1、2019 年四川内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （3 分） 的相反数是（ ）A6 B6 C D2 （3 分）268000 用科学记数法表示为（ ）A26810 3 B26810 4 C26.810 4 D2.6810 53 （3 分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）A B C D4 （3 分）下列事件为必然事件的是（ ）A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球B三角形的内角和为 180C打开电视机，任选一个
2、频道，屏幕上正在播放广告D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上5 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D6 （3 分）下列运算正确的是（ ）Am 2m3m 6 B （m 4） 2m 6Cm 3+m32m 3 D （m n） 2m 2n 27 （3 分）在函数 y + 中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax4 Bx4 且 x3 Cx4 Dx 4 且 x38 （3 分）如图，在ABC 中，DE BC，AD 9，DB3，CE2，则 AC 的长为（ ）第 2 页（共 29 页）A6 B7 C8 D99 （
3、3 分）一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x28x+150 的一根，则此三角形的周长是（ ）A16 B12 C14 D12 或 1610 （3 分）如图，在ABC 中，AB2，BC 3.6，B60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到ADE ，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（ ）A1.6 B1.8 C2 D2.611 （3 分）若关于 x 的代等式组 恰有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ）A1a B1a C1a Da1 或 a12 （3 分）如图，将ABC 沿着过 BC 的中点 D 的直线折叠，使点 B
4、落在 AC 边上的 B1处，称为第一次操作，折痕 DE 到 AC 的距离为 h1；还原纸片后，再将BDE 沿着过BD 的中点 D1 的直线折叠，使点 B 落在 DE 边上的 B2 处，称为第二次操作，折痕 D1E1到 AC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去经过第 n 次操作后得到折痕Dn1 En1 ，到 AC 的距离记为 hn若 h11，则 hn 的值为（ ）第 3 页（共 29 页）A1+ B1+ C2 D2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）分解因式：xy 22xy+x 14 （5 分）一组数据为
5、0，1，2，3，4，则这组数据的方差是 15 （5 分）若 + 2，则分式 的值为 16 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，A150，CD4，以 CD 为直径的 O 交 AD 于点 E，则图中阴影部分的面积为 三、解题（本大题共 5 小题，共 4 分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）17 （7 分）计算：（1） 2019+（ ） 2 +| 2|+3tan3018 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 BED
6、F，连结 AE、AF、EF（1）求证：ABEADF；（2）若 AE5，请求出 EF 的长19 （9 分） “大千故里，文化内江” ，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品王老师从全校 20 个班中随机抽取了 A、B、C 、D4 个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图第 4 页（共 29 页）（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调査” ） ，王老师所调查的4 个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形周心角的度数为 ；（3）如果
7、全校参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 1 名作者是男生，3 名作者是女生现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 （要求用树状图或列表法写出分析过程）20 （9 分）如图，两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB 的高为 120 米，从 DA 的顶点 A 测得CB 顶部 B 的仰角为 30，测得其底部 C 的俯角为 45，求这两座建筑物的地面距离DC 为多少米？（结果保留根号）21 （10 分）如图，一次函数 ymx+n（m 0）的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于第二、四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，b） 过点 A 作 x 轴
8、的垂线，垂足为点C，AOC 的面积为 4（1）分别求出 a 和 b 的值；（2）结合图象直接写出 mx+n 的解集；（3）在 x 轴上取点 P，使 PAPB 取得最大值时，求出点 P 的坐标第 5 页（共 29 页）四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分.）22 （6 分）若|1001a|+ a，则 a1001 2 23 （6 分）如图，点 A、B、C 在同一直线上，且 AB AC，点 D、E 分别是 AB、BC 的中点，分别以 AB，DE ，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作 S1、S 2、S
9、 3，若 S1 ，则 S2+S3 24 （6 分）若 x、y 、z 为实数，且 ，则代数式 x23y 2+z2 的最大值是 25 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，sinB ，点 E，F 分别在边 AD、BC 上，将四边形AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段 MN 经过顶点 C，当 MNBC 时， 的值是 五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分.）26 （12 分）某商店准备购进 A、B 两种商品，A 种商品毎件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元，用 3000 元购
10、进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元第 6 页（共 29 页）（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A、B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠m（10m20）元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案27 （12 分）AB 与O 相切于点 A，直
11、线 l 与O 相离， OBl 于点 B，且 OB5，OB 与O 交于点 P，AP 的延长线交直线 l 于点 C（1）求证：ABBC；（2）若O 的半径为 3，求线段 AP 的长；（3）若在O 上存在点 G，使 GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形，求 O 的半径 r的取值范围28 （12 分）两条抛物线 C1： y13x 26x1 与 C2：y 2x 2mx+n 的顶点相同（1）求抛物线 C2 的解析式；（2）点 A 是抛物找 C2 在第四象限内图象上的一动点，过点 A 作 APx 轴，P 为垂足，求 AP+OP 的最大值；（3）设抛物线 C2 的顶点为点 C，点 B 的坐标为（1， 4）
12、，问在 C2 的对称轴上是否存在点 Q，使线段 QB 绕点 Q 顺时针旋转 90得到线段 QB，且点 B恰好落在抛物线 C2 上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 页（共 29 页）2019 年四川内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （3 分） 的相反数是（ ）A6 B6 C D【分析】根据相反数的定义即可得到结论【解答】解： 的相反数是 ，故选：C【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键2 （3 分）268000 用科学记数
13、法表示为（ ）A26810 3 B26810 4 C26.810 4 D2.6810 5【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数字268000 用科学记数法表示应为：2.6810 5，故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列几何
14、体中，主视图为三角形的是（ ）A B C D【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可【解答】解：A、主视图是三角形，故此选项正确；B、主视图是矩形，故此选项错误；C、主视图是圆，故此选项错误；D、主视图是矩形，故此选项错误；第 8 页（共 29 页）故选：A【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形4 （3 分）下列事件为必然事件的是（ ）A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球B三角形的内角和为 180C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次
15、反面向上【分析】一定会发生的事情称为必然事件依据定义即可解答【解答】解：A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；B三角形的内角和为 180是必然事件；C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；故选：B【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养5 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形
16、与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确故选：D【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题第 9 页（共 29 页）6 （3 分）下列运算正确的是（ ）Am 2m3m 6 B （m 4） 2m 6Cm 3+m32m 3 D （m n） 2m 2n 2【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简
17、即可判断【解答】解：Am 2m3m 5，故选项 A 不合题意；B （m 4） 2m 8，故选项 B 不合题意；Cm 3+m32m 3，故选项 C 符合题意；D （mn） 2m 22mn+n 2，故选项 D 不合题意故选：C【点评】本题主要考查了幂的运算法则、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键7 （3 分）在函数 y + 中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax4 Bx4 且 x3 Cx4 Dx 4 且 x3【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可【解答】解：由题意得，x+30，4x0，解得，x4 且 x3，故选：D【点评】本题考查
18、的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键8 （3 分）如图，在ABC 中，DE BC，AD 9，DB3，CE2，则 AC 的长为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到 ，利用比例性质求出 AE，然后计算 AE+EC 即可【解答】解：DEBC，第 10 页（共 29 页） ，即 ，AE6，ACAE+EC6+28故选：C【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例9 （3 分）一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x28x+150 的一根，则此三角形的周长是（
19、;）A16 B12 C14 D12 或 16【分析】先利用因式分解法解方程求出 x 的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得【解答】解：解方程 x28x +150，得：x 3 或 x5，若腰长为 3，则三角形的三边为 3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为 5，则三角形三边长为 5、5、6，此时三角形的周长为 16，故选：A【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键10 （3 分）如图，在ABC 中，AB2，BC 3.6，B60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到ADE ，当点 B 的对应点 D
20、 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（ ）A1.6 B1.8 C2 D2.6【分析】根据旋转变换的性质得到 ADAB，根据等边三角形的性质解答即可【解答】解：由旋转的性质可知，ADAB，B60，ADAB ，ADB 为等边三角形，BDAB2，第 11 页（共 29 页）CDCBBD1.6，故选：A【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键11 （3 分）若关于 x 的代等式组 恰有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ）A1a B1a C1a Da1 或 a【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，
21、求出实数 a 的取值范围【解答】解：解不等式 + 0，得：x ，解不等式 3x+5a+44（x+1）+3a，得：x2a，不等式组恰有三个整数解，这三个整数解为 0、1、2，22a3，解得 1a ，故选：B【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了12 （3 分）如图，将ABC 沿着过 BC 的中点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B1处，称为第一次操作，折痕 DE 到 AC 的距离为 h1；还原纸片后，再将BDE 沿着过BD 的中点 D1 的直线折叠，使点 B 落在 DE 边上的 B2
22、 处，称为第二次操作，折痕 D1E1到 AC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去经过第 n 次操作后得到折痕Dn1 En1 ，到 AC 的距离记为 hn若 h11，则 hn 的值为（ ）第 12 页（共 29 页）A1+ B1+ C2 D2【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出 h2 ，依次得出h3、h 4、h 5、h n，再对 hn 进行计算变形即可【解答】解：D 是 BC 的中点，折痕 DE 到 AC 的距离为 h1点 B 到 DE 的距离 h11 ，D 1 是 BD 的中点，折痕 D1E1 到 AC 的距离记为 h2，D 1E1 到 AC 的距离 h2
23、h 1+点 B 到 D1E1 的距离1+ h11+ ，同理：h 3h 2+ h11+ + ，h4h 3+ h11+ + +hn1+ + + + 2故选：C【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个发现规律得出一般性的结论二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13 （5 分）分解因式：xy 22xy+x x（y1） 2 【分析】先提公因式 x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式【解答】解：xy 22xy+ x，x（y 22y+1） ，x（y1） 2【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底
24、14 （5 分）一组数据为 0，1，2，3，4，则这组数据的方差是 2 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式 S2 （x 1 ） 2+（x 2） 2+（x n ） 2代入计算即可【解答】解：这组数据的平均数是：（1+2+3+4）52，则方差 S2 （02） 2+（12） 2+（22） 2+（32） 2+（42） 22；第 13 页（共 29 页）故答案为：2【点评】本题考查了方差：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差S2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立15 （5 分
25、）若 + 2，则分式 的值为 4 【分析】由 + 2，可得 m+n2mn ；化简 ，即可求解；【解答】解： + 2，可得 m+n2mn ，4；故答案为4；【点评】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到 m+n2mn，整体代入的思想是解题的关键；16 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD，A150，CD4，以 CD 为直径的 O 交 AD 于点 E，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OE，作 OFDE，先求出COE2D60、OF OD1 ，DFOD cosODF ，DE 2DF2 ，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得【解答】解：如图，
26、连接 OE，作 OFDE 于点 F，第 14 页（共 29 页）四边形 ABCD 是平行四边形，且A150，D30，则COE2D60，CD4，CODO2，OF OD 1，DFOD cosODF2 ，DE2DF 2 ，图中阴影部分的面积为 + 2 1 + ，故答案为： + 【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S是解题的关键三、解题（本大题共 5 小题，共 4 分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）17 （7 分）计算：（1） 2019+（ ） 2 +| 2|+3tan30【分析】化简每一项为（1） 2019+（ ） 2 +| 2|+3tan301+4+ （2
27、 ）+3 ；【解答】解：（1） 2019+（ ） 2 +| 2|+3tan301+4+ （2 ）+33+2 +5；【点评】本题考查实数的运算；掌握实数的运算，负整数指数幂的运算，牢记特殊三角函数值是解题的关键18 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 BEDF，连结 AE、AF、EF（1）求证：ABEADF；（2）若 AE5，请求出 EF 的长第 15 页（共 29 页）【分析】 （1）根据正方形的性质得到 ABAD，ABC ADCADF90，利用SAS 定理证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到 AEAF，BAEDAF，得
28、到AEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABAD ，ABCADCADF 90，在ABE 和ADF 中，ABE ADF（SAS） ；（2）解：ABEADF，AEAF，BAE DAF，BAE +EAD90，DAF+EAD 90，即EAF90，EF AE5 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键19 （9 分） “大千故里，文化内江” ，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品王老师从全校 20 个班中随机抽取了 A、B、C 、D4 个班，对征集
29、作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图第 16 页（共 29 页）（1）王老师采取的调查方式是 抽样调査 （填“普查”或“抽样调査” ） ，王老师所调查的 4 个班共征集到作品 6 件，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形周心角的度数为 150 ；（3）如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 1 名作者是男生，3 名作者是女生现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 （要求用树状图或列表法写出分析过程）【分析】 （1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用 A 班的作品数除以它所占的百分比得到调查的
30、总作品件数，然后计算出 B 班的作品数后补全条形统计图；（2）用 360乘以 C 班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示 C 班的扇形周心角的度数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，4 24，所以王老师所调查的 4 个班共征集到作品 24 件，B 班的作品数为 2441046（件） ，条形统计图为：第 17 页（共 29 页）（2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形周心角360 150；故答案为抽样调査；6；150；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽中
31、一男一女的结果数为 6，所以恰好抽中一男一女的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20 （9 分）如图，两座建筑物 DA 与 CB，其中 CB 的高为 120 米，从 DA 的顶点 A 测得CB 顶部 B 的仰角为 30，测得其底部 C 的俯角为 45，求这两座建筑物的地面距离DC 为多少米？（结果保留根号）【分析】作 AEBC 于 E，设 BEx，利用正切的定义用 x 表示出 EC，结合题意列方程求出 x，计算即可第 18 页（共 29
32、 页）【解答】解：作 AEBC 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，ADCE，设 BEx，在 Rt ABE 中，tan BAE ，则 AE x，EAC45，ECAE x，由题意得，BE+CE120，即 x+x120，解得，x60（ 1） ，ADCE x18060 ，DC18060 ，答：两座建筑物的地面距离 DC 为（18060 ）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键21 （10 分）如图，一次函数 ymx+n（m 0）的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于第二、四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，b） 过点 A
33、作 x 轴的垂线，垂足为点C，AOC 的面积为 4（1）分别求出 a 和 b 的值；（2）结合图象直接写出 mx+n 的解集；（3）在 x 轴上取点 P，使 PAPB 取得最大值时，求出点 P 的坐标第 19 页（共 29 页）【分析】 （1）由AOC 的面积为 4，可求出 a 的值，确定反比例函数的关系式，把点 B坐标代入可求 b 的值，（2）根据图象观察当自变量 x 取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分（3）由对称对称点 B 关于 x 轴的对称点 B，直线 AB 与 x 轴交点就是所求的点 P，求出直线与 x 轴的交点坐标即可【解答】解：（1）点 A（a，4）
34、，AC4，S AOC 4，即 ，OC2，点 A（a，4）在第二象限，a2 A（2，4） ，将 A（2，4）代入 y 得：k 8，反比例函数的关系式为：y ，把 B（8，b）代入得：b1，B（8，1）因此 a2，b1；（2）由图象可以看出 mx+n 的解集为：2x0 或 x8；B（3）如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，直线 AB与 x 轴交于 P，此时 PAPB 最大，B（8，1）B（8，1）第 20 页（共 29 页）设直线 AP 的关系式为 ykx+b，将 A（2，4） ，B（ 8，1）代入得：解得：k ，b ，直线 AP 的关系式为 y x+ ，当 y0 时，即 x+
35、0，解得 x ，P（ ，0）【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点 B 关于 x 轴的对称点 B，直线 AB与 x 轴交于 P，此时 PAPB 最大四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分.）22 （6 分）若|1001a|+ a，则 a1001 2 1002 【分析】由二次根式有意义的条件得到 a1002，据此去绝对值并求得 a 的值，代入求值即可【解答】解：a1000，a1002由|1001 a|+ a，得1001+a+ a， 1001，a10021001 2a1001 21002故答案是：1002【点评】考查了
36、二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数第 21 页（共 29 页）23 （6 分）如图，点 A、B、C 在同一直线上，且 AB AC，点 D、E 分别是 AB、BC 的中点，分别以 AB，DE ，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作 S1、S 2、S 3，若 S1 ，则 S2+S3 【分析】设 BEx ，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S 2，S 3，根据题意计算即可【解答】解：设 BEx ，则 ECx，ADBD 2x ，四边形 ABGF 是正方形，ABF 45，BDH 是等腰直角三角形
37、，BDDH 2 x，S 1DHAD ，即 2x2x ，BD2x，BEx ，S 2MH BD（3x 2x ）2x2x 2，S3ENBExxx 2，S 2+S32x 2+x23x 2 ，故答案为： 【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是 90是解题的关键24 （6 分）若 x、y 、z 为实数，且 ，则代数式 x23y 2+z2 的最大值是 26 第 22 页（共 29 页）【分析】解三元一次方程组，用 z 表示出 x、y，根利用配方法计算即可【解答】解： ，得，y1+z ，把 y1+z 代入得，x2z，则 x23y 2+z2（2z） 23（1+z）
38、 2+z2z 210z+1（z+5 ） 2+26，当 z5 时，x 23y 2+z2 的最大值是 26，故答案为：26【点评】本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函数最大值的一般步骤是解题的关键25 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，sinB ，点 E，F 分别在边 AD、BC 上，将四边形AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段 MN 经过顶点 C，当 MNBC 时， 的值是 【分析】由折叠的性质可得 AEME，A EMC，BF FN，BN，ABMN，设 CF4x，FN5x ，BC9x，由勾股定理可得 CN3x，GM x，AEEM2x，即
39、可求 的值【解答】解：延长 CM 交 AD 于点 G，将四边形 AEFB 沿 EF 翻折，AEME，AEMC， BFFN，BN ，ABMN四边形 ABCD 是菱形第 23 页（共 29 页）ABBCCDAD，B D ，A+B180sinB sinN ，设 CF4x， FN5x ，CN 3x ，BC9xABCDAD，sinB sinDGCGM GC（MNCN） 6x xA+B180，EMC+EMG180BEMGsinBsinEMG cosEMG EM2x，AE2x， 故答案为：【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题五、
40、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分.）26 （12 分）某商店准备购进 A、B 两种商品，A 种商品毎件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元，用 3000 元购进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A、B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商
41、品售价优惠m（10m20）元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这 40 件商品第 24 页（共 29 页）获得总利润最大的进货方案【分析】 （1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，根据用 3000 元购进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；（2）设购买 A 种商品 a 件，根据用不超过 1560 元的资金购进 A、B 两种商品共 40 件，A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；（3）设销售 A、B 两种商品共获利 y 元，根据 yA 商品的利润+B 商品的利润，根据m 的值及一次函数的增
42、减性可得结论【解答】解：（1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是（x20）元，由题意得： ，解得：x50，经检验，x50 是原方程的解，且符合题意，502030，答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；（2）设购买 A 种商品 a 件，则购买 B 商品（40a）件，由题意得： ，解得： ，a 为正整数，a14、15、16、17、18，商店共有 5 种进货方案；（3）设销售 A、B 两种商品共获利 y 元，由题意得：y（8050m ）a+（4530） （40a） ，（15m）a+600 ，当 10m15 时，15m 0，y 随 a 的增
43、大而增大，当 a18 时，获利最大，即买 18 件 A 商品，22 件 B 商品，当 m15 时，15m0，y 与 a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，当 15m20 时，15m 0，y 随 a 的增大而减小，第 25 页（共 29 页）当 a14 时，获利最大，即买 14 件 A 商品，26 件 B 商品【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验27 （12 分）AB 与O 相切于点 A，直线 l 与O 相离， OBl 于点 B，且 OB5，OB 与O 交于点 P，AP 的
44、延长线交直线 l 于点 C（1）求证：ABBC；（2）若O 的半径为 3，求线段 AP 的长；（3）若在O 上存在点 G，使 GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形，求 O 的半径 r的取值范围【分析】 （1）连接 OA，根据切线的性质得到 OAB90 ，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到BACBCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接 AO 并延长交O 于 D，连接 PD，根据勾股定理求出 BC，PC，证明DAPPBC ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）作 BC 的垂直平分线 MN，作 OEMN 于 E，根据勾股定理用 r 表示出 AB，得到DE 的长，根据题意计
45、算，得到答案【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OA，AB 与O 相切，OAB90，OAP+BAC90，OBl，BCA+ BPC90，OAOP ，OAPOPABPC，BACBCA，第 26 页（共 29 页）ABBC；（2）解：如图 1，连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 PD，则APD90，OB5，OP3，PB2，BCAB 4，在 Rt PBC 中，PC 2 ，DAPCPB，APDPBC90，DAPPBC， ，即 ，解得，AP ；（3）解：如图 2，作 BC 的垂直平分线 MN，作 OEMN 于 E，则 OE BC AB ，由题意得，O 于 MN 有交点，OEr，即 r，解得，r ，直
46、线 l 与O 相离，r5，则使GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形， O 的半径 r 的取值范围为： r5第 27 页（共 29 页）【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键28 （12 分）两条抛物线 C1： y13x 26x1 与 C2：y 2x 2mx+n 的顶点相同（1）求抛物线 C2 的解析式；（2）点 A 是抛物找 C2 在第四象限内图象上的一动点，过点 A 作 APx 轴，P 为垂足，求 AP+OP 的最大值；（3）设抛物线 C2 的顶点为点 C，点 B 的坐标为（1， 4） ，问在 C2 的对称轴上是否存在点 Q，使线段 QB 绕点 Q 顺时针旋转 90得到线段 QB，且点 B恰好落在抛物线 C2 上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）y 13x 26x 1 的顶点为（1，4）也是 y2x 2mx+n 的顶点，即可求m，n；（2）作 APx 轴，设 A（a， a22a3） ，所以 APa 2+2a+3，PO