1、2019 年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知全集 U1，3，5，7，集合 A1 ，3，B3 ，5，则（ UA）（ UB）（ ）A3 B7 C3 ，7 D1 ，3，52 （5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知 ， ， ，则 （ ）A2 B C1 D04 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 a 的值为1，则输出的 S 的值是（ ）A B
2、 C D5 （5 分）如图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 800 个点，其中落入黑色部分的有 453 个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）A11 B10 C9 D86 （5 分）设 a2 0.3，b0.3 2，clog x（x 2+0.3） （x 1） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）第 2 页（共 25 页）Aabc Bbac Ccba Dbc a7 （5 分）过双曲线 （a0，b0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D8 （5 分
3、）若 则 sinxcos（ +x）（ ）A B C D9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）A16 B6416 C64 D6410 （5 分）已知函数 f（x ）sinx+ cosx（0）的零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g（x ） ，下列说法正确的是（ ）A在 上是增函数B其图象关于直线 x 对称C函数 g（x）是偶函数D在区间 上的值域为 ，211 （5 分）已知定义在 R 上的
4、奇函数 f（x）满足：f （1+x）+f（3x）0，且 f（1）0，若函数 g（x ）x 6+f（1）cos4 x3 有且只有唯一的零点，则 f（2019）（ ）A1 B1 C3 D312 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，第 3 页（共 25 页）若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A4 B5 C D6二、填空题（本大属共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13 （5 分）已知实数
5、x，y 满足约束条件 ，求目标函数 zx+2y 的最小值 14 （5 分）若曲线 f（x ）x+lnx 在点（1，1）处的切线与圆 x2+y2r 2（r0）相切，则r 15 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 2bsinC（2a+b）tanB，c 2 ，则ABC 面积的最大值为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2， ， ， ，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 三、解答愿（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写
6、出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S426，a 1，a 3，a 11 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 18 （12 分）为推进“千村百镇计划” ，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放 200 台 P 型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样
7、本，经统计得到如图茎叶图：（1）求 40 个样本数据的中位数 m；第 4 页（共 25 页）（2）已知 40 个样本数据的平均数 a80，记 m 与 a 的较大值为 M该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为“需改进型”请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表：认定类型性别满意型 需改进型 合计女性 20男性 20合计 40并根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取 8 人进行回访根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随
8、机抽取 2 人进行二次试用，求这 2 人中至少有一位女性的概率是多少？附：P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAC ，ABBC，PABC 2，PBAC2，D 为线段 AC 的中点，将CBD 折叠至EBD，使得平面 EDB平面 ABC 且 PC交平面 EBD 于 F（1）求证：平面 BDE平面 PAC（2）求三棱锥 PEBC 的体积第 5 页（共 25 页）20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + 1（ab0）的离心率e ，直线 l： xmy10 （m R）过椭圆
9、C 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知点 D（ ，0） ，连结 BD，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1，设直线 l1 与直线BD 交于点 P，试探索当 m 变化时，是否存在一条定直线 l2，使得点 P 恒在直线 l2 上？若存在，请求出直线 l2 的方程；若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx （）求函数 f（x ）的单调区间；（）若函数 g（x）xf （x）+1 存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，并且 lnx22lnx 1恒成立，求实数 a 的取值范围以下为选做题：请考生从第 22、23 题中任选
10、一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以原点 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 l： （0 ，） ， R）与曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求| OM|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|2xm |，mR（1）当 m3 时，解不等式 f（x）3（2）若存在 x0 满足 f（x 0）2|x 01|，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）参考
11、答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）已知全集 U1，3，5，7，集合 A1 ，3，B3 ，5，则（ UA）（ UB）（ ）A3 B7 C3 ，7 D1 ，3，5【分析】根据集合补集及交集的定义即可求解【解答】解：由题可得 UA5 ，7， UB1 ，7，所以（ UA） UB7，故选：B【点评】本题主要考查集合间的运算，属于基础题2 （5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由已知求出|3+4i|，再由复数代
12、数形式的乘除运算化简，求出复数 对应的点的坐标得答案【解答】解： ，在复平面内，复数 对应的点的坐标为（2，1） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）已知 ， ， ，则 （ ）A2 B C1 D0【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，从而求出 m0，进而得出 的坐标，从而求出 【解答】解： ； ； ；第 7 页（共 25 页）m0； ； 故选：A【点评】考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法4 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 a 的值为1，则输出的 S 的值是（ &n
13、bsp;）A B C D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a1，S0，k1满足条件 k5，执行循环体，S1，a1，k2满足条件 k5，执行循环体，S ，a3，k3满足条件 k5，执行循环体，S ，a5，k4满足条件 k5，执行循环体，S ，a7，k5此时，不满足条件 k5，退出循环，输出 S 的值为 故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题第 8 页（共 25 页）5 （5 分）如图是一个边
14、长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 800 个点，其中落入黑色部分的有 453 个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）A11 B10 C9 D8【分析】由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得： ，所以 S 黑 9，得解【解答】解：由随机模拟试验可得： ，所以 S 黑 9，故选：C【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属简单题6 （5 分）设 a2 0.3，b0.3 2，clog x（x 2+0.3） （x 1） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bbac Ccba Dbc a【分析】利用指数函数 ya x 和对数
15、函数的单调性，比较大小【解答】解：a2 0.32 12 且 a2 0.32 01，1a2，又b0.3 20.3 01，x1，clog x（x 2+0.3）log xx22，cab故选：B【点评】指数函数和对数函数的单调性取决于底数 a 与 1 的大小第 9 页（共 25 页）7 （5 分）过双曲线 （a0，b0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【分析】根据双曲线的几何性质，要使过双曲线的右焦点且斜率为 1 的直线与双曲线有且只有一个交点，则该直线应与双曲线的一条渐进线平行，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：过双曲
16、线 （a0，b0）的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐进线 平行， ，由 ，故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时注意双曲线的简单性质的合理运用，属于中档题8 （5 分）若 则 sinxcos（ +x）（ ）A B C D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系可得 tanx3，再利用诱导公式及同角三角函数的平方关系化简 sinxcos（ +x） ，求值即可【解答】解： ，sinx 3cos x，即 tanx3，又sinxcos （+x ）sinx （ cosx）sin xcosx， ，故选：
17、A【点评】本题考查同角三角函数的基本关系的应用以及诱导公式的应用，考查学生的转化思想与运算能力，属于中档题9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧第 10 页（共 25 页）视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）A16 B6416 C64 D64【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知：几何体是棱长为 4 的正方体去掉一个半径为 4 的 圆柱的几何体，如图：几何体的体积为： 6416故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键10 （5 分）已知函数
18、f（x ）sinx+ cosx（0）的零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g（x ） ，下列说法正确的是（ ）A在 上是增函数B其图象关于直线 x 对称C函数 g（x）是偶函数D在区间 上的值域为 ，2【分析】由三角函数图象的平移得：g（x）2sin2（x ）+ 2sin2x，由三角函数图象的性质得：yg（x）是在 ， 为减函数，其图象关于直线 x第 11 页（共 25 页）（k Z）对称的奇函数，由三角函数的值域得：当 x 时，2x ， ，函数 g（x）值域为 ，2 ，得解【解答】解：f（x ）sin
19、 x+ cosx2sin （ x+ ） ，由函数 f（x）的零点构成一个公差为 的等差数列，则周期 T，即 2，即 f（x）2sin（2x + ） ，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）2sin2（x ）+ 2sin2x ，易得：yg（x）是在 ， 为减函数，其图象关于直线 x （kZ）对称的奇函数，故选项 A，B ，C 错误，当 x 时，2x ， ，函数 g（x）的值域为 ，2，故选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属中档题11 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足
20、：f （1+x）+f（3x）0，且 f（1）0，若函数 g（x ）x 6+f（1）cos4 x3 有且只有唯一的零点，则 f（2019）（ ）A1 B1 C3 D3【分析】由 f（1+x ）+f（3x）0 结合 f（x）为奇函数可得 f（x）为周期为 4 的周期函数，则 f（2019）f（1） ，要使函数 g（x）x 6+f（1）cos4 x3 有且只有唯一的零点，即 x6f（1）cos4 x3 只有唯一解，结合图象可得 f（1）3，即可得到答案【解答】解：f（x ）为定义在 R 上的奇函数，f （x）f（x） ，又f（1+x）+f（3x）0f （1+3+x）+f（33x ）0，f
21、（x+4）+f（x）第 12 页（共 25 页）0f（x+4）f （x ）f （x） ，f （x）在 R 上为周期函数，周期为4，f（2019）f（50541）f（1）f （1）函数 g（x）x 6+f（1）cos4x 3 有且只有唯一的零点，即 x6f （1）cos4 x3 只有唯一解，令 m（x）x 6，则 m'（x ）6x 5，所以 x（，0）为函数 m（x）x 6 减区间，x（0，+）为函数 m（x ）x 6 增区间，令 （x）f （ 1）cos4 x3，则 （x）为余弦函数，由此可得函数 m（ x）与函数 （x）的大致图象如下：由图分析要使函数 m（x）与函数 （x）只有唯一
22、交点，则 m（0）（0） ，解得f（1）3f（2019）f（1）3，故选：C【点评】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题12 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A4 B5 C D6【分析】通过抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，3 ，可得直线的斜率为： ，通过抛物线 C
23、上存在点 M 与 x 轴上一点N（7，0）关于直线对称，求出对称点的坐标，代入抛物线方程，求出 p即可【解答】解：抛物线 C：y 22px（p0） ，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若 3 ，可得直线 l 的斜率为 ，如图：抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N（7，0）关于直线对称，可得 M（ ， （7 ） ，第 13 页（共 25 页）M 在抛物线上，可得： 解得：p6故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力二、填空题（本大属共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13 （5
24、分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，求目标函数 zx+2y 的最小值 1 【分析】首先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各交点的坐标，即可求出目标函数的最小值【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件 可得如图可行域：得到可行域为ABC，点 A（1，1） ， ，C（1，2） ，由图可得目标函数zx+2y 过可行域内的点 A（1，1）时的值最小，所以目标函数 zx+2y 的最小值为1故答案为：1第 14 页（共 25 页）【点评】本题主要考查线性规划问题，借助于平面区域特征，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想，属于基础题14 （5 分）若曲线 f（x ）x+lnx 在点（1
25、，1）处的切线与圆 x2+y2r 2（r0）相切，则r 【分析】求出曲线 f（x ）x+lnx 在点（1，1）处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可得到关于 r 的方程，解方程即可得到答案【解答】解：由 f（x ）x+lnx 可得 ，曲线 f（x）x+lnx 在点（1，1）处的切线方程的斜率 kf'（1）2，则曲线 f（x） x+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 y12（x1） ，即 y2x1，又切线与圆 x2+y2r 2（r0）相切，圆心到切线的距离等于圆半径：dr，即 ，解得：故答案为： 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，导数的几何意义：函
26、数在某点的导数为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线与圆相切的几何关系，属于基础题型15 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 2bsinC（2a+b）tanB，c 2 ，则ABC 面积的最大值为 【分析】由正弦定理以及两角和差的正切公式以及三角形的面积公式进行转化求解即可【解答】解：由 2bsinC（2a+b）tanB，第 15 页（共 25 页）则 2bsinC（2a+ b） ，即 2bcosBsinC（2a+b）sinB，由正弦定理得 2sinBcosBsinC（2sinA+sin B）sinB，sinB0，2cosBsinC2s
27、inA+sinB 2sin（B+C）+sinB2sin BcosC+2cosBsinC+sinB，即 2sinBcosC+sinB0sinB0，2cosC+10，即 cosC ，即 C120 ，c2 ，由余弦定理得：c2a 2+b22abcosC，即 12a 2+b22ab（ ）a 2+b2+ab2ab+ab3ab，即 ab4，当且仅当 ab 时取等号，则ABC 的面积 S absinC ，即三角形面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式结合基本不等式是解决本题的关键16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2， ，
28、， ，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 【分析】画出图形，经过分析可得三棱锥 PABC 的外接球的球心在PBC 的外接圆圆心的位置，利用正弦定理即可求出外接球的半径，最后求出表面积【解答】解：如图所示：PAPC2， ，又 ， ， ，则BAC90，ABC 为直角三角形，Rt ABC 外接圆的圆心在 BC 边的中点上，设 RtABC 外接圆的圆心为 ，所以三第 16 页（共 25 页）棱锥 PABC 的外接球的球心 O 在过 且与平面 ABC 垂直的直线上，设外接球半径为 R，连接 OA，OC，则 OAOCR，所以要使 OAOCOBOPR ，点 O在PBC 的外接
29、圆圆心的位置即可，又PBPC 2， ， ，则，由正弦定理可得： ，解得： ，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为： ，故答案为： 【点评】解决几何体的外接球问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，利用正余弦定理或是勾股定理求解可得球的半径，本题属于中档题三、解答愿（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S426，a 1，a 3，a 11 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）
30、若数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 【分析】 （1）由题意，根据等差数列的求和公式和等比中项公式，列出方程组，求得a1，d 的值，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）利用等差数列的求和公式，求得 ，进而得到第 17 页（共 25 页），利用裂项法，即可求解【解答】解：（1）由 a1，a 3，a 11 成等比数列，得 ，即 ，又 d0，解得 a12，d3，所以 a12+3（n1）3n1（2）证明： ，【点评】本题主要考查了等差数列的通项和前 n 项和公式的应用，以及裂项法求和，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错项
31、数导致错解，试题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等18 （12 分）为推进“千村百镇计划” ，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放 200 台 P 型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月试用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如图茎叶图：（1）求 40 个样本数据的中位数 m；（2）已知 40 个样本数据的平均数 a80，记 m 与 a 的较大值为 M该公司规定样本中试用者的“认定
32、类型”：评分不小于 M 的为“满意型” ，评分小于 M 的为“需改进型”请根据 40 个样本数据，完成下面 22 列联表：第 18 页（共 25 页）认定类型性别满意型 需改进型 合计女性 20男性 20合计 40并根据 22 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取 8 人进行回访根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行二次试用，求这 2 人中至少有一位女性的概率是多少？附：P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【分析
33、】 （1）根据中位数的定义即可求解；（2） 根据题目对满意型与需改进型的定义填写 22 列联表，计算出 K2 的值，对照临界值得出结论；通过分层抽样原理计算出抽出的男女人数，利用列举法计算出基本事件数，求出对应的概率值【解答】解：（1）由茎叶图知中位数为 ，（2）因为 m81，a80，所以 M81；由茎叶图知，女性试用者评分不小于 81 的有 15 个，男性试用者评分不小于 81 的有5 个，根据题意得 22 列联表如下；认定类型性别 满意型 需改进型 合计女性 15 5 20男性 5 15 20合计 20 20 40第 19 页（共 25 页）可得： ，所以有 99%的把握认为“认定类型 ”
34、与性别有关；由知从样本 “需改进型 ”的试用者中按性别用分层抽样的方法，抽出女性 2 名，男性 6 名；记抽出的 2 名女性为 A，B；记抽出的 6 名男性为 a，b，c，d，e，f ；从这 8 人中随机抽取 2 人进行二次试用的情况有：（A，B） （A， a） （A，b） （A ，c ） （A，d） （A，e） （A，f）（B，a） （B ，b） （B ，c ） （B，d） （B，e） （B，f ） （a，b）（a，d） （a，d） （a，c） （b，c） （b，d） （b，e ） （b，f）（c，d） （c，e ） （c，f） （d，e ） （d，f） （e，f ） ，共有 28 种；其中
35、 2 人中至少一名女性的情况有：（A，B） （A， a） （A，b） （A ，c ） （A，d） （A，e） （A，f）（B，a） （B ，b） （B ，c ） （B，d） （B，e） （B，f ） ，共有 13 种；所以 2 人中至少一名女性的概率是： 【点评】本题主要考查了利用茎叶图求中位数，也考查了独立性检验应用问题，古典概型的概率计算问题，是中档题19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAC ，ABBC，PABC 2，PBAC2，D 为线段 AC 的中点，将CBD 折叠至EBD，使得平面 EDB平面 ABC 且 PC交平面 EBD 于 F（1）求证：平面 BDE平面 PAC
36、（2）求三棱锥 PEBC 的体积【分析】 （1）由已知求解三角形可得 BCPB ，得到 BC平面 PAB，则 BCPA，又PAAC，可得 PA平面 ABC，得到 PABD ，求解直角三角形可得 AB2，结合 D第 20 页（共 25 页）为 AC 的中点得 BDAC，则 BD平面 PAC，可得平面 BDE平面 PAC；（2）直接由 VPEBC V EPBC V BAPCE V PABC 求解【解答】 （1）证明：PAAC，PA2，AC 2 ， ，又 ，BC2，PB 2+BC2PC 2，则 BCPB又ABBC， BC平面 PAB，则 BCPA ，又 PAAC，ACBCC，PA平面 ABC又BD
37、平面 PAC，PABD，在 Rt ABC 中，由 BC2，AC2 ，可得 AB2，又D 为 AC 的中点，BD AC，而 PAACA，BD平面 PAC，则平面 BDE平面 PAC；（2）解：V P EBCV EPBC V BAPCE V PABC 由已知，DEAP ， ， 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + 1（ab0）的离心率e ，直线 l： xmy10 （m R）过椭圆 C 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两第 21 页（共 25 页）点（1）求
38、椭圆 C 的标准方程；（2）已知点 D（ ，0） ，连结 BD，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1，设直线 l1 与直线BD 交于点 P，试探索当 m 变化时，是否存在一条定直线 l2，使得点 P 恒在直线 l2 上？若存在，请求出直线 l2 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由题设，得 ，及 b2a 2c 23，即可得出（2）令 m0，则 ， 或者 ，可得 或 ，可知：满足题意的定直线 l2 只能是x4只要证明点 P 恒在直线 x4 上设 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，由于 PA 垂直于 y 轴，可得点 P 的纵坐标为 y1，从而只要证明 P（4，y 1）在直
39、线 BD 上 利用根与系数的关系、斜率计算公式只要证明 kDBk DP【解答】解：（1）由题设，得 ，解得从而 b2a 2c 23，椭圆 C 的标准方程为 （2）令 m0，则 ， 或者 ， 当 ， 时， ；当 ， 时，满足题意的定直线 l2 只能是 x4下面证明点 P 恒在直线 x4 上设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由于 PA 垂直于 y 轴，点 P 的纵坐标为 y1，从而只要证明 P（4，y 1）在直线 BD 上由 得（4+3m 2）y 2+6my90，第 22 页（共 25 页）144（1+m 2）0， ， ，式代入上式，得 kDBk DP0，k DB kDP点 P（
40、4，y 1）恒在直线 BD 上，从而直线 l1、直线 BD 与直线 l2：x4 三线恒过同一点 P，存在一条定直线 l2：x 4 使得点 P 恒在直线 l2 上【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）lnx （）求函数 f（x ）的单调区间；（）若函数 g（x）xf （x）+1 存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，并且 lnx22lnx 1恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可
41、；（）求出函数的导数，根据函数的极值点，得到 a ln ，令 t 1，则 a（2t1）lnt，令 g（t）（2t1）lnt，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：（）函数 f（ x）的定义域为 x|x0，f（x） m+ （1 分）当 m0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）单调递增；（2 分）当 m0 时，方程 mx22x 20 的两根 x1 ，x 2 ，第 23 页（共 25 页）且 x10，x 20，则当 x（0， ）时，f （x）0，f（x）单调递增；当 x（ ，+）时，f（x）0，f （x）单调递减（4 分）综上：当 m0 时，函数法 f（x）在（0，+）单调递增；当
42、 m0 时，x （0， ）时，f （x）单调递增；当 x（ ，+）时，f（x）单调递减（5 分）（）g（x）xlnx mx2 x，g（x）lnxmx，函数 g（x）存在两个极值点 x1，x 2， ，则 lnx2lnx 1m （x 2x 1） ，m （7 分）ln lnx 12lnx 2lnx 1m （2x 2x 1） （2x 2x 1） （8 分）ln lnx 1 恒成立，即 （2x 2x 1） 恒成立，即x 2x 10，a ln ， （9 分）令 t 1，则 a（2t1）lnt，令 g（t）（2t 1）lnt （10 分）g（t）2lnt+ （2t1）2lnt+2
43、，g（t） + 0， g（t ）在（1，+）单调递增g（t）g（1）1 0 （11 分）g（t）在（1，+）单调递增， g（t ）g（1）0，则 a0
44、 （12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题以下为选做题：请考生从第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，第 24 页（共 25 页）作答时请写清题号.22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以原点 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 l： （0 ，） ， R）与曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求| OM|的最大值【分析】 （ I）利
45、用平方关系可得曲线 C 的普通方程，把 xcos，y sin，代入即可得出（II）联立 和 2+2cos2sin20，得 2+2（cos sin）20，设A（ 1，） ，B（ 2，） ，可得 1+22（cossin ） 2 ，即可得出【解答】解：（ I）曲线 C 的普通方程为（x+1） 2+（y1） 24，由 xcos ，ysin ，得 2+2cos2sin 20（II）联立 和 2+2cos2sin20，得 2+2（cossin）20，设 A（ 1，） ，B（ 2，） ，则 1+22（cossin）2 ，由|OM| ，得|OM | ，当 时，|OM|取最大值 【点评】本题考查了极坐标方程的应
46、用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|2xm |，mR（1）当 m3 时，解不等式 f（x）3（2）若存在 x0 满足 f（x 0）2|x 01|，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）分 3 种情况去绝对值解不等式，再相并；（2）等价于|2x 2|+|2x m| 2 有解，等价于左边的最小值小于 2，用绝对值不等式的性质可求得最小值第 25 页（共 25 页）【解答】解：（1）m3 时， f（x）3 或 或，解得 x 或 x ，f（x）3 的解集为 x|x 或 x ；（2）若存在 x0 满足 f（x 0）2|x 01|等价于|2x2|+|2x m| 2 有解，|2 x2|+|2x m|m2|， |m2|2，解得 0m 4，实数 m 的取值范围是 （0， 4） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题