1、坐标系与参数方程【2019 年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极 坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识【重点、难点剖析】1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x，y )和( ， )，则Error!Error!2直线的极坐标方程若直线过点 M(0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为：sin( )0sin(
2、 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点 M(a,0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)3圆的极坐标方程若圆心为 M(0， 0)，半径为 r 的圆方程为：220cos( 0) 0r 20.2几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r： 2 rcos ；(3)当圆心位于 M ，半径为 r：2rsin .(r， 2)(4)圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数，02)圆心在点A(0， 0)，半径为 r
3、 的圆的方程为 r2 2 020cos( 0)24直线的参数方程经过点 P0(x0，y 0)，倾斜角为 的直线的参数方程为Error!(t 为参数) 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 的数量P0P 5圆的参数 方程圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆 1 的参数方程为 Error!( 为参数) x2a2 y2b2(2)双曲线 1 的参数方程为 Error!( 为参数) x2a2 y2b2(3)抛物 线 y22px( p0)的参数 方程为Error!( t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参
4、数方程【例 1】(2018全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x| 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程【变式探究】 (2017全国)在直角坐标系 xOy 中，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B
5、 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值(2， 3)【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a0) 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 上一点 A 的极坐标为 ，曲(1， 3)线 C2 的极坐标方程为 cos .(1)求曲线 C1 的极 坐标方程；(2)设点 M，N 在 C1 上，点 P 在 C2 上(异于极点)，若 O，M，P，N 四点依次在同一条直线 l上，且|M P|，|OP|，|PN|成等比数列，求 l 的极坐标方程【变式探究】将圆 x2y 21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得
6、曲线 C.来(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2x y20 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化求解与极坐标方程有关的问题时，
7、可以转化为熟悉的直角坐标方程求解若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标题型二 参数方程与普通方程的互化【例 2】(2018全国)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 x，y 有范围限制，要标出 x，y 的取
8、值范围【变式探究】 【2017江苏】选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参数),曲线 的参数方程xOylx82tyC为 ( 来源:Z#xx#k.Com2,xsy为参数).设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值.PCPl【变式探究】在直角坐标系 xy 中,曲线 C1 的参数方程为 cos1inxaty（t 为参数,a0） 来源:Zxxk.Com在以坐标 原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2：= 4cos.（I）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极
9、坐标方程为 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在C3 上,求 a【变式探究】在 直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x 2，圆 C2：( x1) 2(y2) 21 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C 2 的极坐标方程(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C 2MN 的面4积【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!( 为参数)，M 是 C1 上的动点，P 点满足 2 ，点 P 的轨迹为曲线 C2.OP OM (1)求 C2 的方程；(2)在以 O
10、为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于极点的交点3为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 AB.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件【变式探究】将圆 x2y 21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2x y20 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂
11、直 的直线的极坐标方程题型三 极坐标 参数方程及其应用【例 3】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数) ，直线 l 的参数方程为Error! (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m： (0)(1)求 C 和 l 的极坐标方程；(2)设点 A 是 m 与 C 的一个交点(异于原点) ，点 B 是 m 与 l 的交点，求 的最大值|OA|OB|【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的
12、曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【变 式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 2cos .(1)若曲线 C2 的参数方程为Error!( 为参数) ，求曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程；(2)若曲线 C2 的参数方程为Error!(t 为参数)，A(0,1)，且曲线 C1 与曲线 C2 的交点分别为P，Q，求 的取值范围1|AP| 1|AQ|【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线3cos,inxyl 的参数方程为.4,1xa
13、ty（ 为 参 数 ）（1 ）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2 ）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.17【变式探究】在直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 2(6)5xy（）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；（）直线 l的参数方程是 cosinty（ t为参数）, l与 交于 ,AB两点，|10AB，求 l的斜率来源: 【变式探究】已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴1,xy的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 24 ，( 0， 34 54)则直线 l 与曲线 C 的交点的
14、极坐标为_【变式探究】已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线 l 与圆 C 的普通方程(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线 l 的距离不大于半径，得到关于参数 a 的不等式，即可求出参数 a 的取值范围【感悟提升】1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参 数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参
15、和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (t 为参数)13cos,2inxty在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 sin m(mR)2 ( 4)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值【2019 年
16、高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程 与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识【重点、难点剖析】1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x，y )和( ， )，则Error!Error!2直线的极坐标方程若直线过点 M(0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为：sin( )0sin( 0 )几个特殊位置的直线的
17、极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点 M(a,0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)3圆的极坐标方程若圆心为 M(0， 0)，半径为 r 的圆方程为：220cos( 0) 0r 20.2几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r： 2 rcos ；(3)当圆心位于 M ，半径为 r：2rsin .(r， 2)(4)圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数，0 2)圆心在点A(0， 0)，半径为 r 的圆的方程为 r2 2
18、020cos( 0)24直线的参数方程经过点 P0(x0，y 0)，倾斜角为 的直线的参数方程为Error!(t 为参数) 来源:Z|xx|k.Com设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 的数量P0P 5圆的参数方程圆心在点 M(x0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!( 为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆 1 的参数方程为 Error!( 为参数) x2a2 y2b2(2)双曲线 1 的参数方程为 Error!( 为参数) x2a2 y2b2(3)抛物线 y22px( p0)的参数方程为Error!(t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【
19、例 1】(2018全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk|x| 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；，求 C1 的方程【解析】(1)由 xcos ，y sin ，得 C2 的直角坐标方程为(x1) 2y 24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知，C 1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右侧的射线为 l1，y 轴左侧的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2 的外部，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与
20、 C2 只有一个公共点且l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以 2 ，故 k| k 2|k2 1或 k0.43经检验，当 k 0 时，l 1 与 C2 没有公共点；当 k 时，l 1 与 C2 只有一个公共点，l 2 与 C2 有两个公共点，满足题意43当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0 或|k 2|k2 1k .43经检验，当 k 0 时，l 1 与 C2 没有公共点；当 k 时，l 2 与
21、C2 没有公共点43综上，所求 C1 的方程为 y |x|2.43【变式探究】(2017全国)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值(2， 3)【解析】 (1)设点 P 的极坐标为( ， )(0)，点 M 的极坐标为( 1，)( 10)，由题设知，|OP|，|OM| 1 .4cos 由|OM|OP |16 ，得
22、C2 的极坐标方程 4cos (0)所以 C2 的直角坐标方程为( x 2)2y 24( x0)来源:Z*xx*k.Com【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a0) 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 上一点 A 的极坐标为 ，曲(1， 3)线 C2 的极坐标方程为 cos .(1)求曲线 C1 的极坐标方程；(2)设点 M，N 在 C1 上，点 P 在 C2 上(异于极点)，若 O，M，P，N 四点依次在同一条直线 l上，且|MP|，|OP| ，|PN|成等比数列，求 l 的极坐标方程(2)由题意知，设直
23、线 l 的极坐标方程为 (R)，设点 M ，N ，P ，(1， ) (2， ) (3， )则 11，即 或 .(2， 34) (4， 2)综上， 的取值范围是 .(4， 34)(2)l 的参数方程为Error! .(t为 参 数 ， 40)(1)求 C 和 l 的极坐标方程；(2)设点 A 是 m 与 C 的一个交点(异于原点) ，点 B 是 m 与 l 的交点，求 的最大值|OA|OB|解 (1)曲线 C 的普通方程为( x1) 2y 21 ，由Error! 得 2 2sin21，(cos 1)化简得 C 的极坐标方程为 2cos .因为 l 的普通方程为 xy40，所以极坐标方程为 cos
24、 sin 4 0，所以 l 的极坐标方程为 sin 2 .( 4) 2(2)设 A(1，) ， B(2，)，则 2cos |OA|OB| 12 sin cos 4 (sin cos cos 2) sin ，12 24 (2 4) 14由射线 m 与 C，直线 l 相交，则不妨设 ，( 4， 4)则 2 ，4 ( 4， 34)所以当 2 ，即 时， 取得最大值，4 2 8 |OA|OB|即 max .(|OA|OB|) 2 14【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于
25、认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 2cos .(1)若曲线 C2 的参数方程为Error!( 为参数) ，求曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程；(2)若曲线 C2 的参数方程为Error!(t 为参数)，A(0,1)，且曲线 C1 与曲线 C2 的交点分别为P，Q，求 的取值范围1|AP| 1|AQ|【解析】 (1) 2cos ， 22cos ，又 2x 2y 2， cos x ，曲线 C1 的直角坐标方程为
26、x2y 22x0 ，曲线 C2 的普通方程为 x2( y 1)2t 2.(2)将 C2 的参数方程Error!(t 为参数)代入 C1 的方程 x2y 22 x0 ，得 t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin 2 40，( 4) ，|sin( 4)| ( 22， 1sin .( 4) 1， 22) ( 22， 1t1t 2 (2sin 2cos )2 sin ，2 ( 4)t1t2 10，t 1t2 10，t 1，t 2 同号，|t 1|t 2|t 1t 2|.由点 A 在曲线 C2 上，根据 t 的几何意义，可得 1|PA| 1|AQ| 1|t1| 1|t2
27、| |t1| |t2|t1|t2| 来源:|t1| |t2|t1t2| |t1 t2|12 (2,2 2|sin( 4)| 2 (2,2 1|PA| 1|AQ| 2【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线3cos,inxyl 的参数方程为.4,1xaty（ 为 参 数 ）（1 ）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2 ）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.17【答案】 （1） 与 的交点坐标为 ， ；（2 ） 或 .l3,04,58a16【解析】 （1）曲线 的普通方程为 .219xy当 时，直线 的普通方程为 .al430由 解得
28、或 .2430 19xy3 xy215 4从而 与 的交点坐标为 ， .Cl3,021,5（2 ）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为l40xyaC3cos,inl.3cos4in17d当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 ；ad917a917a8a当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 .416综上， 或 .8a16【变式探究】在直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 2(6)5xy（）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；（）直线 l的参数方程是 cosinty（ t为参数）, l与 交于 ,AB两点，|10AB，求 l的斜率【答案】 （） 2c
29、os10；（） 153.【解析】 （I）由 ,inxy可得 C的极坐标方程 21cos0.（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 ()R由 ,AB所对应的极径分别为 12,将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得21cos0.于是 212,21 12|()4cos4,AB来源:由 |10AB得 2315cos,tan83，所以 l的斜率为 53或 1.【变式探究】已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的1,xy正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 24 ，则( 0， 34 54)直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_解析
30、 直线 l 的直角坐标方程为 yx2 ，由 2cos 24 得 2(cos2sin 2)4，直角坐标方程为 x2y 24 ，把 yx2 代入双曲线方程解得 x2，因此交点为( 2，0) ，其极坐标为(2，)答案 (2，)【变式探究】已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线 l 与圆 C 的普通方程(2
31、)求出圆 心的坐标，利用圆心到直线 l 的距离不大于半径，得到关于参数 a 的不等式，即可求出参数 a 的取值范围【解析】(1)直线 l 的普通方程为 2xy2a0 ，圆 C 的普通方程为 x2y 216.(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 4，| 2a|5解得2 a2 .5 5【感悟提升】1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的 取值条件求解【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 (t 为参数)13cos,2inxty在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 sin m(mR)2 ( 4)求圆 C 的普通方程及直 线 l 的直角坐标方程；设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值