1、课时跟踪训练(十七) 曲线的交点1曲线 x2xyy 23x 4y40 与 x 轴的交点坐标是_2曲线 x2y 24 与曲线 x2 1 的交点个数为_y293设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 _4曲线 yx 2x 2 和 yxm 有两个不同的公共点，则实数 m 的范围是_5如果椭圆 1 的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是x236 y29_6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4 ，离心率为 .264(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点，MN 的中
2、点为 A(2， 1)，求直线 l 的方程7已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C 1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 2 4 2y 2 3 0 4 22(1)求 C1，C 2 的标准方程；(2)请问是否存在直线 l 满足条件：过 C2 的焦点 F；与 C1 交于不同两点 M，N 且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由OMN8已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相
3、交于 A，B 两点( A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标答 案1解析：当 y0 时，得 x23x 40，解得 x14 或 x21.所以交点坐标为(4,0)和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2解析：由数形结合可知两曲线有 4 个交点答案：43解析：由 y28x ，得准线方程为 x2.则 Q 点坐标为(2,0)设直线yk( x 2)由Error!得 k2x2 (4k28)x4k 20.若直线 l 与 y28x 有公共点，则 (4k 28)216k 40.解得 1k 1.答案：1,14解析：由Error!消去 y，得 x
4、22x 2m 0.若有两个不同的公共点，则4 4(2m )0，m1.答案：(1，)5解析：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)P(4,2)为 AB 中点，x1 x28，y 1y 24.又A，B 在椭圆上，x 4y 36，x 4y 36.两式相减得(x x21 21 2 2 21)4(y y ) 0，即(x 1x 2)(x1x 2)4(y 1y 2)(y1y 2)0， .即2 21 2y1 y2x1 x2 x1 x24y1 y2 12直线 l 的斜率为 .所求直线方程为 x2y80.12答案：x2y806解：(1)由题意 2a4 ，2a 2 ，又 e ，2ca c22
5、64c .3b2 a2c 28 35.故所求椭圆的标准方程为 1.x28 y25(2)点 A 在椭圆内部，过 A 点的直线必与椭圆有两交点当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为 y1k( x2)，它与椭圆的交点分别为 M(x1， y1)，N (x2，y 2)，则Error!消去 y 得(8k25)x 216 k(2k1)x 8(2k 1) 250，x1 x2 ，16k2k 18k2 5又 A(2， 1)为弦 MN 的中点，x1 x24，即 4，16k2k 18k2 5k ，从而直线方程为 5x4y140.547解：(1)设抛物线 C2：y 22px (p0)，则有 2p(
6、x0) ，据此验证 4 个点知y2x(3，2 )，(4，4)在抛物线上，易求 C2：y 24x .3设 C1： 1(ab0)，把点( 2,0)， 代入得Error!解得Error!x2a2 y2b2 ( 2，22)C1 的方程为 y 21.x24(2)容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线 l 的斜率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1,0)，设其方程为 yk(x 1)，与 C1 的交点坐标为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)由Error!消去 y 得，(14k 2)x28k 2x4( k21)0，于是 x1x 2 ，x 1x2 . 8k21 4k2 4k2 1
7、1 4k2所以 y1y2k(x 11) k(x21)k 2x1x2( x1x 2)1k 2 . (4k2 11 4k2 8k21 4k2 1) 3k21 4k2由 ，即 0，得 x1x2y 1y20. OMNO将代入式得， 0，解得 k2.4k2 11 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为：y2x2 或 y2x2.8解：(1)由题意设椭圆 C 的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由题意得 ac3，ac 1，a 2，c1， b23.椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)证明：设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，由Error
8、!得，(34k 2)x28mkx4( m23)0，64m 2k216(34k 2)(m23)0，即 34k 2m 20.x1 x2 ，x 1x2 .8mk3 4k2 4m2 33 4k2y1y2(kx 1m)(kx 2m)k 2x1x2mk(x 1x 2)m 2 .3m2 4k23 4k2以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)，kADkBD1， 1，化简得y1x1 2 y2x2 2y1y2x 1x22(x 1x 2)40，即 40，3m2 4k23 4k2 4m2 33 4k2 16mk3 4k2化简得 7m216mk 4k 20，解得 m12k，m 2 ，且满足 34k 2m 20.2k7当 m2k 时，l ：y k (x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当 m 时，l ：y k ，直线过定点 .2k7 (x 27) (27，0)综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 .(27，0)