1、2.5 逆命题和逆定理 A 组1下列说法中，正确的是(A)A 每一个命题都有逆命题B 假命题的逆命题一定是假命题C 每一个定理都有逆定理D 假命题没有逆命题2下列命题的逆命题为真命题的是(C)A 直角都相等B 钝角都小于 180C 若 x2y 20，则 xy 0D 同位角相等3下列定理中，有逆定理的是(D)A 对顶角相等B 同角的余角相等C 全等三角形的对应角相等D 在一个三角形中，等边对等角(第 4 题)4如图，ACAD，BCBD ，则有( A)A AB 垂直平分 CDB CD 垂直平分 ABC AB 与 CD 互相垂直平分D CD 平分ACB5写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是
2、假命题，请举出反例(1)若 xy0 ，则 xy0 (2)等腰三角形的两个底角相等【解】 (1)逆命题：若 x y0，则 xy0这个逆命题是假命题反例：当x1，y1 时，xy0，但 x0，y0(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形这个逆命题是真命题6写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理(1)相等的角是内错角(2)两直线平行 ， 同旁内角互补【解】 (1)“ 相等的角是内错角 ”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理(2)“两直线平行 ，同旁内角互补 ”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理(第 7 题)7利用线段垂
3、直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题已知：如图，ABAC，DBDC ，点 E 在 AD 上求证： EBEC【解】 连结 BCAB AC，点 A 在线段 BC 的垂直平分线上DB DC，点 D 在线段 BC 的垂直平分线上AD 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线)又点 E 在 AD 上，EBECB 组8写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假若是假命题，请举出反例【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直原命题是假命题 反例：如解图，CAD 的两边与EBF 的两边分别垂直，但CAD4
4、5 ，EBF135，即CAD EBF(第 8 题解)逆命题是假命题反例：如解图，CADEBF，但显然 AC 与 BE，BF 都不垂直9写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形已知：如解图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，DE AB 于点 E，DFAC 于点F，且 DEDF (第 9 题解)求证：ABC 为等腰三角形证明：连结 ADD 是 BC 的中点，S ABD S ACD DE AB，DFAC ，S ABD ABDE，12SACD ACDF12又DE DF，A
5、BAC ，ABC 为等腰三角形10举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等反例：如解图所示，l 1l2，ABC 和BCD 同底等高，ABC 的面积等于BCD 的面积，但ABC 和BCD 不全等故该定理没有逆定理(第 10 题解)数学乐园11已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形是真命题(第 11 题解)已知：如解图，在ABC 中，BDCD ，AD 平分BAC求证：ABC 是等腰三角形证明：延长 AD 至点 E，使 DEAD，连结 BE，CEBDCD ，DEDA，BDECDA ，BDECDA(SAS) BECA ， BEDCADAD 平分BAC，CADBAD BADBEDABBEABAC ABC 是等腰三角形