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2018-2019学年苏教版数学选修2-1课时跟踪训练(十三)抛物线的几何性质(含解析)

1、课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质1抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是_2抛物线 y22x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_3过点(0,1)且与抛物线 y24x 只有一个公共点的直线有_条4已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|12 ,P 为 C 的准线上一点,则ABP 的面积为_5已知点 A(2,0),抛物线 C:x 24y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则 FMMN_.6已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,抛物线

2、上的点 M(3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值7已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y10 截得的弦长为 ,15求此抛物线方程8已知抛物线 y22x .(1)设点 A 的坐标为 ,求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|;(23,0)(2)在抛物线上求一点 P,使 P 到直线 xy30 的距离最短,并求出距离的最小值答 案1解析:这里 p4,焦点(2,0),准线 x2,焦点到准线的距离是 4.答案:42解析:抛物线 y22x 的焦点为 F ,准线方程为 x ,设 A(x1,y 1),(12,0) 12B(x2,y 2),则 AFBFx

3、 1 x 2 5,解得 x1x 2 4,故线段 AB 的中点横坐标为 2.12 12故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2.答案:23解析:过点(0,1),斜率不存在的直线为 x0,满足与抛物线 y24x 只有一个公共点当斜率存在时,设直线方程为 ykx1,再与 y24 x 联立整理得 k2x2(2k4)x10,当 k0 时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当 k0 时,由 0可得 k 值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有 3 条答案:34解析:设抛物线方程为 y22px,则焦点坐标为( ,0),将 x 代入 y22px 可得p2 p2y2p 2,| AB|12,即 2p

4、12,故 p6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p6,所以PAB的面积为 61236.12答案:365解析:如图所示,过点 M 作 MM垂直于准线 y1 于点M,则由抛物线的定义知 MMFM ,所以 ,由于MMN FOA,则FMMN MMMN ,则 MMMN 1 ,即 FMMN1 .MMM N OFOA 12 5 5答案:1 56解:法一:设抛物线方程为 y22px(p0),则焦点 F( ,0),由题设可得 Error!p2解得Error!或Error!故所求的抛物线方程为 y28x,m 的值为2 .6法二:设抛物线方程为 y22px(p0),焦点 F( ,0),准线方程 x ,根据抛物

5、线p2 p2定义,点 M 到焦点的距离等于 M 到准线方程的距离,则 3 5, p4.p2因此抛物线方程为 y28x .又点 M(3,m)在抛物线上,于是 m224,m 2 .67解:设抛物线方程为:x 2ay(a0),由方程组Error!消去 y 得:2x 2ax a0,直线与抛物线有两个交点,( a)24 2a0,即 a8.设两交点坐标为 A(x1,y 1),B( x2,y 2),则 x1x 2 ,x 1x2 ,a2 a2弦长为|AB| 54x1 x22 54x1 x22 4x1x2 .14 5a2 8a|AB| , ,1514 5a2 8a 15即 a28a480,解得 a4 或 a12

6、,所求抛物线方程为:x 24y 或 x212y.8解:(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x,y),则|PA| 2 2y 2 22x(x 23) (x 23) 2 .(x 13) 13x 0,且在此区间上函数单调递增,故当 x0 时,|PA|min ,故距点 A 最近的点的坐标为(0,0)23(2)法一:设点 P(x0,y 0)是 y22x 上任一点,则 P 到直线 x y30 的距离为d .|x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 |y0 12 5|22当 y01 时,d min .522 524点 P 的坐标为 .(12,1)法二:设与直线 xy 30 平行的抛物线的切线为 xy t0,与 y22x 联立,消去x,得 y22y2t0,由 0 ,得 t ,此时 y1 ,x ,12 12点 P 坐标为 ,两平行线间的距离就是点 P 到直线 xy30 的最小距离,即(12,1)dmin .524