1、2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2（x1）2，B x|1x6 ，则 AB（ ）A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x62 （5 分）复数 za+ bi（a，b R）满足 2zi （1z ） ，则 a+b（ ）A B C D3 （5 分） 的展开式中 的系数为（ ）A12 B12 C192 D1924 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木，方三尺，高
2、三尺，欲方五寸作枕一枚问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）A B C D5 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为（ ）A4 B16 C32 D486 （5 分）已知平面区域 ， 则点 P（x，y） 1是 P（x，y ） 2 的（ ）第 2 页（共 31 页）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条
3、件7 （5 分）已知函数 f（x ）lg （| x|+1） ，记 af（5 0.2） ， bf （log 0.23） ，cf（1） ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Abca Babc Ccab Dc ba8 （5 分）若函数 f（x ）sin2x+cos2x ，则下列结论正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为 2B对任意的 xR，都有C函数 f（x ）在 上是减函数D函数 f（x）的图象关于直线 对称9 （5 分）如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E从 D 点测得ADC 67.5，从 C 点测得ACD45，BCE7
4、5，从E 点测得 BEC60若测得 ， （单位：百米） ，则 A，B 两点的距离为（ ）A B C3 D10 （5 分）如图，点 F 是抛物线 C：x 24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆x2+（ y1） 24 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是（ ）A （3，6） B （4，6） C （4，8） D （6，8）11 （5 分）下列图象中，可能是函数 f（x ）x a（e x+ex ） （aZ ）的图象的是（ ）第 3 页（共 31 页）A BC D12 （5 分）已知直线 l： 交双曲线 ： 于 A，B
5、 两点，过 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线 于点 C若ABC60，则双曲线 的离心率为（ ）A B C2 D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1，2） ，则 cos2 14 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2， ，点 F 在边 CD 上若 ，则的值是 15 （5 分）已知正三棱锥 ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上，球心 O 在正三棱锥的内部球的半径为 R，且 若过 A 作球 O 的截面，
6、所得圆周长的最大值是 8，则该三棱锥的侧面积为 16 （5 分）已知函数 f（x ）a x+x2xlna ，对任意的 x1、x 20，1，不等式|f（x 1）f（x 2）| a1 恒成立，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 （kN *） ，S n 的最小值为9（1）确定 k 的值，并求数列a n的通项公式；（2）
7、设 ，求数列b n的前 2n+1 项和 T2n+1第 4 页（共 31 页）18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABDC， ， ，PDBC（1）求证：平面 PBD平面 PBC；（2）在线段 PC 上是否存在点 M，使得平面 ABM 与平面 PBD 所成锐二面角为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由19 （12 分）绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下：0，20） ，20 ，40） ，100， 120，得到如图所示的频
8、率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表） （2）若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人” 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？水果达人 非水果达人 合计男 10女 30合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案方案一：每满 80 元可立减 10 元；方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12斤水果，请从实际付
9、款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附：参考公式和数据： ，na+b+c+d第 5 页（共 31 页）临界值表：k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879P（K 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.00520 （12 分）已知椭圆 的左焦点为 F，A，B 是椭圆上关于原点 O 对称的两个动点，当点 A 的坐标为 时，ABF 的周长恰为 （1）求椭圆的方程；（2）过点 F 作直线 l 交椭圆于 C，D 两点，且 （R） ，求ACD 面积的取值范围21 （12 分）已知函数 函数 yf（f（x）+1）m（mR）恰有两个零点 x1 和 x2
10、（1）求函数 f（x ）的值域和实数 m 的最小值；（2）若 x1x 2，且 ax1+x21 恒成立，求实数 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的方程为 （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，直线 m 的极坐标方程为 （R ） 设曲线 C 与直线 l 的第 6 页（共 31 页）交点为 O，A，曲线
11、 C 与直线 m 的交点为 O，B，求OAB 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|（1）求不等式 f（2x ）f（x+1）2 的解集（2）若 a0，b0 且 a+bf（3） ，求证： 第 7 页（共 31 页）2019 年福建省宁德市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2（x1）2，B x|1x6 ，则 AB（ ）A x| 1x5 Bx|1x6 C x|1x5 D x|1x6【分析】可求出集合 A，然后
12、进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1 x 5；ABx|1 x5故选：C【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2 （5 分）复数 za+ bi（a，b R）满足 2zi （1z ） ，则 a+b（ ）A B C D【分析】把 za+ bi（a，bR）代入 2zi （1z ） ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解：za+ bi，由 2zi（1z） ，得 2a+2bi i（1abi）b+ （1a） i， ，解得 a ，b a+b 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3
13、 （5 分） 的展开式中 的系数为（ ）A12 B12 C192 D192【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 ，求出 r 的值，即可求得展开式中 的系数【解答】解：二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1 （2） r ，第 8 页（共 31 页）令 3 ，求得 r1，可得展开式中 的系数为12，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题4 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为
14、5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（ ）A B C D【分析】有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作216 个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16 块，共有 61696 个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率【解答】解：有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那
15、16 块，共有 61696 个，从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥第 9 页（共 31 页）的体积为（ ）A4 B16 C32 D48【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的体积为：V 故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要
16、考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6 （5 分）已知平面区域 ， 则点 P（x，y） 1是 P（x，y ） 2 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】画出两个平面区域，然后判断充要条件即可【解答】解：平面区域 ，表示圆以及内部部分；第 10 页（共 31 页）的可行域如图三角形区域：则点 P（x，y） 1 是 P（x ，y） 2 的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，充要条件的应用，是基本知识的考查7 （5 分）已知函数 f（x ）lg （| x|+1） ，记 af（5 0.2） ， bf （log 0
17、.23） ，cf（1） ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Abca Babc Ccab Dc ba【分析】可以看出，f（x ）是偶函数，并且在0 ，+）上单调递增，从而得出，并且可以得出 ，从而由 f（x）在0，+ ）上的单调性即可得出 a，b，c 的大小关系【解答】解：f（x ）是偶函数，在0 ，+）上单调递增；bf（log 0.23）f（log 0.23） ；5 0.25 01， ； ； ；bca故选：A【点评】考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义第 11 页（共 31 页）8 （5 分）若函数 f（x ）sin2x+cos2x ，则下列结论
18、正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为 2B对任意的 xR，都有C函数 f（x ）在 上是减函数D函数 f（x）的图象关于直线 对称【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数 f（x ）sin2x+cos2x ， ，则： 函数的最小正周期为 故选项 A 错误令： （k Z） ，解得： ， （kZ） ，当 k0 时，函数的单调递减区间为： ，故：选项 C 错误当 x 时，f（ ）0，故选项 D 错误，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生
19、的运算能力和转换能力，属于基础题型9 （5 分）如图，为了测量某湿地 A，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E从 D 点测得ADC 67.5，从 C 点测得ACD45，BCE75，从E 点测得 BEC60若测得 ， （单位：百米） ，则 A，B 两点的距离为（ ）第 12 页（共 31 页）A B C3 D【分析】根据题意，在ADC 中，分析角边关系可得 ACDC2 ，在BCE 中，由正弦定理可得 BC 的值，据此在 ABC 中，利用余弦定理分析可得答案【解答】解：根据题意，在ADC 中，ACD45，ADC67.5，DC2 ，则DAC1804567.567.5，
20、则 ACDC2 ，在BCE 中，BCE75，BEC60，CE ，则EBC180756045，则有 ，变形可得 BC ，在ABC 中，AC2 ，BC ，ACB 180ACDBCE60，则 AB2AC 2+BC22ACBCcosACB 9，则 AB3；故选：C【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题10 （5 分）如图，点 F 是抛物线 C：x 24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆x2+（ y1） 24 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是（ ）A （3，6） B （4，6） C （4，8） D （6，
21、8）【分析】圆（y1） 2+x24 的圆心为（0，1） ，半径 r2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|2 ，| AF| yA+1，| AB|y By A，即可得出三角形 ABF 的周长2+y A+1+yBy Ay B+3，利用 1y B3，即可得出第 13 页（共 31 页）【解答】解：抛物线 x24y 的焦点为（0，1） ，准线方程为 y1，圆（y1） 2+x24 的圆心为（0，1） ，与抛物线的焦点重合，且半径 r2，|FB| 2，| AF|y A+1，| AB|y By A，三角形 ABF 的周长2+ yA+1+yBy Ay B+3，1y B3，三角形 ABF 的周长的取值范围是（4，6
22、） 故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）下列图象中，可能是函数 f（x ）x a（e x+ex ） （aZ ）的图象的是（ ）A BC D【分析】根据题意，求出函数的导数，按 a 的值分 5 种情况讨论，分析函数 f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）x a（e x+ex ） ，其导数 f（x）ax a1 （e x+ex ）+ xa（e x ex ） ，又由 aZ，当 a0，f（x）（ ex+ex ） ， （x 0）其定义域
23、为 x|x0，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；第 14 页（共 31 页）当 a 为正偶数时，f（x ）x a（e x+ex ） ，其定义域为 R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，当 a 为正奇数时，f（x ）x a（e x+ex ） ，其定义域为 R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，当 a 为负偶数时，f（x ）x a（e x+ex ） ，其定义域为 x|x0，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D 选项符合；当 a 为负奇数时，f（x ）x a（e x+ex ） ，其定义域
24、为 x|x0，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，综合可得：D 可能是函数 f（x）x a（e x+ex ） （aZ）的图象；故选：D【点评】本题考查函数图象的判定，注意讨论 a 的取值情况，属于基础题12 （5 分）已知直线 l： 交双曲线 ： 于 A，B 两点，过 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线 于点 C若ABC60，则双曲线 的离心率为（ ）A B C2 D【分析】联立直线 x y 和双曲线方程可得 A，B 的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC| |AB|，设出直线 AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得 C 的横坐标，
25、由弦长公式，化简计算可得 ab，进而得到所求离心率【解答】解：联立直线 x y 和双曲线方程可得x2 ，y 2 ，可设 A（ ， ） ，可得|AB|2| OA| ，在直角三角形 ABC 中，ABC60，可得|AC | |AB|，第 15 页（共 31 页）设直线 AC 的方程为 y x+ ，代入双曲线方程可得（b 23a 2）x 2+ xa 2b2 0，可得 xC+ ，即有|x Cx A| | ，可得|AC |2 ，即为 a2+b2| b23a 2|，可得 ab，e 故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合
26、题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1，2） ，则 cos2 【分析】根据三角函数的定义，求出 sin，利用二倍角公式可得 cos2 的值【解答】解：由三角函数的定义，r ，可得：sin ，可得：cos212sin 212（ ） 2 故答案为： 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题第 16 页（共 31 页）14 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB2， ，点 F 在边 CD 上若 ，则的值是 &
27、nbsp; 【分析】由平面向量数量积的运算得：| | |cosFAB| | |3，即| | ，即| ，即| | ，得解【解答】解：因为 ，所以| | |cosFAB | | |3，所以| | ，所以| | ，所以| | ，故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题15 （5 分）已知正三棱锥 ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上，球心 O 在正三棱锥的内部球的半径为 R，且 若过 A 作球 O 的截面，所得圆周长的最大值是 8，则该三棱锥的侧面积为 【分析】依题意，该球的大圆的周长为 8，所以 2R8 ，得 R4，所以BC 6设底面 B
28、CD 的中心为 E，连接 BE 并延长交 CD 于 F，则 BE 2 EF ，又因为三角形 OBE 为直角三角形，所以 OE 2所以三棱锥的高 AEAO +OE4+26所以三棱锥的斜高 AF 求侧面积即可【解答】解：依题意，该球的大圆的周长为 8，所以 2R8，得 R4，如图，正三棱锥 ABCD 中，设底面三角形 BCD 的中心为 E，则 AE平面 BCD，第 17 页（共 31 页）设 F 为 CD 的中点，连接 BF，AF，则 E 是 BF 的三等分点，且 AF 是三棱锥的侧面ACD 的斜高根据正三棱锥的对称性，球心 O 在 AE 上所以 BC 6则 BE 2 EF ，又因为三角形 OBE
29、 为直角三角形，所以 OE 2所以三棱锥的高 AEAO +OE4+26所以三棱锥的斜高 AF 该三棱锥的侧面积为 S 侧 3 3 9 故填： 【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题16 （5 分）已知函数 f（x ）a x+x2xlna ，对任意的 x1、x 20，1，不等式|f（x 1）f（x 2）| a1 恒成立，则实数 a 的取值范围为 e，+） 【分析】对x 1，x 20，1不等式 |f（x 1）f（x 2）| a1 恒成立等价于|f（x 1）f（x 2）| maxa1，而|f（x 1）f （x 2）| maxf（x） maxf （
30、x ） min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可【解答】解：f（x ）a xlna+2xlna（a x1）lna+2 x，第 18 页（共 31 页）当 a1 时，x 0，1时，a x 1，lna0，2x0，此时 f（x） 0；f（x）在0 ，1上单调递增，f（x） minf（0）1，f（x） maxf （1）a+1 lna，而|f（ x1）f（x 2）| f（x） maxf （x） minalna ，由题意得，alnaa1，解得 ae ，故答案为：e，+ ） 【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力三
31、、解答题：共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 （kN *） ，S n 的最小值为9（1）确定 k 的值，并求数列a n的通项公式；（2）设 ，求数列b n的前 2n+1 项和 T2n+1【分析】 （1）利用数列和的最值求出 k，利用，求通项公式即可（2）推出 ，然后求解 T2n+1【解答】满分（12 分） 解：（1）由已知得 ，因为 kN*，当 nk 时， ，（1 分）故 k3；（2 分）所以 （3 分）因为 ， （
32、n2）所以 ，得 an2n7（n2） （5 分）第 19 页（共 31 页）当 n1 时，S 14a 1，综上，a n2n7（6 分）（2）依题意， ，（7 分）所以 （8 分） （10 分）52n（12 分）【点评】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABDC， ， ，PDBC（1）求证：平面 PBD平面 PBC；（2）在线段 PC 上是否存在点 M，使得平面 ABM 与平面 PBD 所成锐二面角为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由【分析】 （1）利用余弦定理计算 BC，根据勾股定
33、理可得 BCBD ，结合 BCPD 得出BC平面 PBD，于是平面 PBD平面 PBC；（2）建立空间坐标系，设 ，计算平面 ABM 和平面 PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于 ，解方程得出 的值【解答】 （1）证明：因为四边形 ABCD 为直角梯形，且ABDC，AB AD2，ADC ，所以 BD2 ，第 20 页（共 31 页）又因为 CD4，BDC ，根据余弦定理得 BC2所以 CD2BC 2+BD2，故 BCBD又因为 BCPD，PDBD D，所以 BC平面 PBD，又因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC平面 PBD（2）解：由（1）得 BC平面 PBD，又 BC平
34、面 ABCD，平面 ABCD平面 PBD，设 E 为 BD 的中点，连结 PE，因为 PBPD ，BD 2 ，所以 PEBD ，PE2，又平面 ABCD平面 PBD，平面 ABCD平面 PBDBD，PE平面 ABCD如图，以 A 为原点分别以 AD，AB 和垂直平面 ABCD 的方向为坐标轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C （2，4，0） ，D（2，0，0） ，P（1，1，2） ，假设存在 M（a，b，c）满足要求，设 （01） ，即 ，所以 M（2 ，43 ，2） ， （0，2，0） ， ，由（1）知平面 PBD 的一个法向量为 （2，2，0）
35、设 （x，y，z）为平面 ABM 的一个法向量，则 ，即，不妨取 （2，0，2） 则 cos ， ，因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为 ，所以 ，解得 ，2（不合题意舍去） 故存在 M 点满足条件，且 第 21 页（共 31 页）【点评】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等19 （12 分）绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月份 100 名游客
36、的购买金额分组如下：0，20） ，20 ，40） ，100， 120，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表） （2）若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人” 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？水果达人 非水果达人 合计男 10女 30合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案方案一：每满 80 元可立减 10 元；方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打
37、8 折，中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附：参考公式和数据： ，na+b+c+d临界值表：k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879第 22 页（共 31 页）P（K 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005【分析】 （1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的款数，比较它们的大小即可【解答】解：（1）利用频率分布直方图，计算平均数为62；估计今年 7
38、 月份游客人均购买水果的金额为 62 元；（3 分）（2）根据题意填写列联表如下；水果达人 非水果达人 合计男 10 40 50女 20 30 50合计 30 70 100（5 分）由表中数据，计算 ，因此有 95%的把握认为“水果达人 ”与性别有关系；（7 分）（3）若选方案一：则需付款 101210110 元；（8 分）若选方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为84，96，108，120；（9 分）计算 ，第 23 页（共 31 页），所以 （元） ；（11 分）因为 102110，所以选择方案二更划算（12 分）【点评】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础
39、知识，也考查了运算求解能力、数据处理能力、应用意识，是中档题20 （12 分）已知椭圆 的左焦点为 F，A，B 是椭圆上关于原点 O 对称的两个动点，当点 A 的坐标为 时，ABF 的周长恰为 （1）求椭圆的方程；（2）过点 F 作直线 l 交椭圆于 C，D 两点，且 （R） ，求ACD 面积的取值范围【分析】解法一：（1）求出 AB，得到 a，然后求解 b，即可得到椭圆方程（2）当直线 AB 的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线 CD 的方程为 yk（x+2）（k0） 由 消去 y 整理得：（1+2k 2）x 2+8k2x+8k280，0，设C（x 1， y1） ，D （x 2，y 2）
40、，利用弦长公式求解 CD，然后求解三角形面积，推出范围即可解法二：（1）设 F（c ，0） ，利用三角形的周长求解 c，然后求解 a，b，得到椭圆方程（2）由（1）得 F（2，0） ，设直线 CD 的方程为：xty2，联立 消去 x 得：（t 2+2）y 24ty40，利用韦达定理，弦长公式求解 CD，然后求解三角形面积，推出范围即可【解答】满分（12 分） 解法一：（1）当点 A 的坐标为 时， ，第 24 页（共 31 页）所以 （1 分）由对称性，|AF|+|BF|2a，（2 分）所以 ，得 （3 分）将点 代入椭圆方程 中，解得 b24，所以椭圆方程为 （5 分）（2）当直线 AB 的
41、斜率不存在时， ，此时 （6 分）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 CD 的方程为 yk （x+2） （k0） 由 消去 y 整理得：（1+2k 2）x2+8k2x+8k280 （7 分）显然0，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 （8 分）故 （9 分）因为 （R） ，所以 CDAB，所以点 A 到直线 CD 的距离即为点 O 到直线 CD 的距离 ，（9 分）所以第 25 页（共 31 页） （10 分） ，因为 1+2k21，所以 ，所以 综上， （12 分）解法二：（1）设 F（c ，0） ，根据题意，可得（1 分）得 ，解得 c2由 c0，得 c2 （3 分）所
42、以 a2b 24，又因为 ，解得 a28，b 24，所以椭圆的方程为 （5 分）（2）由（1）得 F（2，0） ，设直线 CD 的方程为：xty2，联立 消去 x 得：（t 2+2）y24ty 40，（6 分）32（t 2+1） 0，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 （7 分）第 26 页（共 31 页）所以 ，（8 分）因为 ，所以 CDAB，所以 O 到直线 CD 的距离即为点 A 到直线 CD 的距离，点 O 到直线 CD：的距离 ，（9 分）所以ACD 的面积 ，（10 分）令（，0，则 （当且仅当 t0 时取等号） （11 分）所以ACD 的面积取值范围为 （1
43、2 分）【点评】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力21 （12 分）已知函数 函数 yf（f（x）+1）m（mR）恰有两个零点 x1 和 x2（1）求函数 f（x ）的值域和实数 m 的最小值；（2）若 x1x 2，且 ax1+x21 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）根据分段函数的值域可得 f（x ）的值域，（2）构造函数，利用导数判断单调性得到最值可得【解答】 （1）解：当 x0 时，f （x）e x +12（1 分）当 x0 时， （2 分）f（x）的值域
44、为（ 0，+） （3 分）令 f（f（x）+1）m，f（x）+11，f （f（x）+1）2，m2 （4 分）又 f（x）的单调减区间为（ ，0 ，增区间为（0，+） 第 27 页（共 31 页）设 f（x）+1t 1，f（x）+1 t2，且 t10，t 21f （x ）t 11 无解从而 f（x）t 21 要有两个不同的根，应满足t212，t 23（5 分） 即 m 的最小值为 （6 分）（2）yf（f（x ）+1）m 有两个零点 x1、x 2 且 x1x 2，设 f（x）t，t2 ，+ ） ， ，x 1ln（t1）. ， 对 t2，+ ）恒成立（7 分）设 ，（8 分）t2，+ ） ，t 2t2，+）恒成立当 2a2，即 a1 时，h（t）0，h（t ）在2，+）上单调递增h（t ）h（2）aln1+1 10 成立 （10 分）当 a1 时，设 g（t）t 2t2a由 g（2）422a22a0t 0（2，+ ） ，使得 g（t 0）0且当 t（2，t 0）时，g（t）0，t （t 0，+）时，g（t）0当 t（2，t