1、二元一次方程( 组)及其应用一.选择题1. （ 2019山东省德州市 4 分） 孙子算经中有一道题，原文是：“ 今有木，不知长短引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺，问木长多少尺，现设绳长 x 尺，木长 y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A BC D【考点】菁优网二元一次方程组【分析】本题的等量关系是：绳长木长4.5；木长 绳长1，据此可列方程组求解【解答】解：设绳长 x 尺，长木为 y 尺，依题意得 ，故选：B【点评】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方
2、程组，求准解2（2019 湖南长沙 3 分） 孙子算经 是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ）A BC D【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决【解答】解：由题意可得，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组3 （2019 浙江嘉兴 3 分）中国清代算书 御制数
3、理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位） ；马二匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹 x 两，牛每头 y 两，根据题意可列方程组为（ ）A BC D【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位） ；马二匹、牛五头，共价三十八两” ，分别得出方程得出答案【解答】解：设马每匹 x 两，牛每头 y 两，根据题意可列方程组为：故选：D【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键4. ( 2019 甘肃省兰州市) （4 分）九章算术 是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其
4、中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程为 （ ）A. B. xyx651y651C. D. 4xx54【答案】C【考点】利用方程求解实际问题.【考察能力】抽象概括能力.【难度】中等【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y1(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y5y+x，故选 C. 5 （2019 浙江宁波 4 分）小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元；若买 3 支玫瑰
5、和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）A31 元 B30 元 C25 元 D19 元【分析】设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元，根据总价单价数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于 x，y 的二元一次方程，整理后可得出 yx+7，再将其代入5x+3y+108x 中即可求出结论【解答】解：设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元，依题意，得：5x+3y+103x+5y4，y x+7，5x+3y+108x 5x+3（x+7）+108x31故选：A【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键6. （2019湖南邵阳3 分
6、）某出租车起步价所包含的路程为 02km，超过 2km 的部分按每千米另收费津津乘坐这种出租车走了 7km，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了 28 元设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则下列方程正确的是（ ）ABCD【分析】根据津津乘坐这种出租车走了 7km，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了 28 元可列方程组【解答】解：设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则所列方程组为 ，故选：D【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系7（2019
7、 湖北天门 3 分）把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（ ）A3 种 B4 种 C5 种 D9 种【分析】可列二元一次方程解决这个问题【解答】解：设 2m 的钢管 b 根，根据题意得：a+2b9，A.b 均为整数， ， ， ， 故选：B【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键8. （2019湖北孝感3 分）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ）A5 B5 C6 D6【分析】解方程组求出 x、y 的值，再把所求式子化简后代入即可【解答】解： ，2 得， 2y7，
8、解得 ，把 代入得， +y1，解得 ， 故选：C【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法9.（2019 浙江衢州 4 分）已知实数 m，n 满足 ，则代数式 m2-n2 的值为_ 。 【答案】 3 【考点】代数式求值 【解析】【解答】解：m-n=1 ，m+n=3， m 2-n2=（m+n）（m-n ）=31=3.故答案为：3.【分析】先利用平方差公式因式分解，再将 m+n、m-n 的值代入、计算即可得出答案.10.（2019 浙江金华 6 分）解方程组： 【答案】 解：原方程可变形为： ，+得：6y=6，解得：y=1，将 y=1 代入得：x=3
9、，原方程组的解为： .【考点】解二元一次方程组【解析】 【分析】先将原方程组化简，再利用加减消元法解方程组即可得出答案.11. （2019，四川巴中，4 分）已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则 a+b 的值是（ ）A1 B2 C1 D0【分析】将 代入 即可求出 a 与 b 的值；【解答】解：将 代入 得：，a+b2；故选：B【点评】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键二.填空题1. （2019贵州黔东3 分）已知 是方程组 的解，则 a+b 的值为 1 【分析】把 代入方程组 得： ，相加可得出答案【解答】解：把 代入方程组 得： ，+得
10、：3a+3b3，a+b1，故答案为：1【点评】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是把未知数替换为 a 和 b后相加即可三.解答题1.(2019，山西，5 分）解方程组： 0283yx【解析】 +得： ，解得 ，将 代入 得： ，解得84x 02y原方程组的解为1y12yx2. (2019 甘肃省陇南市)（6 分）小甘到文具超市去买文具请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是 x 元、y 元，根据题意可得：，解得： ，答：中性笔和笔记本的单价分别是 2 元、6 元【点评】此题主
11、要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键3.（2019，山东淄博，8 分） “一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B 两种产品在欧洲市场热销今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万元（利润售价成本） 其每件产品的成本和售价信息如下表：A B成本（单位：万元/件） 2 4售价（单位：万元/件） 5 7问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【分析】设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意列出方程组，解方程组即可【解答】解：设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意得： ，解得： ；答：A，
12、B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键4（2019 湖南怀化 8 分）解二元一次方组：【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可【解答】解： ，+得：2x8，解得：x4，则 43y1，解得：y1，故方程组的解为： 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键5（2019 甘肃武威 6 分）小甘到文具超市去买文具请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是 x 元、
13、y 元，根据题意可得：，解得： ，答：中性笔和笔记本的单价分别是 2 元、6 元【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键6. （2019广东深圳 8 分） 有 A.B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比 B 发电厂多发 40 度点，A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电.（1）求焚烧 1 吨垃圾，A 和 B 各发多少度电？（2）A.B 两个发电厂共焚烧 90 吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾的两倍，求 A厂和 B 厂总发电量的最大值.【考点】二元一次方程的应用【答案】7（2019 山东省滨州市 12 分）有甲、乙两种客
14、车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人（1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织 240 名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6 辆，一次将全部师生送到指定地点若每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用【考点】菁优网二元一次方程组的应用【分析】 （1）可设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 x 人，y 人，根据等量关系 2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1 辆甲种客车
15、与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人，列出方程组求解即可；（2）根据题意列出不等式组，进而求解即可【解答】解：（1）设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 x 人，y 人，解得： ，答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人；（2）设租用甲种客车 x 辆，依题意有： ，解得：6x4，因为 x 取整数，所以 x4 或 5，当 x4 时，租车费用最低，为 4400+22802160【点评】本题考查一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系8（2019 湖北孝感 10 分）为加快 “智慧校园”
16、建设，某市准备为试点学校采购一批 A.B 两种型号的一体机经过市场调查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机（1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？（2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A型一体机的价格比今年上涨 25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总费用不低于购买 A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？【分析】 （1）直接利用今年每套 B 型一体
17、机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机，分别得出方程求出答案；（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案【解答】解：（1）设今年每套 A 型一体机的价格为 x 万元，每套 B 型一体机的价格为y 万元，由题意可得： ，解得： ，答：今年每套 A 型的价格各是 1.2 万元、B 型一体机的价格是 1.8 万元；（2）设该市明年购买 A 型一体机 m 套，则购买 B 型一体机（1100m ）套，由题意可得：1.8（1100m） 1.2（1+25% ）m ，解得：m600，设明年需投入 W
18、万元，W1.2（1+25%）m+1.8（1100m ）0.3m+1980 ，0.30，W 随 m 的增大而减小，m600，当 m600 时，W 有最小值0.3600+19801800，故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键9. （ 2019山东省聊城市 8 分）某商场的运动服装专柜，对 A，B 两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：第一次 第二次A 品牌运动服装数/件 20 30B 品牌运动服装数/件 30
19、 40累计采购款/元 10200 14400（1）问 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？（2）由于 B 品牌运动服的销量明显好于 A 品牌，商家决定采购 B 品牌的件数比 A 品牌件数的 倍多 5 件，在采购总价不超过 21300 元的情况下，最多能购进多少件 B 品牌运动服？【考点】一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用【分析】 （1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；（2）利用采购 B 品牌的件数比 A 品牌件数的 倍多 5 件，在采购总价不超过 21300 元，进而得出不等式求出答案【解答】解：（1）设 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 x 元和 y 元，根据题意可得：，解得： ，答：A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元；（2）设购进 A 品牌运动服 m 件，购进 B 品牌运动服（ m+5）件，则 240m+180（ m+5）21300 ，解得：m40，经检验，不等式的解符合题意， m+5 40+565，答：最多能购进 65 件 B 品牌运动服【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键