所以 A 不正确；ab0 是 lnalnb 的充分不必要条件，所以 B 不正确；命题“若 coscos ，则 ”的逆否命题为： ，则 coscos，反例 30，30 ，cos cos 不正确，所以 C 不正确；命题“ x0R，x 0+60”的否定是“x 0R，x 0+60” ，满足命题的否定形式，所以 D正确；故选：D【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，充要条件四种命题的逆否关系，是基本知识的考查6 （5 分）x、y 满足约束条件 ，若 zkx+
14、y 取得最大值的最优解有无数个，则实数第 8 页（共 24 页）k 的值为（ ）A1 B0 C1 D1 或 0【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 zkx+y 取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由 zkx+ y 得 ykx+z，若 k0 时，直线 ykx+ zz，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件，k0，则直线 ykx+ z 截距取得最大值时，z 取的最大值，此时直线与 xy 重合时，最大值有无数个，k1，解得 k1当k 0 时，目标函数的最优解只有一个，不满
15、足题意；故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，结合 zkx+y 取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据7 （5 分）已知 ，则 的值为（ ）A B C D【分析】由题意利用诱导公式求得 cos（ ）的值，可得 sin（ ）的值，再根据 sin（2 ）sin2（ ） ，利用二倍角公式求得结果【解答】解： cos（ ） ，sin（ ） ，第 9 页（共 24 页）则 sin（2 ）sin2（ ）2sin（ ）cos （ ）2（ ） ，故选：C【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题8 （5 分
16、）已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 1，且a 3、a 2、a 4 成等差数列，则 Sn 与 an 的关系是（ ）AS n2a n1 BS n2a n+1 CS n4a n3 DS n4a n1【分析】设等比数列的公比为 q（q0） ，由已知列式求得 q，再由等比数列的通项公式与前 n 项和求解得答案【解答】解：设等比数列的公比为 q（q0） ，由 a11，且a 3、a 2、a 4 成等差数列，得 2a2a 4a 3，即 2qq 3q 2，得 q2 ， ，则 Sn2a n1故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和，考查等差数列的性质，是基础题9 （
17、5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A10 B18 C D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解：由题意可知几何体上部是半径为 2 的半球；下部是圆台，下底半径为 2，上底半径为 1，高为 4，所以，几何体的表面积为：S2 2+212+（2+1） 6+3 故选：D第 10 页（共 24 页）【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键10 （5 分）某饲料厂原有陈粮 10 吨，又购进新粮 x 吨，现将粮食总库存量的一半精加工为饲料若被精加工的新粮最多可用
18、y1 吨，被精加工的陈粮最多可用 y2 吨，记 f（x）y 1+y2，则函数 f（x ）的图象为（ ）A BC D【分析】根据条件，利用特殊值分别验证当 x0，10，20 时，函数图象的对应值，利用排除法进行求解即可【解答】解：若 x0，则此时库存为 10 吨，则库存的一半为 5 吨加工成饲料，则 y10，y 25，此时 f（0）0+55，排除 A，若 x10，则此时库存为 10+1020 吨，则库存的一半为 10 吨加工成饲料，若全部被加工的是陈粮，则 y210，若全部被加工的是新粮，则 y110，此时 f（10）10+10 20，若 x20，则此时库存为 10+2030 吨，则
19、库存的一半为 15 吨加工成饲料，若全部被加工的是陈粮，则 y210，若全部被加工的是新粮，则 y115，此时 f（20）10+15 25，排除 D，（0，5） ， （10，20） ， （20，25）三点不共线，不可能是直线，故排除 C，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特值法结合排除法是解决本题的关键11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：（x3） 2+（y a） 24 上存在两点A、B 满足： AOB60，则实数 a 的最大值是（ ）A5 B3 C D第 11 页（共 24 页）【分析】根据题意，分析可得：当圆心距离 x 轴的距离越远，AOB
20、 越小，由圆的方程分析可得圆心在直线 xa 上，进而可得当 a0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA、OB 为圆的切线且AOB60，此时 a 取得最大值，据此可得|OC| 2|AC| 4，即（30）2+（a0） 216，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆 C 的圆心为（3，a） ，在直线 xa 上，分析可得：当圆心距离 x 轴的距离越远，AOB 越小，如图：当 a0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA、OB 为圆的切线且 AOB 60，此时a 取得最大值，此时AOC30，有|OC| 2| AC| 4，即（30 ） 2+（a0） 216，解可得 a ，故实数 a 的最大
21、值是 ，故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析角AOB 的变化规律，属于基础题12 （5 分）设函数 ，曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程是（ ）A5xy40 B3xy20 Cxy0 Dx 1【分析】由已知取 x1，可得 f（1）f（ ）2，把已知等式求导，取 x 求得f（1） ，进一步得到 f（ ） ，则函数解析式可求，则曲线 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程可求【解答】解：由 ，得 f（1）f （ ）2，第 12 页（共 24 页）由 ，得 f（x ） ，取 x ，可得 f（ ）f（ ）2+2f（1） ，f （1）1，代入 f（1）f（ ）2，
22、得 f（ ）3，f（x）3x 22x+lnx，则 f（x）6x2+ f（1）5，曲线 f（x）在（ 1，f（1） ）处的切线方程是 y15（x1） ，即 5xy40故选：A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是明确 f（ ）为常数，是中档题二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在边长为 1 的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于 1 的概率为 【分析】利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可【解答】解：从正方形 ABCD 四个顶点中任取 2 个点，有 AB，BC，CD
23、，DA，AC，BD共有 6 种结果，若这 2 个点间的距离大于该正方形边长，则为 AC，BD，2 个结果，则对应的概率 P ，故答案为：【点评】本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键14 （5 分）已知双曲线 C： 的离心率为 ，C 与抛物线y28x 的准线交于 A、B 两点， |AB|2，则双曲线 C 的焦距为 2 第 13 页（共 24 页）【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB| 2，即可求得结论【解答】解：抛物线 y28x，2p8，p4， 2抛物线的准线方程为 x2设双曲线与抛物线的准线 x2 的两个交点 A（2，y ） ，B（2，y） （y
24、 0） ，则|AB| |y（y ）|2y2，y1将 x2，y1代入双曲线 C： ，得 ，又双曲线 C： 的离心率为 ， ，即 2，b 2a 2由得 a2 3，b 23，双曲线 C 的焦距为：2故答案为：2 【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题15 （5 分）设等差数列a n的公差为 d，若 ，且 ，则an的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为 4 【分析】推导出 a115d，从而 an1+（n6）d，由 an0，得 n6 ，由第 14 页（共 24 页） d ，能求出a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值【解答】解： ，（a 11
25、1+a 11） （a 111a 1+1）0，（2a 1+10d2）10d0，2a 1+10d20，a 115d，a n15d+（n1）d1+（n6）d，a n0 时，1+（n6）d0，n6 ， d ，3 2，n62，a n的前 n 项和 Sn 取得最大值时项数 n 的值为 8故答案为：8【点评】本题考查等差数列的前 n 项和取最大值时项数 n 的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力能力，是中档题16 （5 分）如图，平面图形由一个边长为 6 的正方形和四个三角形构成上下两个三角形的边长分别为 6、8、10，现在沿正方形的四条边将这个平面图形折成一个四棱锥，则该四棱锥的体积为 1
26、2 【分析】根据四棱锥的侧棱长可知一个侧面与底面垂直，此侧面的高即棱锥的高，利用勾股定理求出高即可得出棱锥的体积【解答】解：由侧面展开图可知四棱锥的一个侧面与底面垂直，该侧面为等腰三角形，第 15 页（共 24 页）腰长为 8，底边为 6，此等腰三角形的高为 ，故四棱锥的高为 ，四棱锥的体积 V 12 故答案为：12 【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60 分17 （12 分）在ABC
27、中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知：（1）求边 c 和 sinC；（2）设 D 是 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积【分析】 （1）由已知可求 A 的值，根据余弦定理解得 c 的值，利用正弦定理可求 sinC的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求 ，在直角ADC 中，可求 AD 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） ， ，根据余弦定理：a 2b 2+c22bccosA，得： （舍去） ，（3 分）根据正弦定理： ，综上， ；（6 分）（2）由 ，得出 ，第 16 页（共 24 页）在直角ADC 中， ， ，（9 分
28、） ，即ABD 的面积为 （12 分）【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，已知点 M 在正方形A1B1C1D1 内部， （1）经过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线与 CM 垂直 说明作法及理由） ；（2）求直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值【分析】 （1）计算 C1M 可知 M 为 A1C1 的中点，故 B1D1 即为所求直线；（2）取 AC，BD 的交点 O，则可证 AC平面 BD
29、D1B1，于是 CMO 为所求角【解答】解：（1）过点 M 在平面 A1B1C1D1 内作一条直线 B1D1 即为所求理由如下：连接 C1M，在直角CC 1M 中，可计算 又 ， ，所以点 M 是 A1C1 的中点，所以 B1D1C 1M，B 1D1CC 1，C 1MCC 1C 1，所以 B1D1平面 CC1M，所以 B1D1CM第 17 页（共 24 页）（2）连接 AC 与 BD 交于点 O，易证 AC平面 BDD1B1，所以直线 CM 在平面 BDD1B1 内的射影是（，1） ，所以CMO 就是直线 CM 与平面 BDD1B1 所成角，在CMO 中， 故直线 CM 与平面 BDD1B1
30、所成角的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题19 （12 分）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个 6 元，售价每个 8 元，未售出的面包降价处理，以每个 5 元的价格当天全部处理完（1）若该蛋糕店一天生产 30 个这种面包，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：个，nN）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了 30 天这种面包的日需求量（单位：个） ，整理得表：日需求量 n 28 29 30 31 32 33频数 3 4 6 6 7 4假设蛋糕店在这 30 天内每天生产 30 个这种面包，求这 30 天的日利润（单位：元）的平均
31、数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续 10 天的日需求量都不超过 10 个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续 10 天日需求量的统计数据为“平均数为 6，方差为 2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由【分析】 （1）当天需求量 n30 时，当天的利润 y8n+5（30n）6303n30，当天需求量 n30 时，当天的利润 y83063060由此能求出当天的利润y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：个，nN）的函数解析式（2）由题意能求出这 30 天的日利润的平均数和方差第 18 页（共 24 页）（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产推导出连续 10 天
32、的日需求量都不超过 10 个，由此说明一定要停止这种面包的生产【解答】解：（1）由题意可知，当天需求量 n30 时，当天的利润 y8n+5（30n）6303n30，当天需求量 n30 时，当天的利润 y83063060故当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：个，nN）的函数解析式为：，nN （4 分）（2）由题意可得：日需求量 n 28 29 30 31 32 33日利润 54 57 60 60 60 60频数 3 4 6 6 7 4所以这 30 天的日利润的平均数为 （元） ， （7 分）方差为 （9 分）（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产理由如下：由，
33、可得 ，所以 ，所以 xk10，由此可以说明连续 10 天的日需求量都不超过 10 个，即说明一定要停止这种面包的生产 （12 分）【点评】本题考查函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）已知PAB 的三个顶点都在椭圆 上，且 AB 过椭圆的左焦点F，O 为坐标原点，M 在 AB 上，且 第 19 页（共 24 页）（1）求点 M 的轨迹方程；（2）求|PM| 的取值范围【分析】 （1）法一（代数法）设 AB：xmy2，M（x，y） ，通过 消去 m 得x2+y2+2x0（ x0）推出结果法二（几何法）由已知可得 F
34、（2，0） ，OMAB，说明 M 的轨迹为以 OF 为直径的圆（经检验，原点也符合题意） 求解即可（2）由（1）知，M 的轨迹为以 N（1，0）为圆心，1 为半径的圆，设 P（x 0，y 0） ，则 ，求出 PN 的表达式，利用二次函数的性质求解最大值与最小值即可【解答】 （12 分）解：（1）法一（代数法）由已知可得 F（2，0） ，故当直线 AB 斜率不为 0 时，可设AB：x my2，M （x，y ）由 消去 m 得 x2+y2+2x0（x0）经检验，当直线 AB 斜率为 0，即 m 存在时，M （0，0）也符合上式，故点 M 的轨迹方程为：（x+1） 2+y21 （6 分）法二（几何法
35、）由已知可得 F（2，0） ，OMAB，所以 M 的轨迹为以 OF 为直径的圆（经检验，原点也符合题意） M 的轨迹方程为：（x+1） 2+y21（2）由（1）知，M 的轨迹为以 N（1，0）为圆心，1 为半径的圆，设 P（x 0，y 0）则 ， ，当 时，当 时， ，|PM |的取值范围是 （12 分）第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查轨迹方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知函数 （1）当 k1 时，求函数 f（x）的单调区间，并求出其极值；（2）若函数 F（x ）f（x）g（x） ，存在两个零点，求 k 的取值范围【分析】 （1
36、）先求出函数的导数，然后根据导数的符号，判断函数的单调区间，利用单调性确定出极大值与极小值；（2）有两种思路：一是对 k 分情况讨论，根据各种情况函数 F（x）零点个数，确定 k的取值范围；二是先对问题进行转化，再利用数形结合的方法求解【解答】解：（1）当 k1 时， ，f'（x）（x+1）e x（x+1）（x+1） （e x1） ，故 x（， 1） ，f（x ） 0，f （x）为增函数，x （ 1，0） ，f（x）0，f（x）为减函数， x（ 0，+） ，f '（x）0，f（x ）为增函数，故函数 f（x）的单调增区间为（，1）和（0，+） ；单调减区间为（1，0） &nbs
37、p; （4 分） ，f（x ） 极小 f（0） 0 （5 分）（2）解法一：由已知， ，g（x）ke xx F'（x）kxe xxx（ke x1） （6 分）当 k0 时，F（x）在（，0）为增，在（0，+）为减，且注意到 F（0）k 0，函数 F（x ）的图象两边向下无限伸展，故此时 F（x）存在两个零点，适合题意 （7分）
38、当 k0 时， 在（，0）为增，在（0，+）为减，且 F（0）0，故此时 F（x ）只有一个零点 （8 分）当 k1 时， F（x）xe xxx（e x1） ，故函数（ ，+）为增，易知函数 F（x ）只有一个零点 &nbs
39、p; （9 分）第 21 页（共 24 页）当 k（0，1）时， ，F（x ）在（，0）为增， 为减，为增，且 F（0）k 0 易知 F（x ）只有一个零点 （10 分
40、）当 k（1，+ ）时， ，F（x ）在 为增， 为减，（0，+）为增，且 ，F（0）k0 易知 F（x）只有一个零点 （11 分）综上，k（ ，0）时，函数 F（x）f （x）g（x）存在两个零点 （12 分）解法二：F（x） f（x）g（x）依题函数 F（x ）f（x）g（x）存在两个零点，即方程 有两个根也即直线 yk（x 1）与函数 的图象有两个交点
41、 （7 分）记 ，由 h'（x ）0x（2x ）00x2，由 h'（x）0x（2x）0x0，x2故 h（x）在（，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减 （9 分）且 h（0）0，x0 时 h（x ）0又直线 yk（x 1）过（1， 0） ，斜率为 k由图象观察知：当 k
42、0 时直线 yk （x1）与 的图象必有两个交点， （10分）第 22 页（共 24 页）当 k0 时直线 yk （x1）与 的图象只有一个交点 （11 分）综上，函数 F（x ）f（x）g（x）存在两个零点，k 的取值范围为（，0） （12分）【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，综合性较强（二）选考题（共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4-4：
43、坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的极坐标方程为 cos 24cos0，直线 l的参数方程为 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且|AB |8，求以 AB 为直径的圆的方程【分析】 （1）两边同乘以 后，用互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程，有直线参数方程消去参数 t 后可得直线 l 的直角坐标方程；（2）联立直线与曲线 C 根据韦达定理以及抛物线的定义可得 tan1，根据中点公式可得 AB 的中点的坐标，再写出圆的方程【解答】解（1）由 cos24cos 0 得2 2cos24cos0x 2+
44、y2x 24x0所以曲线 C 的直角坐标方程为 y24x （3 分）由 ，消去参数 t 得直线 l 的直角坐标方程为 ytan （x1） （5 分）（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）由得 tan2x2（2tan 2+4）x +tan20所以 ， （7 分）因直线 l 恒过点（1，0）即过抛物线 C 的焦点，所以 （8 分）第 23 页（共 24 页）由题设知 ，又 ，故 tan1，因此 l 的方程为 yx1又|AB| x1+x2+28 x1+x26，所以 AB 的中点坐标为（ 3，2） ， （9 分）因此所求圆的方程为（x3） 2+
45、（y2） 216 （10 分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|2x +1|+|x1| （1）求不等式 f（x ）2 的解集；（2）当 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式即可（2）画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可【解答】解：（1） ，f（x ）2 等价于 或或 ，所以 或 0x1 或 x1，故原不等式的解集为 （5 分）（2）yf（x）的图象如图所示： ，B（1，3） ，直线 过定点因为 ，所以 （10 分）第 24 页（共 24 页）【点评】本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及计算能力