1、导数的热点问题1在某次水下科研考察活动中 ，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为 31( 升)，(v10)在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9( 升)，返回水面的平均速度为 (米/单v2位时间) ，每单位时间用氧量为 1.5(升) ，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧 量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式；(2)若 cv15(c0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最 少来源:Z*xx*k.Com2已知函数 f(x)x .ax(1)判断函数 f(x)的单调性； Z*X
2、*X*K(2)设函数 g(x)ln x1 ，证明：当 x(0，)且 a0 时，f (x)g(x)3已知函数 f(x)ln x，g(x) xm(mR)(1)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)已知 x1，x 2 是函数 F(x)f (x)g(x )的两个零点，且 x10，e2.7)1 xax(1)当 a 1 时，求函数 f(x)在(1，f (1)点处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)求证：对于任意大于 1 的正整数 n，都有 ln n .12 13 1n6已知函数 f(x)e x2ln x，g(x )x 2axb(a，b
3、 R )(1)若对任意的 x(0，) ，不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对任意的实数 a，函数 F(x)f(x) g(x )x 22ln x 在(0，)上总有零点，求实数b 的取值范围7已知 x1 为函数 f(x)( x2ax)ln xx 的一个极值点(1)求实数 a 的值，并讨论函数 f(x)的单调性；(2)若方程 f(x)mx 22x 有且只有一个实 数根，求实数 m 的值8.已知 f(x)a sin x，g(x )ln x，其中 aR ，yg 1 (x)是 yg (x)的反函数(1)若 00，m0 恒成立，求满足条件的最小整数 b 的值1在某次水
4、下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为 31(升)，(v10)在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单v2位时间) ，每单位时间用氧量为 1.5(升) ，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 y(升)(1)求 y 关于 v 的函数关系式；(2)若 cv15(c0)，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少(2)y ，6v50 240v2 3v3 2 00025v2令 y0，得 v10 ，32当 010 时，y0 ，函数单调递增，32当
5、 00 时，f(x)g( x)(1)解 因为 f(x)1 ，ax2 x2 ax2(x0)若 a0，则 f(x)0 在定义域内恒成立，f(x)在 (，0)，(0 ，)上单调递增；若 a0，则由 f(x)0，解得 x ，a a由 f(x)0)，axh(x)1 (x0)，ax2 1x x2 x ax2设 p(x) x2xa，则由 a0 知，方程 p(x)0 的判别式 1 4a0，设 p(x) 0 的正根为 x0，x x 0a 0，20p(1) 11 aa1，又 p(0) a1)F(x)2 0 恒成立，1x 2x 1xF (x)在 (1，)上为增函数，又F(1)2020 ，来源: F(x)0，即 h(
6、x)min0，当 x(0，)且 a0 时， f(x)g(x)3已知函数 f(x)ln x，g(x) xm(mR)(1)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)已知 x1，x 2 是函数 F(x)f (x)g(x )的两个零点，且 x10)，则 F(x) 1 (x0)，1x 1 xx当 x1 时，F(x)0，所以 F(x)在(1 ，)上单调递减，在(0,1) 上单调递增，F (x)在 x1 处取得最大值1 m，若 f(x)g(x)恒成立，则1m0，即 m1.(2)证明 由(1)可知，若函数 F(x)f (x)g (x)有两个零点，则 mF ，(1x1)由 F(x1)F( x2)
7、 0，mln x1x 1，即证 ln mln x 1ln x10，1x2 2x x2 2x 1x2故 h(x)在 (0,1)上单调递增，h(x )0 得 x0，由 f(x)0， f(0)10，3e2f(x)有两个零点(2)证明 f (x)e x 2x ，(ax 1 a)x0 是 f(x)的极值点，f(0)a10，a1，f(x) (x1)e xx 2，故要证(x1)e xln(x1)x1 ，令 x1t，t0，即证 tet1 ln tt2( t0)，设 h(x) exexln xx2( x0)，即证 h(x)0(x0)，h(x)ee x(x1) 11xe(x 1) (x0)，(ex 1ex)令 u
8、(x) ex (x0)，u(x )e x 0，1ex 1ex2u(x)在 (0，)上单调递增，又 u(1) e 0，u 2eex0 时，u (x)0，h(x)0，h(x)h(x 0)e x0 ln x0x 02ex 0 ln 01xx 021x 01x 020.1ex0综上得证5已知函数 f(x) ln x(其中 a0，e2.7)1 xax(1)当 a 1 时，求函数 f(x)在(1，f (1)点处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)求证：对于任意大于 1 的正整数 n，都有 ln n .12 13 1n(1)解 f (x) ln x，1 x
9、xf(x) (x0)，x 1x2f(1)0 ，f(1) 0，f(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为 y0.(3)证明 当 a1 时，f (x) ln x，f (x) ，1 xx x 1x2当 x1 时，f (x)0，f(x )在(1，)上是增函数则当 x1 时，f(x )f(1)0，当 n1 时，令 x 1，nn 1f(x) ln ln 0，1 nn 1nn 1 nn 1 1n nn 1ln ，ln ，ln ， ，ln ，nn 11n 2112 3213 nn 11nln ln ln ，21 32 nn 112 13 1n即 ln ，(2132 nn 1) 12 13 1nln n ，12
10、 13 1n即对于任意大于 1 的正整数 n，都有 ln n .12 13 1n6已知函数 f(x)e x2ln x，g(x )x 2axb (a，bR)(1)若对任意的 x(0，) ，不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对任意的实数 a，函数 F(x)f(x) g(x )x 22ln x 在(0，)上总有零点，求实数b 的取值范围解 (1)对任意的 x(0，)，不等式 f(x)x2m2ln x 恒成立可转化为不等式m0，n(x) 单调递增从而当 x0，) 时，n (x)n(ln 2)2 2ln 20，即 m(x)0，所以 m(x)在0，) 上单调递增，m
11、(x) 的最小值是 m(0)1，所以 m1，即 m 的取值范围为(，1 (2)函数 F(x)f(x) g (x)x 2 2ln x 在(0，) 上总有零点，即 F(x) exaxb 在(0，)上总有零点若 a1.以下证明：当 b1 时，F (x)e xaxb 在(0，)上总有零点若 a0，( ba) ( ba)且 F(x)在 (0，)上连续，故 F(x)在 上必有零点；(0， ba)若 a0，F (0)1 b x2 1x2 在 x(0 ， )时恒成立，取 x0a b 0，则 F(x0)F( ab)e ab a(a b )b(ab) 2a 2abbabb (b1)0，由于 F(0)1b0，故 F
12、(x)在 (0，a b)上必有零点综上，实数 b 的取值范围是(1，)7已知 x1 为函数 f(x)( x2ax)ln xx 的一个极值点(1)求实数 a 的值，并讨论函数 f(x)的单调性；(2)若方程 f(x)mx 22x 有且只有一个实数根，求实数 m 的值解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，) f(x)(x 2ax) (2x a )ln x11xx(2xa)ln x( a1) 因为 x1 为函数 f(x)的一个极值点，所以 f(1)1 (2a)ln 1(a1)2a0解得 a 2.故 f(x) (x22x)ln xx，f(x)x(2x2)ln x1( x 1)(12ln x)令 f(
13、x)0，解得 x11，x 21e .ee当 x 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；(0， ee)当 x 时，f(x )0，函数 f(x)单调递增(2)方程 f(x)mx 22x ，即(x 22 x)ln xx mx 22 x，整理得(x 22 x )ln xxmx 2.因为 x0，所以 m .x2 2xln x xx2 x 2ln x 1x令 g(x) ln x ，x 2ln x 1x (1 2x) 1x则 g(x) ln x .2x2 (1 2x) 1x 1x2 2ln x x 1x2令 h(x) 2ln xx1 ，则 h(x) 10 恒成立，2x所以函数 h(x)在(0，)上单调递增
14、又 h(1) 0，所以当 x(0,1)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x )单调递增所以 g(x)的最小值为 g(1)10，m0 恒成立，求满足条件的最小整数 b 的值(1)证明 由题意知 G(x)asin(1 x )ln x，G(x) a cos(1x)( x0)，1x当 x(0,1)，01,00，故函数 G(x)在区间(0,1) 上是增函数(2)证明 由(1)知，当 a1 时，G(x)sin(1 x)ln x 在(0,1) 上单调递增sin(1x) ln x 0ex x 2x 02 22x0 20 0xx 02，(x02 1)又 m 0exx 02 ，x 0(0，ln 2)恒成立，(x02 1)令 m(x) exx 2，x(0，ln 2)，(x2 1)则 m(x) (x1)e x1，来源:12令 n(x) (x1)e x1 ，12则 n(x) xex0，12m(x)在(0 ，ln 2)上单调递增，m(x) m(0) 0，12m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(ln 2)2ln 2，b2ln 2，又 b 为整数，最小整数 b 的值为 2.