1、课时跟踪训练( 二十五) 空间的角的计算1已知 A(0,1,1)，B(2，1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为_2棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别为 A1B1，BB 1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是 _3PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC ，则二面角 APBC 的余弦值2为_4(大纲全国卷改编)已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中， AA12AB，则 CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于_5已知 E，F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1
2、 的棱 BC，CC 1 的中点，则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值是_6.如图，在几何体 ABCDE 中，ABC 是等腰直角三角形，ABC 90，BE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且BE AB2，CD1，点 F 是 AE 的中点求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值7(江西高考)如图，四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD，E 为 BD 的中点，G 为PD 的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA ，连结 CE 并延长交 AD 于 F.32(1)求证：AD 平面 CFG；(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值8.如图，在几何体 ABCDE 中，
3、DA平面EAB，CB DA，EAAB ，M 是 EC 的中点，EA DA AB 2CB .(1)求证：DMEB；(2)求异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值；(3)求二面角 MBDA 的余弦值答 案1解析： (2，2， 1)， (2，3，3)，ABCDcos ， .CD| 5322 5 2266直线 AB，CD 所成角的余弦值为 .52266答案：522662解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M ，C(0,1,0)，(1，12，1)N .(1，1，12) ， ，AM(0，12，1) CN(1，0，12)cos ， ，1252 52 25故异面直线 AM 与
4、CN 所成角的余弦值为 .25答案：253解析：如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B( ，1,0)，2C(0,1,0)，P (0,0,1)，(0,0,1)， ( ，1,0) ， ( ，0,0)，AB2 C2(0 ，1，1)设平面 PAB 的法向量为 m( x，y ，z) ，则Error!Error!Error!令 x1，则 m(1 ， ，0) 2设平面 PBC 的法向量为 n (x，y，z)，则Error!Error!Error!令 y1，则 n(0，1，1) ，cosm，n .mn|m|n| 33答案：334.解析：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，
5、则 D(0,0,0)， C(0,1,0)，B(1,1,0)，C 1(0,1,2)，则 (0,1,0) ，DC(1,1,0)， (0,1,2)设平面 BDC1 的法向量为 n(x，y，z)，则B1n ，n ，所以有Error!令 y2，得平面 BDC1 的一个法向量为 n(2，2,1) 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 ，则 sin |cos n， | .DC|n|n| 23答案：235.解析：以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD 1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(1,0,0)，E ，F ，D 1(0,0,1)(12，1，0) (0，1，12)所以 (
6、1,0,1)， .1AE( 12，1，0)设平面 AEFD1 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error!取 y1，则 n(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u(0,0,1) ，cosn，u .23答案：236解：以点 B 为原点，BA 、BC、BE 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)，A(2,0,0) ，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2) ，F(1,0,1) (0,2,1)， (1 ，2,0) ， (2,0,0)FBA设平面 BDF 的一个法向量为 n(2，a，b) ，n ，n ，DBError!即
7、Error!解得 a1，b2.n(2,1，2) 又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin .n| |n| 423 23即 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 .237解：(1)证明：在ABD 中，因为 E 是 BD 中点，所以 EAEBEDAB1，故BAD ，ABE AEB ，2 3因为DAB DCB，所以EABECB，从而有FED BEC AEB ，3所以FED FEA，故 EFAD，AFFD.因为 PGGD，所以 FGPA.又 PA平面 ABCD，所以 GFAD，故 AD平面 CFG.(2)以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,
8、0)，C，D (0， ，0) ，P ，(32，32，0) 3 (0，0，32)故 ， Error!BC(12，32，0) Error!， .D( 32，32，0)设平面 BCP 的一个法向量 n1(1，y 1，z 1)，则Error!解得Error!即 n1 .(1， 33，23)设平面 DCP 的一个法向量 n2(1 ，y 2，z 2)，则Error!解得Error!即 n2(1， ，2) 3从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为cos .|n1n2|n1|n2|43169 8 248解：以直线 AE、AB 、AD 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设 C
9、B a，则 A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以 M(a，a， )，a2(1)证明： (a，a， )， (2a,2a,0) ，3a2 EB a(2a)a2a00，DEB ，即 DMEB.(2) (0,2 a,0)， (2a ，2a，a) ，AC设异面直线 AB 与 CE 所成的角为 ，则 cos .| 4a22a3a 23即异面直线 AB 与 CE 所成角的余弦值为 .23(3)DA平面 EAB，AD平面 DAB，平面 DAB平面 EAB，EA平面 EAB，平面 EAB 平面 DABAB，EAAB.EA平面 DAB. (2a,0,0)是平面 DAB 的一个法向量AE设平面 MBD 的一个法向量为 n( x，y ，z) ，(a，a， )， (0，2a,2a) ，DM3a2 BD则Error!即Error!令 za，则 n ，(a2，a，a)设二面角 MBDA 的平面角为 ，则 cos .n| |n| a22a3a2 13即二面角 MBDA 的余弦值为 .13