1、2018-2019 学年辽宁省阜新实验中学高一（下）第四次月考数学试卷一、选择题：本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在数列a n中，a 11，a n+1a n2，则 a6 的值是（ ）A11 B13 C15 D172 （5 分）ABC 中，a2，b ，B ，则 sinA 的值是（ ）A B C D 或3 （5 分）在数列a n中，a 1 ，a n1 （n 1） ，则 a2019 的值为（ ）A B C5 D以上都不对4 （5 分）在 a，b 中插入 n 个数，使它们和 a、b
2、组成等差数列 a，a 1，a 2，a n，b，则a1+a2+an（ ）An（a+b） BC D5 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论不正确的是（ ）Aa 2b 2+c22bccosA BasinB bsinACabcosC+ ccosB DacosB+bcosAsinC6 （5 分）在等比数列a n中，a 4、a 12 是方程 x2+3x+1 0 的两根，则 a8（ ）A1 B1 C1 D37 （5 分）为了得到函数 的图象，可以将函数 y2cos2x 的图象（ ）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C
3、向左平移 个单位 D向左平移 个单位8 （5 分）在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列则ABC 是（ ）第 2 页（共 18 页）A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D钝角三角形9 （5 分）已知角 ，（0， ） ，且 tan，则（ ）A B C2 D10 （5 分）从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角是 60，从电视塔的西偏南30的 B 处，测得塔顶仰角为 45，A、B 间距离为 35m，则此电视塔的高度是（ ）A5 m B10m C m D35m11 （5 分）数
4、列a n满足： 且a n是递增数列，则实数 a 的范围是（ ）A B C （1，3） D （2，3）12 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19 ，a 2 为整数，且 SnS 5，则数列前 n 项和的最大值为（ ）A B1 C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）若数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2，则 a3+a4 的值为 14 （5 分）方程 3sinx1+cos2x 在区间0 ，2 上的解为 15 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 ，
5、n N*，则 a1a 2+a3a 4+a2019a 2020 等于 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，边 AB5，AD1，点 P 为边 AB 上一动点，当DPC 最大时，线段 AP 的长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步第 3 页（共 18 页）骤17 （10 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，（1）求 cos（B+C）的值；（2）若 a2， ，求 b 的值18 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，在正项等比数列b
6、 n中，b2a 2，b 4a 5（1）求a n和b n的通项公式；（2）设 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （12 分）已知函数 f（x ）xsin cos ，其中 0，2） （1）若 f（2）0，求 sin2 的值；（2）求 f（1）+sin2 的最大值20 （12 分）已知等比数列b n的公比为 q，与数列a n满足 （1）证明：数列a n为等差数列；（2）若 b53，且数列a n的前 3 项和 S321，求a n的通项公式；（3）在（2）的条件下，求 Tn|a 1|+|a2|+|an|21 （12 分）ABC 中， （sinA，cosC） ， （cosB，sinA）
7、 ， sin B+sinC（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）若ABC 外接圆半径为 1，求ABC 的周长的取值范围22 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1a，a n+1S n+3n，nN *（1）设 bnS n3 n，求数列b n的通项公式；（2）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围第 4 页（共 18 页）2018-2019 学年辽宁省阜新实验中学高一（下）第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）在数列a n中，a 11，a n+
8、1a n2，则 a6 的值是（ ）A11 B13 C15 D17【分析】数列a n中，a n+1 an2，所以数列 an是等差数列，所以 a6a 1+（61）d，代入数据即可【解答】解：依题意，数列a n中，a n+1a n2，所以数列 an是首项为 1，公差为 2的等差数列，所以 a6a 1+（61）d1+5211故选：A【点评】本题考查了等差数列的定义、等差数列的通项公式属于基础题2 （5 分）ABC 中，a2，b ，B ，则 sinA 的值是（ ）A B C D 或【分析】利用正弦定理求解【解答】解：ABC 中，a2，b ，B ， ，解得 sinA 故选：B【点
9、评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要注意正弦定理的合理运用3 （5 分）在数列a n中，a 1 ，a n1 （n 1） ，则 a2019 的值为（ ）A B C5 D以上都不对【分析】根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可第 5 页（共 18 页）【解答】解：，a 1 ，a n1 （n1） ，a 21 1 1+45，a31 1 ，a41 1 1 ，则 a4a 1，即 an+3a n，即数列a n是周期为 3 的周期数列，20196733，a 2019a 3 ，故选：B【点评】本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键
10、4 （5 分）在 a，b 中插入 n 个数，使它们和 a、b 组成等差数列 a，a 1，a 2，a n，b，则a1+a2+an（ ）An（a+b） BC D【分析】在 a，b 中插入 n 个数，使它们和 a、b 组成等差数列，则第一项为 a，第 n+2项为 b，根据等差数列的前 n 项和公式求解即可【解答】解：依题意，设等差数列 a，a 1，a 2，a n，b，记为c n，其前 n 项和为 Sn，则 c1a，c n+2b，所以 a1+a2+anS n+2（a+b） ，故选：B【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，等差数列的性质，属于基础题5 （5 分）在ABC 中，角 A，B，
11、C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论不正确的是（ ）Aa 2b 2+c22bccosA BasinB bsinACabcosC+ ccosB DacosB+bcosAsinC第 6 页（共 18 页）【分析】利用正弦定理、余弦定理直接求解【解答】解：由在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，知：在 A 中，由余弦定理得：a 2b 2+c22bccosA，故 A 正确；在 B 中，由正弦定理得： ，asinB bsinA，故 B 正确；在 C 中，abcosC+ ccosB，由余弦定理得：ab +c ，整理，得 2a22a 2，故 C 正确；在 D 中，由余弦定
12、理得：acosB+bcosAa +b +csin C，故 D 错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）在等比数列a n中，a 4、a 12 是方程 x2+3x+1 0 的两根，则 a8（ ）A1 B1 C1 D3【分析】a 4，a 12 是方程 x2+3x+10 的两根可得 a4a121，在等比数列中 a82a 4a12求出 a8，要注意在等比数列中偶数项同号【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 4，a 12 是方程 x2+3x+10 的两根，a 4a121，a 4+a123，
13、a 82a 4a121，a 40，a 120a 81，又在等比数列中偶数项同号，a 81，故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质和根与系数的关系，根据等比数列的性质是解决本题的关键，属基础题7 （5 分）为了得到函数 的图象，可以将函数 y2cos2x 的图象（ ）第 7 页（共 18 页）A向右平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向左平移 个单位【分析】将 化简后利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解： 要得到函数 的图象，可以将函数 y2cos2x 的图象向右平移个单位故选：B【点评】本题考查了三角恒等变换和函数 yAsin （ x+
14、）的图象变换规律，属基础题8 （5 分）在ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列则ABC 是（ ）A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D钝角三角形【分析】根据 A，B，C 成等差数列和三角形内角和定理求出 B 的值，利用等比中项的性质可知 b2ac 代入余弦定理求得 a2+c2ac ac，整理求得 ac ，判断出 AC ，最后利用三角形内角和求出 A 和 C，推出结果【解答】解：由 A，B，C 成等差数列，有 2BA+C（1）因为 A，B ，C 为ABC 的内角，所以 A+B+C 由（1） （2）得 B
15、 （3）由 a，b，c 成等比数列，有 b2ac（4）由余弦定理及（3） ，可得 b2a 2+c22accosBa 2+c2ac再由（4） ，得 a2+c2ac ac，即（ac） 20因此 ac从而 AC（5）第 8 页（共 18 页）由（2） （3） （5） ，得 ABC 所以ABC 为等边三角形故选：C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的基本知识以及基本能力的考查9 （5 分）已知角 ，（0， ） ，且 tan，则（ ）A B C2 D【分析】直接利用三角函数
16、关系式的恒等变换求出结果【解答】解： tan，由于：角 ，（0， ） ，故： ，（0， ） ，得到： ，故：2 故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的求值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5 分）从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角是 60，从电视塔的西偏南30的 B 处，测得塔顶仰角为 45，A、B 间距离为 35m，则此电视塔的高度是（ ）A5 m B10m C m D35m【分析】作出图形，利用余弦定理求解即可【解答】解：设此电视塔的高度是 x，则如图所示，第 9 页（共 18 页）AC ，BCA150，AB
17、35m，cos150 ，x5 故选：A【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，比较基础11 （5 分）数列a n满足： 且a n是递增数列，则实数 a 的范围是（ ）A B C （1，3） D （2，3）【分析】根据题意，首先可得 an 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 ；解可得答案【解答】解：根据题意，a nf（n） ；要使a n是递增数列，必有 ；第 10 页（共 18 页）解可得，2a3；故选：D【点评】本题考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、数列的函数特性、函数单调性的判断与证明，a n是递增数列，必须结
18、合 f（x）的单调性进行解题，但要注意 an是递增数列与 f（x ）是增函数的区别与联系12 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19 ，a 2 为整数，且 SnS 5，则数列前 n 项和的最大值为（ ）A B1 C D【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a19 ，a 2 为整数，且 SnS 5，则：a 50，a 60所以： ，解得： ，由于：a 2 为整数，所以：d2则：a n112n所以： ，所以：T n + ） ， ，第 11 页
19、（共 18 页）令 ，由于：函数 f（x ） 的图象关于（4.5，0）对称及单调所以：0b 1b 2b 3b 4，b 5b 6b 7b 80bnb 41故： 故选：A【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）若数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2，则 a3+a4 的值为 24 【分析】根据 anS nS n1 ，求解通项，可得 a3+a4 的值【解答】解：由题意数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2，S 1a 12；a nS nS n1 2n 22（
20、n1） 24n2， （n1，n N*）则 a3+a410+1424故答案为：24【点评】数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 nN 成立，因此可将其中的n 换成 n+1 或 n1 等，这种办法通常称迭代或递推了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项14 （5 分）方程 3sinx1+cos2x 在区间0 ，2 上的解为 或 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程 3sinx1+cos2x，可得 3sinx22sin 2x，即 2sin2x+3sinx20可得
21、sinx2， （舍去）sinx ，x0，2解得 x 或 故答案为： 或 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力第 12 页（共 18 页）15 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 ，n N*，则 a1a 2+a3a 4+a2019a 2020 等于 2020 【分析】运用数列的递推式 n1，a 1S 1；n2 时，a nS nS n1 ，可得 an2n1，再由数列的并项求和，可得所求和【解答】解：S nn 2，可得 a1S 11；n2 时，a nS nS n1 n 2（n1）22n1，即有 an2n1，a1a 2+a3a 4+a2019a 2020（13）+（57）+
22、 （40374039）210102020故答案为：2020【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，以及数列的并项求和，考查化简运算能力，属于基础题16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，边 AB5，AD1，点 P 为边 AB 上一动点，当DPC 最大时，线段 AP 的长为 【分析】由题意，设 APx ，可得 BP5x，tanDPA ，tanCPB ，那么tanDPCtan（180DPACPB ） ，即可求解【解答】解：由题意，设 APx，可得 BP5x， （0x5）可得 tanDPA ，tanCPB ，那么 tanDPCtan （180DPA C
23、PB ）tan（DPA+CPB） ， （0x5）当DPC 最大时，tanDPC 的值最大；yx 25x+1（x ） 2第 13 页（共 18 页）当 x 时，取得最小值；故答案为：【点评】本题考查了正切的和与差公式的计算和应用能力属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17 （10 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，（1）求 cos（B+C）的值；（2）若 a2， ，求 b 的值【分析】 （1）由 sinA 的值及 A 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值，然后利用三角形的内角
24、和定理及诱导公式把所求的式子变形后，将 cosA 的值代入即可求出值；（2）由三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积，把 sinA 的值代入即可求出 bc 的值，记作 ，然后由 a 和 cosA 的值，根据余弦定理化简即可得到 b2+c2 的值，记作，联立 即可求出 b 与 c 的值【解答】解：（1）sinA ，A 为锐角，cos A ，B+ CA，cos（B+C）cos （ A）cos A ；（2）由 SABC bcsinA bc ，得到 bc3 ，a2，cosA ，根据余弦定理 a2b 2+c22bccosA 得：4b 2+c2 bc b2+c22，即 b2+c26，+2得：（b+c
25、） 212，解得 b+c2 ；2 得：（ bc ） 20，解得 bc0，即 bc，所以 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式及余弦定理熟练掌握这些公式及定理是解本题的关键学生做题时注意三角形 ABC 为锐角三角形这个条件18 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，在正项等比数列b n中，第 14 页（共 18 页）b2a 2，b 4a 5（1）求a n和b n的通项公式；（2）设 cna nbn，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）由 ，令 n1，a 10a nS nS n1 ， （n2） ，可得 an根据数列b n为等比，b 2a 22，
26、b 4a 58，可得 ，又各项均为正，可得 q，即可得出 bn（2）由（1）得： ，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1） ，令 n1，a 10anS nS n1 2（n1） ， （n2）a n2（n1） 又数列b n为等比，b 2a 22，b 4a 58， ，又各项均为正，q2， ；（2）由（1）得： ， 12 2+223+（n1）2 n，2T n2 3+224+（n2）2 n+（n1）2 n+1，2 n+1（n1）2 n+14， 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）已知函数 f（x ）xsin
27、 cos ，其中 0，2） （1）若 f（2）0，求 sin2 的值；（2）求 f（1）+sin2 的最大值【分析】 （1）由 f（2）0，求得 tan的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本第 15 页（共 18 页）关系求得 sin2 的值（2）设 tsin cos ，化简 f（1）+sin2 为 g（t ）t+1t 2，再利用二次函数的性质得它的最大值【解答】解：（1）由 f（2） 2sincos0，tan sin2 ；（2）f（1）+sin2 （sin cos）+2sincos，设 tsincos sin（ ） ，则 t ， ，2sincos 1t 2，g（t）t+1t 2 ，当 t
28、 时， ，f（1）+sin2 的最大值为： 【点评】本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，考查了转化思想和整体思想，属基础题20 （12 分）已知等比数列b n的公比为 q，与数列a n满足 （1）证明：数列a n为等差数列；（2）若 b53，且数列a n的前 3 项和 S321，求a n的通项公式；（3）在（2）的条件下，求 Tn|a 1|+|a2|+|an|【分析】 （1）运用等比数列的定义和等差数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（3）求得a n的前 n 项和为 Sn，对 n 讨论奇数或偶数，化简
29、即可得到所求和【解答】解：（1）等比数列b n的公比为 q，与数列a n满足 可得 3 q，即 an+1a nlog 3q，可得数列a n为公差为 log3q 的等差数列；（2）b 53，且数列a n的前 3 项和 S321，可得 b1q43，3a 1+3log3q21 ，b 13 ，第 16 页（共 18 页）解得 a19，q ，dlog 3q2，则 an2n+11；（3）a n2n+11，可得a n的前 n 项和为 Sn n（202n）10nn 2，当 n5 时，|a n|a n，即有 TnS n10nn 2，当 n6 时，T n（S nS 5）+S 52S 5S n22510n+n 2n
30、 210n+50则 Tn 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，注意运用分类讨论思想，考查方程思想和运算能力，属于基础题21 （12 分）ABC 中， （sinA，cosC） ， （cosB，sinA） ， sin B+sinC（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）若ABC 外接圆半径为 1，求ABC 的周长的取值范围【分析】 （1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得ABC 为直角三角形；（2）设ABC 内角 A、B 、C 所对边的边长分别是 a、b、c，根据ABC 外接圆半径为1，A ，可得 a2，从而 b+c2（sin
31、B+cosB）2 sin（B+ ） ，故可求 b+c 的取值范围，从而可求ABC 周长的取值范围【解答】 （1）证明： （sinA，cosC） ， （cosB，sinA） ， sinB+sin C，sinAcosB +sinAcosCsinB+sinC 由正弦定理得：acosB+acosC b+ c由余弦定理得 a +a b+c，整理得（b+c） （a 2b 2c 2）0b+c0，a 2b 2+c2，故ABC 为直角三角形（2）解：设ABC 内角 A、B、C 所对边的边长分别是 a、b、cABC 外接圆半径为 1，A ，a2，b+c2（sinB+cosB）2 sin（B+ ） 第 17 页（共
32、 18 页）0B ， B+ ，2b+c2 ，4a+b+c2+2 ，故ABC 周长的取值范围为（4，2+2 【点评】本题考查向量的数量积，考查正、余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确运用正、余弦定理是解题的关键22 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1a，a n+1S n+3n，nN *（1）设 bnS n3 n，求数列b n的通项公式；（2）若 an+1a n，nN *，求 a 的取值范围【分析】 （1）依题意得 Sn+12S n+3n，由此可知 Sn+13 n+12（S n3 n） 所以bnS n3 n（a3）2 n1 ，n N*（2）由题设条件知 Sn3 n+（a
33、3）2 n1 ，n N*，于是，anS nS n1 2 n2 12（ ） n2 +a3，由此可以求得 a 的取值范围是9，+） 【解答】解：（1）a n+1S n+3n，n N*，得 Sn+1S nS n+3n，S n+12S n+3n则 Sn+13 n+12（S n3 n） b nS n3 n，b n+12b n，b 1S 13 1a3，当 a3 时，b 1a30数列b n是以 a3 为首项，以 2 为公比的等比数列，b n（a3）2 n1 ，验证 a3 时上式成立b n（a3）2 n1 ，（2）由（1）知 Sn3 n+（a3）2 n1 ，n N*，于是，当 n2 时，anS nS n1 3 n+（a3）2 n1 3 n1 （a3）2 n2 23 n1 +（a3）第 18 页（共 18 页）2n2 ，an+1a n43 n1 +（a3） 2n2 2 n2 12（ ） n2 +a3，当 n2 时，a n+1a n12（ ） n2 +a3a9又 a2a 1+3a 1综上，所求的 a 的取值范围是9，+ ） 【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题