1、2018 年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集为 R，集合 Ax|log 2x2，B x|x22x30，则（ RA）B 等于（ ）A1，+ ） B4 ，+）C （，1）（3，+ ） D （， 1）4 ，+）2 （5 分）若实数 x，y 满足 +y2+ i（i 为虚数单位） ，则 x+yi 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知 a，b 为实数，则“abb 2”是“ab0”的（ &n
2、bsp;）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积为（ ）A8 B32 C16 D165 （5 分）执行如图的程序框图，若 a8，则输出的 S（ ）第 2 页（共 29 页）A2 B C0 D16 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，抛物线上一点 P，若|PF|5，则PKF 的面积为（ ）A4 B5 C8 D107 （5 分）已知点 P（m，n）在不等式组 表示的平面区域内，则实数 m 的取值
3、范围是（ ）A B5 C 5 D 5，18 （5 分）如图，已知函数 f（x ） cos（x+） （0， 0）的部分图象与 x 轴的一个交点为 A（ ） ，与 y 轴的交点为 B（0， ） ，那么函数 f（x）图象上的弧线 AB 与两坐标所围成图形的面积为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 f（x ） ，设 g（x）kf（x）+x 2+x（k 为常数） ，若g（10）2018，则 g（10）等于（ ）A1998 B2038 C1818 D221810 （5 分）在周易中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻有放第 3 页（共 29 页）回地取阳
4、爻和阴爻三次合成一卦，共有 238 种组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有 2 种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况所谓的“算卦” ，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）A B C D11 （5 分）在ABC 中，A ，ABC 的面积为 2，则 的最小值为（ ）A B C D12 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，过点 F
5、2 的直线 l：12x 5 y240 交双曲线的右支于 A，B 两点，若AF 1B 的角平分线的方程为x4y +20，则三角形 AF1B 内切圆的标准方程为（ ）A （x ） 2+（y ） 2（ ） 2B （x 1） 2+（y ） 2（ ） 2C （x 1） 2+（y ） 2（ ） 2D （x ） 2+（y ） 2（ ） 2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）从某企业的某种产品中抽取 1000 件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图假设这种指标值在185，215 内则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标
6、上的合格率为 第 4 页（共 29 页）14 （5 分）已知正ABC 的边长为 2，若 2 ，则 等于 15 （5 分）已知正三棱台 ABCA 1B1C1 的上下底边长分别为 3 ，高为 7，若该正三棱台的六个顶点均在球 O 的球面上，且球心 O 在正三棱台 ABCA 1B1C1 内，则球O 的表面积为 16 （5 分）如图，有一块半径为 20 米，圆心角 的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形 OCD，弓形 CMD，扇形 AOC 和扇形 BOD（其中AOCBOD） 某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、
7、紫龙卧雪、朱砂红霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50 元/ 米 2，30 元/ 米 2，40 元/米 2为使预计日总效益最大，COD 的余弦值应等于 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知各项均为正数且递增的等比数列a n满足： 2a3， ，2a 5 成等差数列，前 5 项和 S531（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 a1，a 2，a 2，a 2，a 3，a 3，a 3，a 3，a 3， 的前 100 项和18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形
8、，AB CD，AB AD，AB 2CD2AD4，侧面 PAB 是等腰直角三角形， PAPB，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分别是棱 AB，PB 上的点，平面 CEF平面 PAD第 5 页（共 29 页）（1）确定点 E，F 的位置，并说明理由；（2）求二面角 DEFC 的余弦值19 （12 分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B ，C ，D，I，J 共 10 位选手脱颖而出进入全市决赛决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号 1，2，3，7 的 7 名评委，规则是：选手
9、上完课，评委们当初评分，并从 7 位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余 5 位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分记评委 i 对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委 i 对这位选手的分数排名偏差 ”（i1，27） 排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手 B，E 分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名） 七位评委评分情况如下表所示：1 2 3 4 5 6 7A 81 86 89 84 86 85 84B 76 79 80 74 82 80 75C 87 91 89 90 81 93 83D 92 8
10、7 88 89 90 93 91E 91 86 90 88 92 88 88F 81 86 89 82 84 91 89G 82 81 85 84 86 83 87H 91 90 93 92 94 93 91I 85 83 83 79 83 87 81J 92 94 94 91 95 93 92第 6 页（共 29 页）（1）根据最终评分表，填充如下表格：选手 A B C D E F G H I J平均分 78 888 90 89 86 84 92 83最终名次（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委 4 与评委 5 在这次活动中谁评判更准确号评委评分分析表选手
11、 A B C D E F G H I J最终排名评分排名排名偏差（3）从这 10 位选手中任意选出 3 位，记其中评委 4 比评委 5 对选手排名偏差小的选手数位 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望20 （12 分）已知平面直角坐标系内两定点 A（ ） ，B（2 ）及动点C（x， y） ，ABC 的两边 AC，BC 所在直线的斜率之积为 （1）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（2）设 P 是 y 轴上的一点，若（1）中轨迹 E 上存在两点 M，N 使得 2 ，求以AP 为直径的圆面积的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x ）2xlnx+2x，g（x）a（x 1） （a 为常数，且 a
12、R） （1）若当 x（ 1，+）时，函数 f（x）与 g（x ）的图象有且只要一个交点，试确定自然数 n 的值，使得 a（n，n +1） （参考数值4.48，ln20.69，ln31.10，ln71.95） ；（2）当 x3 时，证明：f（x） （其中 e 为自然对数的底数） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程是 4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为 第 7 页（共 29 页）（1）求曲线 C1，C 2 的直
13、角坐标方程；（2）设曲线 C1C2 交于点 A，B，曲线 C2 与 x 轴交于点 E，求线段 AB 的中点到点 E 的距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+a，g（x ）|2x1|+|2 x+4|（1）解不等式 g（x）6；（2）若对任意的 x1R，存在 x2R，使得g（x 1）f（x 2）成立，求实数 a 的取值范围第 8 页（共 29 页）2018 年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集为 R，集合 Ax|log
14、 2x2，B x|x22x30，则（ RA）B 等于（ ）A1，+ ） B4 ，+）C （，1）（3，+ ） D （， 1）4 ，+）【分析】可求出集合 A，B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：Ax|0 x 4，Bx|x1，或 x3 ； RAx| x0，或 x4；（ RA）Bx |x1，或 x4 （，1）4，+） 故选：D【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的概念及运算2 （5 分）若实数 x，y 满足 +y2+ i（i 为虚数单位） ，则 x+yi 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数的运
15、算法则、复数相等即可得出【解答】解： +y2+i（i 为虚数单位） ，x+y+yi（ 1+i） （2+i）1+3i，解得 y3，x 2则 x+yi 在复平面内对应的点（2，3）位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知 a，b 为实数，则“abb 2”是“ab0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】ab0abb 2，反之不成立，例如：a2，b1即可判断出关系第 9 页（共 29 页）【解答】解：ab0abb 2，反之不成立，例如：a2，b1“abb 2”是“a
16、b0”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积为（ ）A8 B32 C16 D16【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，分别求出它的底面面积和高，代入体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，底面面积 S 424，高 h4，故该几何体的体积 V4416，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5 （5 分）执行如图的程序
17、框图，若 a8，则输出的 S（ ）第 10 页（共 29 页）A2 B C0 D1【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：若 a8，则当 k0 时，满足进行循环的条件，S1，k1；当 k1 时，满足进行循环的条件，S ，k2；当 k2 时，满足进行循环的条件，S2，k3；当 k3 时，满足进行循环的条件，S1，k4；当 k4 时，满足进行循环的条件，S ，k5；当 k5 时，满足进行循环的条件，S2，k6；当 k6 时，满足进行循环的条件，S1，k7；当 k7 时，满足进行循环的条件，S ，k8；当
18、 k8 时，不满足进行循环的条件，故输出的 S ，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，抛物线上一点 P，若|PF|5，则PKF 的面积为（ ）A4 B5 C8 D10【分析】根据抛物线的性质计算 P 点坐标，再得出三角形的面积第 11 页（共 29 页）【解答】解：F（1，0） ，K（ 1，0） ，准线方程为 x1，设 P（x 0，y 0） ，则|PF|x 0+15，即 x04，不妨设 P 在第一象限，则 P（4，4） ，S PKF |F
19、K|y0| 244故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题7 （5 分）已知点 P（m，n）在不等式组 表示的平面区域内，则实数 m 的取值范围是（ ）A B5 C 5 D 5，1【分析】画出约束条件的可行域，利用直线与圆的位置关系，转化求解即可【解答】解：不等式组 表示的平面区域如图阴影部分：由题意可得： ，消去 n，可得 m4 或 m1，由图形可知 m5 ，1故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力8 （5 分）如图，已知函数 f（x ） cos（x+） （0， 0）的部分图象第 12 页（共 29 页）与 x 轴的一个交点为
20、 A（ ） ，与 y 轴的交点为 B（0， ） ，那么函数 f（x）图象上的弧线 AB 与两坐标所围成图形的面积为（ ）A B C D【分析】由特殊点的坐标求出 ，再根据五点法作图求出 ，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线 AB 与两坐标所围成图形的面积【解答】解：如图，根据函数 f（x ） cos（x+） （0， 0）的部分图象与 y 轴的交点为 B（0， ） ，可得 cos ，cos ， 根据函数的图象 x 轴的一个交点为 A（ ） ，结合五点法作图可得 （ ） ，2， 函数 f（x） cos（2x ） 弧线 AB 与两坐标所围成图
21、形的面积为 cos（2x ）dx sin（2 x ） （ ） ，故选：A【点评】本题主要考查由函数 yAsin （ x+）的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出 ，再根据五点法作图求出 ，可得函数的解析式；还考查了定积分的意义，以及定积分的计算，属于中档题9 （5 分）已知函数 f（x ） ，设 g（x）kf（x）+x 2+x（k 为常数） ，若g（10）2018，则 g（10）等于（ ）A1998 B2038 C1818 D2218【分析】推导出 g（10）kf（10）+100+10k （2 101）+1102018，从而第 13 页（共 29 页）k（2 101）1
22、908，由此求出 g（10） 【解答】解：函数 f（x ） ，设 g（x）kf（x ）+x 2+x（k 为常数） ，g（10）2018，g（10）kf（10）+100+10k （2 101）+110 2018，k（2 101）1908，g（10）kf（10）+10010k（2 101）+901908+901998故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10 （5 分）在周易中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238 种组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八
23、卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有 2 种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况所谓的“算卦” ，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n2 664，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件m 20，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率【解答】解：在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数 n2 664，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件 m 20，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻
24、的概率是 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题11 （5 分）在ABC 中，A ，ABC 的面积为 2，则 的最小值第 14 页（共 29 页）为（ ）A B C D【分析】利用三角形的面积求出 bc8，化简所求表达式，利用换元法通过 的范围，利用基本不等式求解表达式的最小值【解答】解：ABC 中，A ，ABC 的面积为 2，S ABC bc2，bc8， ，令 t 则 t0，上式化为： 2 ，当且仅当 2t+1 2，即 t ，可得 b2c，又 bc8，解得 c4，b2 时，等号成立； 的最小值为： 故选：C
25、【点评】本题考查解三角形，表达式的最值的求法，基本不等式的应用，换元法的应用，是难度比较大的题目12 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，过点 F2 的直线 l：12x 5 y240 交双曲线的右支于 A，B 两点，若AF 1B 的角平分线的方程为x4y +20，则三角形 AF1B 内切圆的标准方程为（ ）A （x ） 2+（y ） 2（ ） 2B （x 1） 2+（y ） 2（ ） 2C （x 1） 2+（y ） 2（ ） 2D （x ） 2+（y ） 2（ ） 2第 15 页（共 29 页）【分析】由题意画出图形，由双曲线的定义可得三角形 AF
26、1B 的内切圆切于 F2，再由已知求出双曲线的焦点坐标，设出圆心坐标，由圆心在直线 x4y+20 上及圆的半径相等列式求出圆心坐标，进一步求得半径，则圆的标准方程可求【解答】解：如图，设三角形 AF1B 的内切圆切 AB 于 E，切 AF1 于 G，切 BF1 于 H，则由 BF1BF 2AF 1AF 2，得 BH+HF1（BE+EF 2）AG+GF 1（AEEF 2） ，EF 2EF 2，即 EF20，也就是 E 与 F2 重合由AF 1B 的角平分线的方程为 x4y+20，可得 F1（2，0） ，则 F2（2，0） 设三角形 AF1B 的内切圆的圆心 C（a，b） ，则，解得 a ，b 三
27、角形 AF1B 的内切圆的半径 r 三角形 AF1B 内切圆的标准方程为（x ） 2+（y ） 2（ ） 2 ，故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，训练了圆的标准方程的求法，是中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）从某企业的某种产品中抽取 1000 件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图假设这种指标值在185，215 内则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为 79% 第 16 页（共 29 页）【分析】由频率分布直方图求出这种指标值在185，215内的频率，由此
28、能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率【解答】解：这种指标值在185，215 内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在185，215 内的频率为：（0.022+0.033+0.024）100.79，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为 0.79100%79% 故答案为：79%【点评】本题考查产品合格率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14 （5 分）已知正ABC 的边长为 2，若 2 ，则 等于 1 【分析】根据题意，由向量的三角形法则可得 + + ，进而由数量积的计算公式可得 （ + ） 2+ ，计算即可得答案【解答】解：根据
29、题意，正ABC 的边长为 2，若 2 ， + + ，则 （ + ） 2+ 4+ 22cos120431；故答案为：1第 17 页（共 29 页）【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式15 （5 分）已知正三棱台 ABCA 1B1C1 的上下底边长分别为 3 ，高为 7，若该正三棱台的六个顶点均在球 O 的球面上，且球心 O 在正三棱台 ABCA 1B1C1 内，则球O 的表面积为 100 【分析】取A 1B1C1 的重心 G1，取ABC 的重心 G，则 GG17 是正三棱台ABCA' B'C'的高，由已知求得 AE4，A 1G13，由 OAOA
30、 1 列式求得 OG，进一步求出 OA，则该正三棱台的外接球的表面积可求【解答】解：如图，设下底面中心为 G，上底面中心为 G1，连接 GG1，则球心 O 在 GG1 上，连接 OA，OA 1，则 OAOA 1，由已知求得 ， OG 2+42（7OG） 2+32，解得 OG3OA 225则球 O 的表面积为 425100故答案为：100【点评】本题考查正三棱台的外接球的表面积的求法，考查正三棱台及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16 （5 分）如图，有一块半径为 20 米，圆心角 的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形 OCD
31、，弓形 CMD，扇形 AOC 和扇形 BOD（其中AOCBOD） 某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红第 18 页（共 29 页）霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50 元/米 2，30 元/ 米 2，40 元/米 2为使预计日总效益最大，COD 的余弦值应等于 【分析】设AOC（0 ）日总效益设为 y，运用三角形的面积公式和扇形的面积公式，即可得到目标函数，求得导数，可得单调性，即可得到所求最大值点【解答】解：设AOC（ 0 ） ，日总效益设为 y，则 y 202402+ 202sin（ 2）50+ （ 2）20 2 202sin（ 2）
32、3016000+10000sin （ 2）6000sin（ 2）+4000120004000+sin（ 2 ）+4000 ， （0 ） ，y40001 2cos（ 2 ），由 y0，可得 2 ，解得 ，由 0 ，函数 y 递增； ，函数 y 递减，即有 ，即有COD 时，预计日总效益最大，COD 的余弦值应等于 ，故答案为： 【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查函数的最值的求法，注意运用导数求第 19 页（共 29 页）得单调性，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分）已知各项均为正数且递增的等比数
33、列a n满足： 2a3， ，2a 5 成等差数列，前 5 项和 S531（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 a1，a 2，a 2，a 2，a 3，a 3，a 3，a 3，a 3， 的前 100 项和【分析】 （1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用成公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）由各项均为正数且递增的等比数列a n满足：2a 3， ，2a 5 成等差数列，则：5a 42a 3+2a5，设数列的公比为 q，则：2q 25q+20，解得：q2 或 q （舍去） ，所以： 31，解得：a 11所以数列的通项公式为： （2）由 1+3+5+（2n1）n 2100，解得：
34、n10所以所求数列的前 100 项和 T100a 1+3a2+5a3+19a10，即： ，得： ， ，解得： 第 20 页（共 29 页）【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB CD，AB AD，AB 2CD2AD4，侧面 PAB 是等腰直角三角形， PAPB，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分别是棱 AB，PB 上的点，平面 CEF平面 PAD（1）确定点 E，F 的位置，并说明理由；（2）求二面角 DEFC 的余弦值【分析】 （1）由面面平行的性质可得
35、 CEAD，结合 ABDC，可得四边形 AECD 是平行四边形，得到 DCAE ，即点 E 是 AB 的中点，同理可得点 F 是 PB 的中点；（2）由 PAPB，AEEB ，可得 PEAB，再由平面 PAB平面 ABCD，得到 PE平面 ABCD，结合 ABAD，得到 CEAB 以点 E 为坐标原点，EC，EB，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 CEF，平面 DEF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 DEFC 的余弦值【解答】解：（1）平面 CEF平面 PAD，平面 CEF平面 ABCDCE ，平面 PAD平面 ABCDAD，CEA
36、D，又ABDC，四边形 AECD 是平行四边形，DCAE ，即点 E 是 AB 的中点，平面 CEF平面 PAD，平面 CEF平面 PABEF，平面 PAD平面 PABPA ，EFPA，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 PB 的中点，综上，E，F 分别是 AB，PB 的中点；（2）PAPB，AEEB ，PEAB，又平面 PAB平面 ABCD，PE平面 ABCD，第 21 页（共 29 页）又 ABAD ，CEAB如图以点 E 为坐标原点，EC，EB，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 B（0，2，0） ，C（2，0， 0） ，D（2，2，0） ，E（0，0，
37、0） ，由中点公式得到 F（0，1，1） ，设平面 CEF，平面 DEF 的法向量分别为 ， ，由 ，令 y11，得 ，由 ，令 y21，得 cos 综上，二面角 DEFC 的余弦值是 【点评】本题考查空间中线面、面面之间的位置关系与判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题19 （12 分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B ，C ，D，I，J 共 10 位选手脱颖而出进入全市决赛决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号 1，2，3，7 的 7 名
38、评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从 7 位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余 5 位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分记评委 i 对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委 i 对这位选手的分数排名偏差 ”第 22 页（共 29 页）（i1，27） 排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手 B，E 分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名） 七位评委评分情况如下表所示：1 2 3 4 5 6 7A 81 86 89 84 86 85 84B 76 79 80 74 82 80 75C 87
39、91 89 90 81 93 83D 92 87 88 89 90 93 91E 91 86 90 88 92 88 88F 81 86 89 82 84 91 89G 82 81 85 84 86 83 87H 91 90 93 92 94 93 91I 85 83 83 79 83 87 81J 92 94 94 91 95 93 92（1）根据最终评分表，填充如下表格：选手 A B C D E F G H I J平均分 78 888 90 89 86 84 92 83最终名次（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委 4 与评委 5 在这次活动中谁评判更准确
40、4 号评委评分分析表选手 A B C D E F G H I J最终排名评分排名排名偏差（3）从这 10 位选手中任意选出 3 位，记其中评委 4 比评委 5 对选手排名偏差小的选手数位 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望第 23 页（共 29 页）【分析】 （1）依据评分规则求出 85， 93，由此能求出选手的均分及最终排名表（2）求出 4 号评委评分分析表，从而排名偏差平方和为 17再求出 5 号评委评分分析表，从而求出排名偏差平方和为 43从而评委 4 更准确（3）10 位选手中，评委 4 比评委 5 评分偏差小的有 5 位，X 可能取值有0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出
41、 X 的分布列和数学期望【解答】解：（1）依据评分规则： 85， 93所以选手的均分及最终排名表如下：选手 A B C D E F G H I J平均分 85 78 88 90 89 86 84 92 83 93最终名次 7 10 5 3 4 6 8 2 9 1（2）对 4 号评委分析：4 号评委评分分析表选手 A B C D E F G H I J最终排名 7 10 5 3 4 6 8 2 9 1评分排名 6 10 3 4 5 8 6 1 9 2排名偏差 1 0 2 1 1 2 2 1 0 1排名偏差平方和为：1 2+02+22+12+12+22+22+12+02+1217对 5 号评委分析
42、：5 号评委评分分析表选手 A B C D E F G H I J最终排名 7 10 5 3 4 6 8 2 9 1评分排名 5 9 10 4 3 7 5 2 8 1排名偏差 2 1 5 1 1 1 3 0 1 0排名偏差平方和为：2 2+12+52+12+12+12+32+02+12+0243由于 1743，所以评委 4 更准确第 24 页（共 29 页）（3）10 位选手中，评委 4 比评委 5 评分偏差小的有 5 位，X 可能取值有 0，1，2，3P（X0） ，P （X1） ，P（X2） ，P（X3） ，所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P所以数学期望 EX 【点评】本题考查统计与
43、概率的相关知识，考查离散型随机变量的分列与数学期望，考查数据分析处理、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题20 （12 分）已知平面直角坐标系内两定点 A（ ） ，B（2 ）及动点C（x， y） ，ABC 的两边 AC，BC 所在直线的斜率之积为 （1）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（2）设 P 是 y 轴上的一点，若（1）中轨迹 E 上存在两点 M，N 使得 2 ，求以AP 为直径的圆面积的取值范围【分析】 （1）由ABC 的两边 AC，BC 所在直线的斜率之积为 ，可得 C 的横纵坐标的关系式，结合 A，B，C 三点构成三角形，得 y0从而得到点 C 的轨迹 E
44、的方程（2）设点 P 的坐标为（0，t ） ，当直线 MN 斜率不存在时，可得 M，N 分别是短轴的两端点，得到 t ，当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为ykx +t，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由 ，得 x12x 2，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，由0，得 t28k 2+6再结合韦达定理得，可得 ，解得 ，根据 M 为长轴端点（，0）时，求得 N 点 ，得到 t ，可得 t2 的取值范围，而第 25 页（共 29 页）以 AP 为直径的圆面积 S ，则 S 的取值范围可求【解答】解：（1）由已知 ，即 ，整理得：3x 2+4y224，
45、又三点构成三角形，得 y0点 C 的轨迹 E 的方程为 （y 0） （2）设点 P 的坐标为（0，t ） ，当直线 MN 斜率不存在时，可得 M，N 分别是短轴的两端点，得到 t ，当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为 ykx+t，M （x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，则由 ，得 x12x 2，联立 ，得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t2240，由0，得 64k2t24（3+4 k2） （4t 224）0，整理得 t28k 2+6由韦达定理得 ， ，由，消去 x1，x 2，得 ，由 ，解得 ，又M 为长轴端点（ ， 0）时，可求得 N 点 ，此时 t ，综上，
46、或 2t 2 6，又以 AP 为直径的圆面积 S ，S 的取值范围是 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）2xlnx+2x，g（x）a（x 1） （a 为常数，且 aR） （1）若当 x（ 1，+）时，函数 f（x）与 g（x ）的图象有且只要一个交点，试确定自然数 n 的值，使得 a（n，n +1） （参考数值第 26 页（共 29 页）4.48，ln20.69，ln31.10，ln71.95） ；（2）当 x3 时，证明：f（x） （其中 e 为自然对数的底数） 【分析】 （1）记 F（x ）f（x）g（x）2xlnx +（2a）x+a，则 F（x）2lnx+4a，当 a4 时，F（x ）F（1）2，函数 yF（x）无零点，即函数 f（x）与 g（x）的图象无交点；当 a4 时，可得 F（x ） minF（ ） ，函数 f（x）与 g（x）的图象有且只有一个交点，得 F（x） minF（ ）0，化简得：a 0，记 h（a）a ，利用导数