1、特殊平行四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 宽 长矩 形 S判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（
2、3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 2对 角 线对 角 线高 底菱 形 S4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直
3、角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积： =S边长边长 12对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、 （2016 春常州期末）如图，在ABC 中，AB=AC，D
4、为 BC 的中点，AEBC，DEAB试说明：（1）AE=DC； （2）四边形 ADCE 为矩形【思路点拨】 （1）根据已知条件可以判定四边形 ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD结合中点的性质得到 AE=CD；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形 ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论【答案与解析】证明：（1）如图，AEBC，AEBD又DEAB，四边形 ABDE 是平行四边形，AE=BDD 为 BC 的中点，BD=DC，AE=DC； （2）AECD，AE=BD=DC，即 AE=DC，四边形 ADCE 是平行四边形又AB=AC，
5、D 为 BC 的中点，ADCD，平行四边形 ADCE 为矩形【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论2、如图所示，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，求 EF 的长.【思路点拨】要求 EF 的长，可以考虑把 EF 放入 RtAEF 中，由折叠可知CDCF，DEEF，易得 AC10，所以 AF4，AE8-EF，然后在 RtAEF 中利用勾股定理求出 EF 的值 【答案与解析】解：设 EF x，由折叠可得：DEEF
6、x，CFCD6，又 在 RtADC 中， 2810AC AFACCF4，AEADDE8 x在 RtAEF 中， 22EF，即2()x，解得： 3 EF3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为EF若 AB 3cm，BC 5c，则重叠部分DEF 的面积是 _ 2cm【答案】5.1.提示：由题意可知 BFDF，设 FC x，DF5 x，在 RtDFC 中，22DCF，解得 8，BFDE3.4，则 DEF1=AB2S13.435.
7、1.类型二、菱形3、 （2015遵义）在 RtABC 中，BAC=90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形 ADCF 是菱形；（3）若 AC=4，AB=5，求菱形 ADCF 的面积【答案与解析】（1）证明：AFBC，AFE=DBE，E 是 AD 的中点，AD 是 BC 边上的中线，AE=DE，BD=CD，在AFE 和DBE 中，AFEDBE（AAS） ；（2）证明：由（1）知，AFEDBE，则 AF=DBDB=DC，AF=CDAFBC，四边形 ADCF 是平行四边形，BAC=90，D 是 BC
8、的中点，E 是 AD 的中点，AD=DC= BC，四边形 ADCF 是菱形；（3）解：设菱形 DC 边上的高为 h，RTABC 斜边 BC 边上的高也为 h，BC= = ，DC= BC= ，h= = ，菱形 ADCF 的面积为：DCh= =10【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由【答案】四边形 ABCD 是菱形；证明：由 ADBC，ABCD 得四边形 ABCD 是平行四边形,过 A，C 两点分别
9、作 AEBC 于 E，CFAB 于 FCFBAEB90 AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四边形 ABCD 是菱形. 4、如图，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，且 ABCD下列结论：EGFH，四边形 EFGH 是矩形，HF 平分EHG，EG 12（BCAD），四边形 EFGH 是菱形其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C；【解析】解：E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，EF 12CD，FG AB，GH 12CD，HE AB，ABCD，EFFGGHHE，四边形 EFGH 是菱形，EGFH，正确；四边
10、形 EFGH 是矩形，错误；HF 平分EHG，正确；当 ADBC，如图所示：E，G 分别为 BD，AC 中点，连接 CD，延长 EG 到 CD 上一点 N，EN 12BC，GN AD，EG （BCAD），只有 ADBC 时才可以成立，而本题 AD 与 BC 很显然不平行，故本小题错误；四边形 EFGH 是菱形，正确综上所述，共 3 个正确故选 C【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与 ABCD 判定四边形 EFGH 是菱形是解答本题的关键 类型三、正方形5、如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，
11、过点P 作 PMAD，PNCD，垂足分别为 M，N（1）求证：ADBCDB；（2）若ADC90，求证：四边形 MPND 是正方形【思路点拨】 （1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形 MPND 是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形 MPND 是正方形.【答案与解析】证明：(1) BD 平分ABC，ABDCBD.又BABC，BDBD，ABDCBD.ADBCDB.(2) PMAD，PNCD，PMDPND90，又ADC90，四边形 MPND 是矩形.ADBCDB，PMAD，PNCD，PMPN. 四边形 MPND 是正方形. 【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩
12、形是正方形.6、如图，一个含 45的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EFAE 交DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AEEF根据正方形的性质推出 ABBC，BADHADDCE90，推出HAECEF，根据HEB 是以B 为直角的等腰直角三角形，得到 BHBE，H45，HACE，根据 CF 平分DCE 推出HFCE，根据 ASA 证HAECEF 即可得到答案【答案与解析】探究：AEEF证明：BHE 为等腰直角三角形,HHEB45，BHBE.又CF 平分DCE，四边形 ABCD 为正方形，FCE12
13、DCE45，HFCE.由正方形 ABCD 知B90，HAE90DAE90AEB,而 AEEF，FEC90AEB，HAEFEC.由正方形 ABCD 知 ABBC，BHABBEBC，HACE,AHEECF （ASA）,AEEF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式 1】如图所示，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 为_形(1)当四边形满足_条件时，四边形 EFGH 是菱形(2)当四边形满足_条件时，四边形 EFGH 是矩形(3)当四边形满足_条件时，四边形 EFGH 是
14、正方形在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【答案】四边形 EFGH 为平行四边形；解：(1)ACBD，理由：如图，四边形 ABCD 的对角线 ACBD，此时四边形 EFGH 为平行四边形，且 EH12BD，HG AC，得 EHGH，故四边形 EFGH 为菱形(2)ACBD，理由：如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，此时四边形 EFGH 为平行四边形易得 GHBD，即 GHEH，故四边形 EFGH 为矩形(3)ACBD 且 ACBD，理由：如图，四边形 ABCD 的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形 EFGH 为正方形本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形【变式 2】 （2015黄冈）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点E若CBF=20，则AED 等于 度【答案】65.提示：ABE=90-20=70，由正方形的性质知，BAC=45，AEB=180-45-70=65，由正方形的对称性可知，AED=AEB=65.