1、课时跟踪训练(二十三) 直线的方向向量与平面的法向量1若直线 l平面 ，且 l 的方向向量为(m, 2,4)，平面 的法向量为 ，则 m 为(12，1，2)_2设 A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件 n0 的点 M 的A轨迹是_3设直线 l1 的方向向量为 a(2，1,2)，直线 l2 的方向向量为 b(1,1，m )，若l1l 2，则 m_.4在空间中，已知平面 过点 A(3,0,0)和 B(0,4,0)及 z 轴上一点 C(0,0，a)( a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_.5已知 a(1,4,3)，b(3， x，y) 分别是直线 l1、l 2
2、的方向向量，若 l1l 2，则x_， y_.6已知 A(2,2,2)，B(2,0,0) ，C(0,2，2) ，(1)写出直线 BC 的一个方向向量；(2)设平面 经过点 A，且 是 的法向量，M( x，y，z) 是平面 内任一点，试写出x、y、z 满足的关系式7在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 A1BC1 的一个法向量；(3)若 M 为 CD 的中点，求平面 AMD1 的一个法向量8.如图，已知 ABCDA 1B1C1D1 是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示AB 3，BC4 ，AA 12.(1)求平面 B1CD1 的一个法向量；(
3、2)设 M(x，y，z)是平面 B1CD1 内的任意一点，求 x，y， z 满足的关系式答 案1解析：l 的方向向量与平面 的法向量平行 .m1.m12 21 42答案：12解析： n0 称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念AM答案：过点 A 且与向量 n 垂直的平面3解析：l 1l2，212m0. m .12答案：124解析：平面 xOy 的法向量为 n(0,0,1)， (3,4,0)， (3,0，a)，设平ABC面 的法向量为 u(x ，y，z) ，则Error!则 3x4yaz，取 z1，则 u ，(a3，a4，1)故 cosn，u .1a29 a216 1 22又 a0，a
4、.125答案：1255解析：由 l1l2，得 ，解得 x12，y9.13 4x 3y答案：12 96解：(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)， (2,2，2)，即(2,2，2)为直线 BC 的一个方向向量(2)由题意 (x 2，y2，z2) ，AM 平面 ，AM， .BCBCA(2,2，2)(x 2，y2，z2) 0. 2(x2)2(y 2) 2(z2) 0.化简得 xyz20.7.解：以 A 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空ABD1间直角坐标系，设正方体的棱长为 a.(1)平面 ABCD 即为坐标平面 xOy，n 1(0,0,1)为其一个法向量(2)B
5、1D平面 A1BC1，又 (0，a,0)(a,0，a)( a，a，a)，n2 ( 1,1，1)为平面 A1BC1的一个法向量1a(3)设 n(x 0，y 0，z 0)为平面 AMD1的一个法向量， ， (0，a，a) ，AM(a2，a，0) 1DError!令 x02，则 y01，z 01，n (2，1,1)为平面 AMD1的一个法向量8解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系 Axyz 中，各点坐标为 B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得 (0,4，2)， (3,0,2) ；1BC1D设平面 B1CD1的一个法向量为 a(x，y，z)，则 a ，a ，从而 a 0，a 0，1BC1所以 0x4y 2z0，3x0y2z 0，解方程组Error!得到Error!不妨取 z6，则 y3，x 4.所以 a(4,3,6)就是平面 B1C1D 的一个法向量(2)由题意可得 (x 3，y，z2) ，因为 a(4,3,6)是平面 B1CD1的一个法向量，1M所以 a ，从而 a 0，1B即 4(x 3)3y 6( z2) 0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是 4x3y6z24.