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2019年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2(x1)2,B x|1x6 ,则 AB(  )A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x62 (5 分)复数 za+ bi(a,b R)满足 2zi (1z ) ,则 a+b(  )A B C D3 (5 分) 的展开式中 的系数为(  )A12 B12 C192 D1924 (5 分) 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木,方三尺,高

2、三尺,欲方五寸作枕一枚问:得几何?”意思是:“有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为(  )A B C D5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某棱锥的三视图,则该棱锥的体积为(  )A4 B16 C32 D486 (5 分)已知平面区域 , 则点 P(x,y) 1是 P(x,y ) 2 的(  )第 2 页(共 31 页)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条

3、件7 (5 分)已知函数 f(x )lg (| x|+1) ,记 af(5 0.2) , bf (log 0.23) ,cf(1) ,则a,b,c 的大小关系为(   )Abca Babc Ccab Dc ba8 (5 分)若函数 f(x )sin2x+cos2x ,则下列结论正确的是(  )A函数 f(x)的最小正周期为 2B对任意的 xR,都有C函数 f(x )在 上是减函数D函数 f(x)的图象关于直线 对称9 (5 分)如图,为了测量某湿地 A,B 两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E从 D 点测得ADC 67.5,从 C 点测得ACD45,BCE7

4、5,从E 点测得 BEC60若测得 , (单位:百米) ,则 A,B 两点的距离为(  )A B C3 D10 (5 分)如图,点 F 是抛物线 C:x 24y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆x2+( y1) 24 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 y 轴,则AFB 周长的取值范围是(  )A (3,6) B (4,6) C (4,8) D (6,8)11 (5 分)下列图象中,可能是函数 f(x )x a(e x+ex ) (aZ )的图象的是(  )第 3 页(共 31 页)A BC D12 (5 分)已知直线 l: 交双曲线 : 于 A,B

5、 两点,过 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线 于点 C若ABC60,则双曲线 的离心率为(  )A B C2 D二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1,2) ,则 cos2     14 (5 分)在矩形 ABCD 中,AB2, ,点 F 在边 CD 上若 ,则的值是     15 (5 分)已知正三棱锥 ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 在正三棱锥的内部球的半径为 R,且 若过 A 作球 O 的截面,

6、所得圆周长的最大值是 8,则该三棱锥的侧面积为     16 (5 分)已知函数 f(x )a x+x2xlna ,对任意的 x1、x 20,1,不等式|f(x 1)f(x 2)| a1 恒成立,则实数 a 的取值范围为      三、解答题:共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 (kN *) ,S n 的最小值为9(1)确定 k 的值,并求数列a n的通项公式;(2)

7、设 ,求数列b n的前 2n+1 项和 T2n+1第 4 页(共 31 页)18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,ABDC, , ,PDBC(1)求证:平面 PBD平面 PBC;(2)在线段 PC 上是否存在点 M,使得平面 ABM 与平面 PBD 所成锐二面角为 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由19 (12 分)绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下:0,20) ,20 ,40) ,100, 120,得到如图所示的频

8、率分布直方图:(1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表) (2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客,称为“水果达人” 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?水果达人 非水果达人 合计男 10女 30合计(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案方案一:每满 80 元可立减 10 元;方案二:金额超过 80 元可抽奖三次,每次中奖的概率为 ,且每次抽奖互不影响,中奖 1 次打 9 折,中奖 2 次打 8 折,中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元,你打算购买 12斤水果,请从实际付

9、款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附:参考公式和数据: ,na+b+c+d第 5 页(共 31 页)临界值表:k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879P(K 2k 0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.00520 (12 分)已知椭圆 的左焦点为 F,A,B 是椭圆上关于原点 O 对称的两个动点,当点 A 的坐标为 时,ABF 的周长恰为 (1)求椭圆的方程;(2)过点 F 作直线 l 交椭圆于 C,D 两点,且 (R) ,求ACD 面积的取值范围21 (12 分)已知函数 函数 yf(f(x)+1)m(mR)恰有两个零点 x1 和 x2

10、(1)求函数 f(x )的值域和实数 m 的最小值;(2)若 x1x 2,且 ax1+x21 恒成立,求实数 a 的取值范围(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一个题目计分选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) ,直线 l 的方程为 (1)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的极坐标方程;(2)在(1)的条件下,直线 m 的极坐标方程为 (R ) 设曲线 C 与直线 l 的第 6 页(共 31 页)交点为 O,A,曲线

11、 C 与直线 m 的交点为 O,B,求OAB 的面积选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|(1)求不等式 f(2x )f(x+1)2 的解集(2)若 a0,b0 且 a+bf(3) ,求证: 第 7 页(共 31 页)2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 Ax|log 2(x1)2,B x|1x6 ,则 AB(  )A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x6【分析】可求出集合 A,然后

12、进行交集的运算即可【解答】解:Ax|1 x 5;ABx|1 x5故选:C【点评】考查描述法的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算2 (5 分)复数 za+ bi(a,b R)满足 2zi (1z ) ,则 a+b(  )A B C D【分析】把 za+ bi(a,bR)代入 2zi (1z ) ,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求得 a,b 的值,则答案可求【解答】解:za+ bi,由 2zi(1z) ,得 2a+2bi i(1abi)b+ (1a) i, ,解得 a ,b a+b 故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题3

13、 (5 分) 的展开式中 的系数为(  )A12 B12 C192 D192【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 ,求出 r 的值,即可求得展开式中 的系数【解答】解:二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1 (2) r ,第 8 页(共 31 页)令 3 ,求得 r1,可得展开式中 的系数为12,故选:A【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题4 (5 分) 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚问:得几何?”意思是:“有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为

14、5 寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为(  )A B C D【分析】有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作216 个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16 块,共有 61696 个,由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率【解答】解:有一块棱长为 3 尺的正方体方木,要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头,可作 216 个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那

15、16 块,共有 61696 个,从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率:p 故选:C【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识,考查运算求解能力,是基础题5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某棱锥的三视图,则该棱锥第 9 页(共 31 页)的体积为(  )A4 B16 C32 D48【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解:根据几何体得三视图转换为几何体为:所以:该几何体的体积为:V 故选:B【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要

16、考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型6 (5 分)已知平面区域 , 则点 P(x,y) 1是 P(x,y ) 2 的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】画出两个平面区域,然后判断充要条件即可【解答】解:平面区域 ,表示圆以及内部部分;第 10 页(共 31 页)的可行域如图三角形区域:则点 P(x,y) 1 是 P(x ,y) 2 的必要不充分条件故选:B【点评】本题考查线性规划的简单应用,充要条件的应用,是基本知识的考查7 (5 分)已知函数 f(x )lg (| x|+1) ,记 af(5 0.2) , bf (log 0

17、.23) ,cf(1) ,则a,b,c 的大小关系为(   )Abca Babc Ccab Dc ba【分析】可以看出,f(x )是偶函数,并且在0 ,+)上单调递增,从而得出,并且可以得出 ,从而由 f(x)在0,+ )上的单调性即可得出 a,b,c 的大小关系【解答】解:f(x )是偶函数,在0 ,+)上单调递增;bf(log 0.23)f(log 0.23) ;5 0.25 01, ; ; ;bca故选:A【点评】考查偶函数的定义,对数函数的单调性,指数函数的单调性,以及增函数的定义第 11 页(共 31 页)8 (5 分)若函数 f(x )sin2x+cos2x ,则下列结论

18、正确的是(  )A函数 f(x)的最小正周期为 2B对任意的 xR,都有C函数 f(x )在 上是减函数D函数 f(x)的图象关于直线 对称【分析】首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解:函数 f(x )sin2x+cos2x , ,则: 函数的最小正周期为 故选项 A 错误令: (k Z) ,解得: , (kZ) ,当 k0 时,函数的单调递减区间为: ,故:选项 C 错误当 x 时,f( )0,故选项 D 错误,故选:B【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考察学生

19、的运算能力和转换能力,属于基础题型9 (5 分)如图,为了测量某湿地 A,B 两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E从 D 点测得ADC 67.5,从 C 点测得ACD45,BCE75,从E 点测得 BEC60若测得 , (单位:百米) ,则 A,B 两点的距离为(  )第 12 页(共 31 页)A B C3 D【分析】根据题意,在ADC 中,分析角边关系可得 ACDC2 ,在BCE 中,由正弦定理可得 BC 的值,据此在 ABC 中,利用余弦定理分析可得答案【解答】解:根据题意,在ADC 中,ACD45,ADC67.5,DC2 ,则DAC1804567.567.5,

20、则 ACDC2 ,在BCE 中,BCE75,BEC60,CE ,则EBC180756045,则有 ,变形可得 BC ,在ABC 中,AC2 ,BC ,ACB 180ACDBCE60,则 AB2AC 2+BC22ACBCcosACB 9,则 AB3;故选:C【点评】本题考查三角形中的几何计算,涉及正弦、余弦定理的应用,属于基础题10 (5 分)如图,点 F 是抛物线 C:x 24y 的焦点,点 A,B 分别在抛物线 C 和圆x2+( y1) 24 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 y 轴,则AFB 周长的取值范围是(  )A (3,6) B (4,6) C (4,8) D (6,

21、8)【分析】圆(y1) 2+x24 的圆心为(0,1) ,半径 r2,与抛物线的焦点重合,可得|FB|2 ,| AF| yA+1,| AB|y By A,即可得出三角形 ABF 的周长2+y A+1+yBy Ay B+3,利用 1y B3,即可得出第 13 页(共 31 页)【解答】解:抛物线 x24y 的焦点为(0,1) ,准线方程为 y1,圆(y1) 2+x24 的圆心为(0,1) ,与抛物线的焦点重合,且半径 r2,|FB| 2,| AF|y A+1,| AB|y By A,三角形 ABF 的周长2+ yA+1+yBy Ay B+3,1y B3,三角形 ABF 的周长的取值范围是(4,6

22、) 故选:B【点评】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11 (5 分)下列图象中,可能是函数 f(x )x a(e x+ex ) (aZ )的图象的是(  )A BC D【分析】根据题意,求出函数的导数,按 a 的值分 5 种情况讨论,分析函数 f(x)的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x )x a(e x+ex ) ,其导数 f(x)ax a1 (e x+ex )+ xa(e x ex ) ,又由 aZ,当 a0,f(x)( ex+ex ) , (x 0)其定义域

23、为 x|x0,f(x)为偶函数,不经过原点且在第一象限为增函数,没有选项符合;第 14 页(共 31 页)当 a 为正偶数时,f(x )x a(e x+ex ) ,其定义域为 R,f(x)为偶函数且过原点,在第一象限为增函数,没有选项符合,当 a 为正奇数时,f(x )x a(e x+ex ) ,其定义域为 R,f(x)为奇函数且过原点,在第一象限为增函数且增加的越来越快,没有选项符合,当 a 为负偶数时,f(x )x a(e x+ex ) ,其定义域为 x|x0,f(x)为偶函数,不经过原点且在第一象限先减后增,D 选项符合;当 a 为负奇数时,f(x )x a(e x+ex ) ,其定义域

24、为 x|x0,f(x)为奇函数,不经过原点且在第一象限先减后增,没有选项符合,综合可得:D 可能是函数 f(x)x a(e x+ex ) (aZ)的图象;故选:D【点评】本题考查函数图象的判定,注意讨论 a 的取值情况,属于基础题12 (5 分)已知直线 l: 交双曲线 : 于 A,B 两点,过 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线 于点 C若ABC60,则双曲线 的离心率为(  )A B C2 D【分析】联立直线 x y 和双曲线方程可得 A,B 的坐标,以及|AB|,直角三角形的性质可得|AC| |AB|,设出直线 AC 的方程,联立双曲线方程,运用韦达定理可得 C 的横坐标,

25、由弦长公式,化简计算可得 ab,进而得到所求离心率【解答】解:联立直线 x y 和双曲线方程可得x2 ,y 2 ,可设 A( , ) ,可得|AB|2| OA| ,在直角三角形 ABC 中,ABC60,可得|AC | |AB|,第 15 页(共 31 页)设直线 AC 的方程为 y x+ ,代入双曲线方程可得(b 23a 2)x 2+ xa 2b2 0,可得 xC+ ,即有|x Cx A| | ,可得|AC |2 ,即为 a2+b2| b23a 2|,可得 ab,e 故选:A【点评】本题考查双曲线的方程和运用,考查直线和双曲线的位置关系,以及联立方程组,运用韦达定理,考查化简运算能力,属于综合

26、题二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1,2) ,则 cos2   【分析】根据三角函数的定义,求出 sin,利用二倍角公式可得 cos2 的值【解答】解:由三角函数的定义,r ,可得:sin ,可得:cos212sin 212( ) 2 故答案为: 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题第 16 页(共 31 页)14 (5 分)在矩形 ABCD 中,AB2, ,点 F 在边 CD 上若 ,则的值是 &

27、nbsp;  【分析】由平面向量数量积的运算得:| | |cosFAB| | |3,即| | ,即| ,即| | ,得解【解答】解:因为 ,所以| | |cosFAB | | |3,所以| | ,所以| | ,所以| | ,故答案为: 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算,属中档题15 (5 分)已知正三棱锥 ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 在正三棱锥的内部球的半径为 R,且 若过 A 作球 O 的截面,所得圆周长的最大值是 8,则该三棱锥的侧面积为    【分析】依题意,该球的大圆的周长为 8,所以 2R8 ,得 R4,所以BC 6设底面 B

28、CD 的中心为 E,连接 BE 并延长交 CD 于 F,则 BE 2 EF ,又因为三角形 OBE 为直角三角形,所以 OE 2所以三棱锥的高 AEAO +OE4+26所以三棱锥的斜高 AF 求侧面积即可【解答】解:依题意,该球的大圆的周长为 8,所以 2R8,得 R4,如图,正三棱锥 ABCD 中,设底面三角形 BCD 的中心为 E,则 AE平面 BCD,第 17 页(共 31 页)设 F 为 CD 的中点,连接 BF,AF,则 E 是 BF 的三等分点,且 AF 是三棱锥的侧面ACD 的斜高根据正三棱锥的对称性,球心 O 在 AE 上所以 BC 6则 BE 2 EF ,又因为三角形 OBE

29、 为直角三角形,所以 OE 2所以三棱锥的高 AEAO +OE4+26所以三棱锥的斜高 AF 该三棱锥的侧面积为 S 侧 3 3 9 故填: 【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征,正三棱锥的外接球,考查空间想象能力与计算能力,是中档题16 (5 分)已知函数 f(x )a x+x2xlna ,对任意的 x1、x 20,1,不等式|f(x 1)f(x 2)| a1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 e,+) 【分析】对x 1,x 20,1不等式 |f(x 1)f(x 2)| a1 恒成立等价于|f(x 1)f(x 2)| maxa1,而|f(x 1)f (x 2)| maxf(x) maxf (

30、x ) min,利用导数可判断函数的单调性,由单调性可求得函数的最值,解不等式即可【解答】解:f(x )a xlna+2xlna(a x1)lna+2 x,第 18 页(共 31 页)当 a1 时,x 0,1时,a x 1,lna0,2x0,此时 f(x) 0;f(x)在0 ,1上单调递增,f(x) minf(0)1,f(x) maxf (1)a+1 lna,而|f( x1)f(x 2)| f(x) maxf (x) minalna ,由题意得,alnaa1,解得 ae ,故答案为:e,+ ) 【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,考查转化思想,考查学生解决问难的能力三

31、、解答题:共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分17 (12 分)已知数列a n的前 n 项和 (kN *) ,S n 的最小值为9(1)确定 k 的值,并求数列a n的通项公式;(2)设 ,求数列b n的前 2n+1 项和 T2n+1【分析】 (1)利用数列和的最值求出 k,利用,求通项公式即可(2)推出 ,然后求解 T2n+1【解答】满分(12 分) 解:(1)由已知得 ,因为 kN*,当 nk 时, ,(1 分)故 k3;(2 分)所以 (3 分)因为 , (

32、n2)所以 ,得 an2n7(n2) (5 分)第 19 页(共 31 页)当 n1 时,S 14a 1,综上,a n2n7(6 分)(2)依题意, ,(7 分)所以 (8 分) (10 分)52n(12 分)【点评】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,ABDC, , ,PDBC(1)求证:平面 PBD平面 PBC;(2)在线段 PC 上是否存在点 M,使得平面 ABM 与平面 PBD 所成锐二面角为 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由【分析】 (1)利用余弦定理计算 BC,根据勾股定

33、理可得 BCBD ,结合 BCPD 得出BC平面 PBD,于是平面 PBD平面 PBC;(2)建立空间坐标系,设 ,计算平面 ABM 和平面 PBD 的法向量,令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于 ,解方程得出 的值【解答】 (1)证明:因为四边形 ABCD 为直角梯形,且ABDC,AB AD2,ADC ,所以 BD2 ,第 20 页(共 31 页)又因为 CD4,BDC ,根据余弦定理得 BC2所以 CD2BC 2+BD2,故 BCBD又因为 BCPD,PDBD D,所以 BC平面 PBD,又因为 BC平面 PBC,所以平面 PBC平面 PBD(2)解:由(1)得 BC平面 PBD,又 BC平

34、面 ABCD,平面 ABCD平面 PBD,设 E 为 BD 的中点,连结 PE,因为 PBPD ,BD 2 ,所以 PEBD ,PE2,又平面 ABCD平面 PBD,平面 ABCD平面 PBDBD,PE平面 ABCD如图,以 A 为原点分别以 AD,AB 和垂直平面 ABCD 的方向为坐标轴,建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C (2,4,0) ,D(2,0,0) ,P(1,1,2) ,假设存在 M(a,b,c)满足要求,设 (01) ,即 ,所以 M(2 ,43 ,2) , (0,2,0) , ,由(1)知平面 PBD 的一个法向量为 (2,2,0)

35、设 (x,y,z)为平面 ABM 的一个法向量,则 ,即,不妨取 (2,0,2) 则 cos , ,因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为 ,所以 ,解得 ,2(不合题意舍去) 故存在 M 点满足条件,且 第 21 页(共 31 页)【点评】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等19 (12 分)绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客

36、的购买金额分组如下:0,20) ,20 ,40) ,100, 120,得到如图所示的频率分布直方图:(1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表) (2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客,称为“水果达人” 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?水果达人 非水果达人 合计男 10女 30合计(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案方案一:每满 80 元可立减 10 元;方案二:金额超过 80 元可抽奖三次,每次中奖的概率为 ,且每次抽奖互不影响,中奖 1 次打 9 折,中奖 2 次打

37、8 折,中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元,你打算购买 12斤水果,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附:参考公式和数据: ,na+b+c+d临界值表:k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879第 22 页(共 31 页)P(K 2k 0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005【分析】 (1)利用频率分布直方图计算平均数即可;(2)根据题意补充列联表,由表中数据计算观测值,对照临界值得出结论;(3)分别计算选方案一、方案二所支付的款数,比较它们的大小即可【解答】解:(1)利用频率分布直方图,计算平均数为62;估计今年 7

38、 月份游客人均购买水果的金额为 62 元;(3 分)(2)根据题意填写列联表如下;水果达人 非水果达人 合计男 10 40 50女 20 30 50合计 30 70 100(5 分)由表中数据,计算 ,因此有 95%的把握认为“水果达人 ”与性别有关系;(7 分)(3)若选方案一:则需付款 101210110 元;(8 分)若选方案二:设付款 X 元,则 X 可能取值为84,96,108,120;(9 分)计算 ,第 23 页(共 31 页),所以 (元) ;(11 分)因为 102110,所以选择方案二更划算(12 分)【点评】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础

39、知识,也考查了运算求解能力、数据处理能力、应用意识,是中档题20 (12 分)已知椭圆 的左焦点为 F,A,B 是椭圆上关于原点 O 对称的两个动点,当点 A 的坐标为 时,ABF 的周长恰为 (1)求椭圆的方程;(2)过点 F 作直线 l 交椭圆于 C,D 两点,且 (R) ,求ACD 面积的取值范围【分析】解法一:(1)求出 AB,得到 a,然后求解 b,即可得到椭圆方程(2)当直线 AB 的斜率不存在时,求解三角形面积,设直线 CD 的方程为 yk(x+2)(k0) 由 消去 y 整理得:(1+2k 2)x 2+8k2x+8k280,0,设C(x 1, y1) ,D (x 2,y 2)

40、,利用弦长公式求解 CD,然后求解三角形面积,推出范围即可解法二:(1)设 F(c ,0) ,利用三角形的周长求解 c,然后求解 a,b,得到椭圆方程(2)由(1)得 F(2,0) ,设直线 CD 的方程为:xty2,联立 消去 x 得:(t 2+2)y 24ty40,利用韦达定理,弦长公式求解 CD,然后求解三角形面积,推出范围即可【解答】满分(12 分) 解法一:(1)当点 A 的坐标为 时, ,第 24 页(共 31 页)所以 (1 分)由对称性,|AF|+|BF|2a,(2 分)所以 ,得 (3 分)将点 代入椭圆方程 中,解得 b24,所以椭圆方程为 (5 分)(2)当直线 AB 的

41、斜率不存在时, ,此时 (6 分)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 CD 的方程为 yk (x+2) (k0) 由 消去 y 整理得:(1+2k 2)x2+8k2x+8k280 (7 分)显然0,设 C(x 1,y 1) ,D(x 2,y 2) ,则 (8 分)故 (9 分)因为 (R) ,所以 CDAB,所以点 A 到直线 CD 的距离即为点 O 到直线 CD 的距离 ,(9 分)所以第 25 页(共 31 页) (10 分) ,因为 1+2k21,所以 ,所以 综上, (12 分)解法二:(1)设 F(c ,0) ,根据题意,可得(1 分)得 ,解得 c2由 c0,得 c2 (3 分)所

42、以 a2b 24,又因为 ,解得 a28,b 24,所以椭圆的方程为 (5 分)(2)由(1)得 F(2,0) ,设直线 CD 的方程为:xty2,联立 消去 x 得:(t 2+2)y24ty 40,(6 分)32(t 2+1) 0,设 C(x 1,y 1) ,D(x 2,y 2) ,则 (7 分)第 26 页(共 31 页)所以 ,(8 分)因为 ,所以 CDAB,所以 O 到直线 CD 的距离即为点 A 到直线 CD 的距离,点 O 到直线 CD:的距离 ,(9 分)所以ACD 的面积 ,(10 分)令(,0,则 (当且仅当 t0 时取等号) (11 分)所以ACD 的面积取值范围为 (1

43、2 分)【点评】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力21 (12 分)已知函数 函数 yf(f(x)+1)m(mR)恰有两个零点 x1 和 x2(1)求函数 f(x )的值域和实数 m 的最小值;(2)若 x1x 2,且 ax1+x21 恒成立,求实数 a 的取值范围【分析】 (1)根据分段函数的值域可得 f(x )的值域,(2)构造函数,利用导数判断单调性得到最值可得【解答】 (1)解:当 x0 时,f (x)e x +12(1 分)当 x0 时, (2 分)f(x)的值域

44、为( 0,+) (3 分)令 f(f(x)+1)m,f(x)+11,f (f(x)+1)2,m2 (4 分)又 f(x)的单调减区间为( ,0 ,增区间为(0,+) 第 27 页(共 31 页)设 f(x)+1t 1,f(x)+1 t2,且 t10,t 21f (x )t 11 无解从而 f(x)t 21 要有两个不同的根,应满足t212,t 23(5 分) 即 m 的最小值为 (6 分)(2)yf(f(x )+1)m 有两个零点 x1、x 2 且 x1x 2,设 f(x)t,t2 ,+ ) , ,x 1ln(t1). , 对 t2,+ )恒成立(7 分)设 ,(8 分)t2,+ ) ,t 2t2,+)恒成立当 2a2,即 a1 时,h(t)0,h(t )在2,+)上单调递增h(t )h(2)aln1+1 10 成立 (10 分)当 a1 时,设 g(t)t 2t2a由 g(2)422a22a0t 0(2,+ ) ,使得 g(t 0)0且当 t(2,t 0)时,g(t)0,t (t 0,+)时,g(t)0当 t(2,t