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2019年高考数学教师版(含解析)之导数的热点问题

1、导数的热点问题1在某次水下科研考察活动中 ,需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为 31( 升),(v10)在水底作业 10 个单位时间,每单位时间用氧量为 0.9( 升),返回水面的平均速度为 (米/单v2位时间) ,每单位时间用氧量为 1.5(升) ,记该潜水员在此次考察活动中的总用氧 量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式;(2)若 cv15(c0),求当下潜速度 v 取什么值时,总用氧量最 少来源:Z*xx*k.Com2已知函数 f(x)x .ax(1)判断函数 f(x)的单调性; Z*X

2、*X*K(2)设函数 g(x)ln x1 ,证明:当 x(0,)且 a0 时,f (x)g(x)3已知函数 f(x)ln x,g(x) xm(mR)(1)若 f(x)g(x)恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)已知 x1,x 2 是函数 F(x)f (x)g(x )的两个零点,且 x10,e2.7)1 xax(1)当 a 1 时,求函数 f(x)在(1,f (1)点处的切线方程;(2)若函数 f(x)在区间2,)上为增函数,求实数 a 的取值范围;(3)求证:对于任意大于 1 的正整数 n,都有 ln n .12 13 1n6已知函数 f(x)e x2ln x,g(x )x 2axb(a,b

3、 R )(1)若对任意的 x(0,) ,不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)若对任意的实数 a,函数 F(x)f(x) g(x )x 22ln x 在(0,)上总有零点,求实数b 的取值范围7已知 x1 为函数 f(x)( x2ax)ln xx 的一个极值点(1)求实数 a 的值,并讨论函数 f(x)的单调性;(2)若方程 f(x)mx 22x 有且只有一个实 数根,求实数 m 的值8.已知 f(x)a sin x,g(x )ln x,其中 aR ,yg 1 (x)是 yg (x)的反函数(1)若 00,m0 恒成立,求满足条件的最小整数 b 的值1在某次水

4、下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为 31(升),(v10)在水底作业 10 个单位时间,每单位时间用氧量为 0.9(升),返回水面的平均速度为 (米/单v2位时间) ,每单位时间用氧量为 1.5(升) ,记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式;(2)若 cv15(c0),求当下潜速度 v 取什么值时,总用氧量最少(2)y ,6v50 240v2 3v3 2 00025v2令 y0,得 v10 ,32当 010 时,y0 ,函数单调递增,32当

5、 00 时,f(x)g( x)(1)解 因为 f(x)1 ,ax2 x2 ax2(x0)若 a0,则 f(x)0 在定义域内恒成立,f(x)在 (,0),(0 ,)上单调递增;若 a0,则由 f(x)0,解得 x ,a a由 f(x)0),axh(x)1 (x0),ax2 1x x2 x ax2设 p(x) x2xa,则由 a0 知,方程 p(x)0 的判别式 1 4a0,设 p(x) 0 的正根为 x0,x x 0a 0,20p(1) 11 aa1,又 p(0) a1)F(x)2 0 恒成立,1x 2x 1xF (x)在 (1,)上为增函数,又F(1)2020 ,来源: F(x)0,即 h(

6、x)min0,当 x(0,)且 a0 时, f(x)g(x)3已知函数 f(x)ln x,g(x) xm(mR)(1)若 f(x)g(x)恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)已知 x1,x 2 是函数 F(x)f (x)g(x )的两个零点,且 x10),则 F(x) 1 (x0),1x 1 xx当 x1 时,F(x)0,所以 F(x)在(1 ,)上单调递减,在(0,1) 上单调递增,F (x)在 x1 处取得最大值1 m,若 f(x)g(x)恒成立,则1m0,即 m1.(2)证明 由(1)可知,若函数 F(x)f (x)g (x)有两个零点,则 mF ,(1x1)由 F(x1)F( x2)

7、 0,mln x1x 1,即证 ln mln x 1ln x10,1x2 2x x2 2x 1x2故 h(x)在 (0,1)上单调递增,h(x )0 得 x0,由 f(x)0, f(0)10,3e2f(x)有两个零点(2)证明 f (x)e x 2x ,(ax 1 a)x0 是 f(x)的极值点,f(0)a10,a1,f(x) (x1)e xx 2,故要证(x1)e xln(x1)x1 ,令 x1t,t0,即证 tet1 ln tt2( t0),设 h(x) exexln xx2( x0),即证 h(x)0(x0),h(x)ee x(x1) 11xe(x 1) (x0),(ex 1ex)令 u

8、(x) ex (x0),u(x )e x 0,1ex 1ex2u(x)在 (0,)上单调递增,又 u(1) e 0,u 2eex0 时,u (x)0,h(x)0,h(x)h(x 0)e x0 ln x0x 02ex 0 ln 01xx 021x 01x 020.1ex0综上得证5已知函数 f(x) ln x(其中 a0,e2.7)1 xax(1)当 a 1 时,求函数 f(x)在(1,f (1)点处的切线方程;(2)若函数 f(x)在区间2,)上为增函数,求实数 a 的取值范围;(3)求证:对于任意大于 1 的正整数 n,都有 ln n .12 13 1n(1)解 f (x) ln x,1 x

9、xf(x) (x0),x 1x2f(1)0 ,f(1) 0,f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为 y0.(3)证明 当 a1 时,f (x) ln x,f (x) ,1 xx x 1x2当 x1 时,f (x)0,f(x )在(1,)上是增函数则当 x1 时,f(x )f(1)0,当 n1 时,令 x 1,nn 1f(x) ln ln 0,1 nn 1nn 1 nn 1 1n nn 1ln ,ln ,ln , ,ln ,nn 11n 2112 3213 nn 11nln ln ln ,21 32 nn 112 13 1n即 ln ,(2132 nn 1) 12 13 1nln n ,12

10、 13 1n即对于任意大于 1 的正整数 n,都有 ln n .12 13 1n6已知函数 f(x)e x2ln x,g(x )x 2axb (a,bR)(1)若对任意的 x(0,) ,不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)若对任意的实数 a,函数 F(x)f(x) g(x )x 22ln x 在(0,)上总有零点,求实数b 的取值范围解 (1)对任意的 x(0,),不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立可转化为不等式m0,n(x) 单调递增从而当 x0,) 时,n (x)n(ln 2)2 2ln 20,即 m(x)0,所以 m(x)在0,) 上单调递增,m

11、(x) 的最小值是 m(0)1,所以 m1,即 m 的取值范围为(,1 (2)函数 F(x)f(x) g (x)x 2 2ln x 在(0,) 上总有零点,即 F(x) exaxb 在(0,)上总有零点若 a1.以下证明:当 b1 时,F (x)e xaxb 在(0,)上总有零点若 a0,( ba) ( ba)且 F(x)在 (0,)上连续,故 F(x)在 上必有零点;(0, ba)若 a0,F (0)1 b x2 1x2 在 x(0 , )时恒成立,取 x0a b 0,则 F(x0)F( ab)e ab a(a b )b(ab) 2a 2abbabb (b1)0,由于 F(0)1b0,故 F

12、(x)在 (0,a b)上必有零点综上,实数 b 的取值范围是(1,)7已知 x1 为函数 f(x)( x2ax)ln xx 的一个极值点(1)求实数 a 的值,并讨论函数 f(x)的单调性;(2)若方程 f(x)mx 22x 有且只有一个实数根,求实数 m 的值解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,) f(x)(x 2ax) (2x a )ln x11xx(2xa)ln x( a1) 因为 x1 为函数 f(x)的一个极值点,所以 f(1)1 (2a)ln 1(a1)2a0解得 a 2.故 f(x) (x22x)ln xx,f(x)x(2x2)ln x1( x 1)(12ln x)令 f(

13、x)0,解得 x11,x 21e .ee当 x 时,f(x)0,函数 f(x)单调递增;(0, ee)当 x 时,f(x )0,函数 f(x)单调递增(2)方程 f(x)mx 22x ,即(x 22 x)ln xx mx 22 x,整理得(x 22 x )ln xxmx 2.因为 x0,所以 m .x2 2xln x xx2 x 2ln x 1x令 g(x) ln x ,x 2ln x 1x (1 2x) 1x则 g(x) ln x .2x2 (1 2x) 1x 1x2 2ln x x 1x2令 h(x) 2ln xx1 ,则 h(x) 10 恒成立,2x所以函数 h(x)在(0,)上单调递增

14、又 h(1) 0,所以当 x(0,1)时,h(x)0,即 g(x)0,g(x )单调递增所以 g(x)的最小值为 g(1)10,m0 恒成立,求满足条件的最小整数 b 的值(1)证明 由题意知 G(x)asin(1 x )ln x,G(x) a cos(1x)( x0),1x当 x(0,1),01,00,故函数 G(x)在区间(0,1) 上是增函数(2)证明 由(1)知,当 a1 时,G(x)sin(1 x)ln x 在(0,1) 上单调递增sin(1x) ln x 0ex x 2x 02 22x0 20 0xx 02,(x02 1)又 m 0exx 02 ,x 0(0,ln 2)恒成立,(x02 1)令 m(x) exx 2,x(0,ln 2),(x2 1)则 m(x) (x1)e x1,来源:12令 n(x) (x1)e x1 ,12则 n(x) xex0,12m(x)在(0 ,ln 2)上单调递增,m(x) m(0) 0,12m(x)在(0,ln 2)上单调递增,m(x)m(ln 2)2ln 2,b2ln 2,又 b 为整数,最小整数 b 的值为 2.