1、2019 年福建省泉州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax|log 2x0，B x|x22x+3，则 A（ RB）（ ）A （3，1） B （1，3） C （0，3） D （1，3）2 （5 分）已知等比数列a n满足 a34，a 632，则其前 6 项的和为（ ）A31 B63 C127 D1283 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A ， B C D ）4 （5 分）英国统计学家 EH 辛普森 1951
2、 年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉记录这些被上述案件的终审结果如表所示（单位：件）：法官甲 法官乙终审结果 民事庭 行政庭 合计 终审结果 民事庭 行政庭 合计维持 29 100 129 维持 90 20 110推翻 3 18 21 推翻 10 5 15合计 32 118 150 合计 100 25 125记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 x1，x 2 和 x，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 y1，y 2 和 y，则下面
3、说法正确的是（ ）Ax 1y 1，x 2y 2，x y Bx 1y 1，x 2y 2，xyCx 1 y1，x 2 y 2，x y Dx 1 y 1，x 2y 2，xy5 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，点 P在 C 上，直线 PF 与 l 交于点 T若PFO ，则 （ ）A B C D第 2 页（共 28 页）6 （5 分）已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误的数据进行更正后，重新求
4、得样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ）A 70，s 275 B 70，s 2 75C 70，s 275 D 70， s2 757 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2，现把ABC 绕着边 BC 旋转到PBC 的位置给出以下三个命题：对于任意点 P，PA BC；存在点 P，使得 PA平面 PBC；三棱锥 PABC 的体积的最大值为 1以上命题正确的是（ ）A B C D8 （5 分）已知向量 ， 满足| |1， （t，2t ） ， 与 垂直，则| |的最小值为（ ）A B1 C D29 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+）的部分图象如图中实线所示
5、，图中圆 C 与 f（x）的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A函数 f （x） 的最小正周期是 2B函数 f （x） 的图象关于点 成中心对称C函数 f （x） 在 单调递增D函数 f （x） 的图象向右平移 后关于原点成中心对称10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x） ，其导函数为 f'（x） ，且 f（x）f（x+2） ，f '（x）第 3 页（共 28 页）f'（x ） ，若当 x（0，1）时， f'（x）0，则（ ）Af（ln ）f（ln3）0 Bf（2ln ）f（ln3）0Cf（ln
6、 ）+f（ln3）0 Df（2ln ）+f（ln 3）011 （5 分）已知正三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，其底面边长为3，E， F，G 分别为侧棱 AB，AC，AD 的中点若 O 在三棱锥 ABCD 内，且三棱锥ABCD 的体积是三棱锥 O BCD 体积的 3 倍，则平面 EFG 截球 O 所得截面的面积为（ ）A B C D412 （5 分）已知函数 f（x ） ，若方程 f（x）ax 有四个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （ ，e ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，
7、共 20 分将答案填在答题卡的相应位置13 （5 分） 14 （5 分）某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等 6 门选修课，甲同学需从中选修 3 门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有 （用数字填写答案）15 （5 分）已知双曲线 C 的中心为 O，左、右顶点分别为 A1，A 2，左、右焦点 F1，F 2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点若 POQF 2，QA 1QA 2，则 C的离心率等于 16 （5 分）在数列a n中，a 1+a253， （n1）a n+
8、1na n+280（nN*） 若bna nan+1an+2（nN*） 则数列b n的前 n 项和取得最大值时 n 的值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+b5， （2a+b）cosC+ccosB0第 4 页（共 28 页）（1）若ABC 的面积为 ，求 c；（2）若点 D 为线段 AB 的中点， ACD30，求 a，b18 （12 分）四棱
9、锥 PABCD 中，PD平面ABCD， ABAD，ADBC ，AB1，AD2BC ， PD （1）求证：平面 PBD平面 PAC；（2）M 为棱 PB 上异于 B 的点，且 AMMC，求直线 AM 与平面 MCD 所成角的正弦值19 （12 分）2018 年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加某读书 APP 抽样调查了非一线城市 M 和一线城市 N 各 100 名用户的日使用时长（单位：分钟） ，绘制成
10、频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于 60 分钟的用户记为“活跃用户” （1）请填写以下 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为用户活跃与否与所在城第 5 页（共 28 页）市有关？活跃用户 不活跃用户 合计城市 M城市 N合计（2）以频率估计概率，从城市 M 中任选 2 名用户，从城市 N 中任选 1 名用户，设这 3名用户中活跃用户的人数为 ，求 的分布列和数学期望（3）该读书 APP 还统计了 2018 年 4 个季度的用户使用时长 y（单位：百万小时） ，发现 y 与季度（x）线性相关，得到回归直线为 ，已知这 4 个季度的用户平均使用时长为 12.3 百万小时，试以此回
11、归方程估计 2019 年第一季度（x5）该读书 APP 用户使用时长约为多少百万小时附：K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k 0） 0.025 0.010 0.005 0.001k0 5.024 6.635 7.879 10.82820 （12 分）已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 A（c，0）B（c，0） （c 0） 点 M 在 E上，MB AB，MAB 的周长为 6，面积为（1）求 E 的方程；（2）过 A 的直线 l 与 E 交于 P，Q 两点，以 P，Q 为直径的圆与直线 MB 相切，求直线l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）e xx，g（x）（x+k）ln（x+k
12、）x（1）若 k1，f'（t）g'（t） ，求实数 t 的值（2）若 a，bR +，f（a）+g（b）f（0）+g（0）+ab，求正实数 k 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，其中n0以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 （ R） ，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos21第 6 页（共 28 页）（1）求 C1，C 2 的直角坐标方程；（2）已知点
13、 P（2，0） ，l 与 C1 交于点 Q，与 C2 交于 A，B 两点，且|PA|PB|PQ| 2，求 l 的普通方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x |+|x+ |，M 为不等式 f（x） 2 的解集（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，2 ab第 7 页（共 28 页）2019 年福建省泉州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax|log 2x0，B x|x22x+3，则 A（ RB）（ ）A （3，1） B
14、（1，3） C （0，3） D （1，3）【分析】求出集合的等价条件，结合集合补集交集的定义进行计算即可【解答】解：集合 Ax|log 2x0 x|x1 ，B x|x22x+3x|x 22x30x|x 3 或 x1，则 RB）x| 1x3，则 A（ RB）x |1x 3（1，3） ，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2 （5 分）已知等比数列a n满足 a34，a 632，则其前 6 项的和为（ ）A31 B63 C127 D128【分析】等比数列a n满足 a34，a 632，推导出 a1 1，q2，由此能求出其前 6 项的和【解答】解
15、：等比数列a n满足 a34，a 632， ，解得 a11，q2，其前 6 项的和为 63故选：B【点评】本题考查等比数列的前 6 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A ， B C D ）第 8 页（共 28 页）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 ，对应的平面区域如图：A（3，5） ，B （5，3） 则 的几何意义为区域内的点 Q（1，0）的斜率，由图象知 z 的最小为 QB 的斜率： ，z 的最大值为 QA
16、 的斜率： ，则 z ， ，故选：B【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法4 （5 分）英国统计学家 EH 辛普森 1951 年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉记录这些被上述案件的终审结果如表所示（单位：件）：法官甲 法官乙终审结果 民事庭 行政庭 合计 终审结果 民事庭 行政庭 合计维持 29 100 129 维持 90 20 110第 9 页（共 28 页）推翻 3 18 21 推翻 10 5 15合计 32 118 1
17、50 合计 100 25 125记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 x1，x 2 和 x，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 y1，y 2 和 y，则下面说法正确的是（ ）Ax 1y 1，x 2y 2，x y Bx 1y 1，x 2y 2，xyCx 1 y1，x 2 y 2，x y Dx 1 y 1，x 2y 2，xy【分析】先对图表数据进行分析再进行简单的合情推理得：x 1 0，90625，y 10，9，即 x1y 1，x 2 0.85，y 2 0.8，即x2y 2，x 0.86，y 0.88，即 xy，即 x1y 1，
18、x 2y 2，xy，得解【解答】解：由图表可知：x 1 0，90625，y 1 0，9，即 x1y 1，x2 0.85，y 2 0.8，即 x2y 2，x 0.86，y 0.88，即 xy，即 x1y 1，x 2 y2，xy ，故选：D【点评】本题考查了对图表数据的分析及进行简单的合情推理，属中档题5 （5 分）已知抛物线 C：y 22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，O 为坐标原点，点 P在 C 上，直线 PF 与 l 交于点 T若PFO ，则 （ ）A B C D【分析】设 P 在准线 l 上的射影为 M，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，即可得到所求值【解答】解：设 P
19、 在准线 l 上的射影为 M，由抛物线的定义可得|PF| PM|，PFO ，可得OFT ，即有MPT ，MTP ，第 10 页（共 28 页）在直角三角形 PMT 中，可得|PM | |PT|，即有 故选：C【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查解直角三角形，考查运算能力，属于基础题6 （5 分）已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 s2，则（ ）A 70，s 275 B 70，s 2 75C 70
20、，s 275 D 70， s2 75【分析】根据题意，分析可得：数据更正前后，数据的总和不变，其波动变小了，结合平均数、方差的定义分析可得结论【解答】解：根据题意，两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90，则这些数据的总和不变，则在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 不变，即 70，但数据的波动变小了，故 s275；故选：A【点评】本题考查数列的平均数、方差的计算，注意分析平均数、方差的定义与统计意义7 （5 分）已知等边ABC 的边长为 2，现把ABC 绕着边 BC 旋转到PBC 的位置给第 11 页（共 28 页）出以下三个命题：对于任意点
21、 P，PA BC；存在点 P，使得 PA平面 PBC；三棱锥 PABC 的体积的最大值为 1以上命题正确的是（ ）A B C D【分析】取 BC 的中点 H，连接 PH，AH ，由线面垂直的判断和性质，可判断 ；由线面垂直的性质，结合勾股定理和直角三角形的斜边最大，可判断；由三棱锥的体积公式和正弦函数的值域，可得体积最大值，可判断【解答】解：取 BC 的中点 H，连接 PH，AH ，可得AHBC，PH BC，AH PH H，可得 BC平面 PAH，即有 BCPA，故 正确；若存在点 P，使得 PA平面 PBC，可得 PABC，PAPB，但 ABPB2，这与直角三角形 PAB 中 A
22、B 为最大边矛盾，故错误；由可得三棱锥 PABC 的体积为 BCSPAH 2 sinPHA1，当 sinPHA 1，即PHA90，体积取得最大值 1，故正确故选：B【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题8 （5 分）已知向量 ， 满足| |1， （t，2t ） ， 与 垂直，则| |的最小值为（ ）A B1 C D2【分析】由平面向量的和与差的模的最值及二次函数的值域得：向量 ， 满足| |1，（t，2t） ， 与 垂直，得（ ） 0，即 1，又| |第 12 页（共 28 页） 1，得解【解答】解：由向量 ， 满足| |1， （t，
23、2t ） ， 与 垂直，得（ ） 0，即 1，又| | 1，故选：B【点评】本题考查了平面向量的和与差的模的最值及二次函数的值域，属中档题9 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f（x）的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A函数 f （x） 的最小正周期是 2B函数 f （x） 的图象关于点 成中心对称C函数 f （x） 在 单调递增D函数 f （x） 的图象向右平移 后关于原点成中心对称【分析】根据条件求出 c 的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性
24、质分别进行判断即可【解答】解：由圆的性质知，c ，则 （ ） ，即周期 T，则 ，得 2，故 A 错误，函数关于点（ ，0） ，对称，函数的对称中心为（ + ，0） ，则当 k2 时，对称中心为（ ，0） ，故 B 正确，第 13 页（共 28 页）函数的一条对称轴为 x ，函数的相邻最小值的对称轴 x + ，前一条对称轴为 x ，则函数的单调递增区间为 +k， +k，kZ，当 k0 时，函数的单调递增区间为 ， ，k Z，此时 f （x） 在单调递增错误，故 C 错误，f（x）的一条对称轴为 x ，函数 f （x） 的图象向右平移 ，此时函数关于 y 轴对称，故 D 错误，故选：
25、B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据圆的性质求出 c 的坐标，结合三角函数的性质是解决本题的关键10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x） ，其导函数为 f'（x） ，且 f（x）f（x+2） ，f '（x）f'（x ） ，若当 x（0，1）时，f '（x）0，则（ ）Af（ln ）f（ln3）0 Bf（2ln ）f（ln3）0Cf（ln ）+f（ln3）0 Df（2ln ）+f（ln 3）0【分析】由 f'（x ）f'（x） ，可得原函数为偶函数，由 f（x）f（x+2） ，可得函数f（x）的周期为 2当 x（0
26、，1）时，f '（x）0，此时函数单调递减，可得x（1，0）时，此时函数单调递增，进而判断出结论【解答】解：f（ln3）f（ln32）f（ln ）f（ln ） ，f（2ln ）f（ln +2）f（ln ） 1ln 0，f（ln ）f （ln 3） ，因此 A 错0ln ln 1，即 f（2ln ）f（ln 3） ，B 对又f（ln ） ，f（ln3） ，f（2 ln ） ，无法确定符号，C，D，不对综上可得：B 对故选：B第 14 页（共 28 页）【点评】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）已知正三棱
27、锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，其底面边长为3，E， F，G 分别为侧棱 AB，AC，AD 的中点若 O 在三棱锥 ABCD 内，且三棱锥ABCD 的体积是三棱锥 O BCD 体积的 3 倍，则平面 EFG 截球 O 所得截面的面积为（ ）A B C D4【分析】由题意画出图形，利用体积关系结合求解三角形可得球的半径 R，得到球心 O到截面 EFG 的距离，在利用勾股定理求 EFG 截球 O 所得截面的半径，则截面面积可求【解答】解：如图，平面 EFG 截球 O 所得截面的图形为圆面，在正三棱锥 ABCD 中，过 A 作底面的垂线 AH，垂足为 H，与平面 EFG 交
28、点记为 K，连接 OD，HD，依题意，V ABCD 3V OBCD ，AH3OH ，设球的半径为 R，在 RtOHD 中，ODR，HD ，OH ，由勾股定理解得，R2，由于平面 EFG平面 BCD，AH平面 EFG，球心 O 到平面 EFG 的距离为 KO，则 KO ，设平面 EFG 截球 O 所得截面的半径为 r，在 RtKON 中，有 ，截面圆的面积为 故选：C【点评】本题考查多面体的外接球，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题第 15 页（共 28 页）12 （5 分）已知函数 f（x ） ，若方程 f（x）ax 有四个不等的实数根，则实数
29、a 的取值范围是（ ）A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （ ，e ）【分析】由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：方程 f（x）ax 有四个不等的实数根等价于 yg（x ） 的图象与直线 ya 有 4 个交点，由利用导数研究函数的图象得：当 x0 时，易得 yg（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数， 当 x0 时，易得 yg（x）在（，1）为减函数，在（1，0）为增函数，再观察 yg（x ）的图象与直线 ya 的图象的位置关系可得解【解答】解：方程 f（x ）ax 有四个不等的实数根等价于 yg（x）的图象与直线 ya 有 4 个交点，当 x0
30、 时，g（x） ，易得 yg（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，当 x0 时，g（x）2x ，易得 yg（x）在（，1）为减函数，在（1，0）为增函数，综合得 yg（x）的图象与直线 ya 的图象的位置关系如图所示，则实数 a 的取值范围是 0a1，故选：B第 16 页（共 28 页）【点评】本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及利用导数研究函数的图象，属中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置13 （5 分） i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故答案为：i【点评】本题考查复数代数形
31、式的乘除运算，是基础题14 （5 分）某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理等 6 门选修课，甲同学需从中选修 3 门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有 16 （用数字填写答案）【分析】讨论化学和生物是否选，进行讨论计算即可【解答】解：若选化学，不选生物有 6 种，选生物不选化学，有 6 种，化学和生物都选，则有 4 种，则共有 6+6+416 种，故答案为：16【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用分类讨论思想是解决本题的关键比较基础15 （5 分）已知双曲线 C 的中心为 O，左、右顶点分别为 A1，A 2，左、右焦点 F1，F 2，第 17 页（共 28 页）过
32、 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点若 POQF 2，QA 1QA 2，则 C的离心率等于 【分析】由题意可得 Q 在渐近线 y x 上，又由 QA1QA 2，可得 Q 在圆 x2+y2a 2 上，求得 Q 的坐标，由平行线可得 P 为为 F1，Q 的中点，求得 P 的坐标，代入渐近线方程可得 ab，由离心率公式可得所求值【解答】解：如图，设 F1（c，0） ，F 2（c ，0） ，由题意可得 Q 在渐近线 y x 上，又由 QA1QA 2，可得 Q 在圆 x2+y2a 2 上，解得 Q（ ， ） ，POQF 2，可得 OP 为三角形 QF1F2
33、的中位线，即有 P 为 F1，Q 的中点，可得 P（ ， ） ，又 P 在渐近线 y x 上，可得 （ ） ，化为 ab，c a，e ，故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，注意运用中点坐标公式和平行的性质，考查推理和运算能力，属于基础题16 （5 分）在数列a n中，a 1+a253， （n1）a n+1na n+280（nN*） 若第 18 页（共 28 页）bna nan+1an+2（nN*） 则数列b n的前 n 项和取得最大值时 n 的值为 10 【分析】a 1+a253，由（n1）a n+1na n+280（n N*） n2 时， （n2）an（n1）a
34、 n1 +280，相减可得：a n+1+an1 2a n（ nN*） 利用等差数列的通项公式可得 an可得：n8 时，b n0，b 98，b 1010n11 时，b n0即可得出结论【解答】解：a 1+a253，由（n1）a n+1na n+280（ nN*） n2 时， （n2）a n（n1）a n1 +280，相减可得：a n+1+an1 2a n（ nN*） 令 n1，可得：a 128，a 225，a 322，也满足上式数列a n是等差数列，可得：a n283（n1）313na 94，a 101，a 112，a 125，a 138则 n8 时，b n0，b 941（2）8，b 101（2
35、）（5）10n11时，b n0b 9+b1020若 bna nan+1an+2（nN*） 则数列b n的前 n 项和取得最大值时 n 的值为 10故答案为：10【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+b5， （2a+b）cosC+ccosB0（1）若ABC 的面积为
36、 ，求 c；（2）若点 D 为线段 AB 的中点， ACD30，求 a，b【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得 2sinAcosC+sinA0，结合 sinA0，可得 cosC ，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC，利用三角形第 19 页（共 28 页）的面积公式可求 ab2，根据余弦定理即可解得 c 的值（2）由（1）可求 C120 ，进而可求BCD90，记ADC，ADBDm ，在直角BCD 中，amsin ，在ACD 中，由 ，可得：b2msin，解得，b2a，即可解得 a，b 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）（2a+b）cosC+ccos B
37、0，由正弦定理可得：（2sinA +sinB）cos C+sinCcosB0，可得：2sinAcosC+sin BcosC+sinCcosB0，即 2sinAcosC+sin（B +C）0，可得 2sinAcosC+sinA0，3 分又sinA0，可得：cosC ，cosC ，sinC ，S ABC absinC ，ab2，在ABC 中，c 2a 2+b22abcos C（a+ b） 2ab25 223，6 分c 7 分（2）cosC ，C120，又ACD30 ，BCD90，8 分记ADC， ADBDm，在直角BCD 中，am sin，9 分在ACD 中，由 ，可得：b2m sin，10 分b
38、2a，11 分又 a+b5，a ，b 12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，第 20 页（共 28 页）三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD， ABAD，ADBC ，AB1，AD2BC ， PD （1）求证：平面 PBD平面 PAC；（2）M 为棱 PB 上异于 B 的点，且 AMMC，求直线 AM 与平面 MCD 所成角的正弦值【分析】 （1）推导出 ACBD，PDAC，从而 AC平面 PBD，由此能证明平面PBD平面 PAC（2）过 A
39、 作 AEDP，以 A 为原点，AB，AD，AE 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AM 与平面 MCD 所成角的正弦值【解答】证明：（1）在 Rt ABC 与 RtABD 中， ， ， ，ABCDAB90，ABCDAB，ABDBCA，ABD+CBD90，BCA+ CBD90，ACBD，PD平面 ABCD，AC 平面 ABCD，PDAC，BDPD D ，AC平面 PBD，又 AC平面 PAC，平面 PBD平面 PAC解：（2）过 A 作 AEDP，PD平面 ABCD，AE 平面 ABCD，即 AE，AB，AD 两两垂直，以 A 为原点，AB ，AD，AE
40、所在的直线为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，第 21 页（共 28 页）AB1，AD 2BC ，PD ，A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C （1， ，0） ，D（0， ） ，P（0， ） ，（1，0，0） ， （1， ） ， （0， ，0） ，设 ，（0，1，则 （1， ， ） ，AMMC， （1） （ ）+ 0，由 （0，1 ，解得 ， （ ， ， ） ，M（ ， ， ） ，设 （x 0，y 0，z 0）为平面 MCD 的一个法向量，则 ，取 z ，得 （ ， ） ，设直线 AM 与平面 MCD 所成角为 ，sin ，直线 AM 与平面 MCD 所成角的正弦值为 【点评】本题
41、考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）2018 年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的第 22 页（共 28 页）一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加某读书 APP 抽样调查了非一线城市 M 和一线城市 N 各 100 名用户的日使用时长（单位：分钟） ，绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于 60 分钟的用户记为“活跃用户” （
42、1）请填写以下 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？活跃用户 不活跃用户 合计城市 M城市 N合计（2）以频率估计概率，从城市 M 中任选 2 名用户，从城市 N 中任选 1 名用户，设这 3名用户中活跃用户的人数为 ，求 的分布列和数学期望（3）该读书 APP 还统计了 2018 年 4 个季度的用户使用时长 y（单位：百万小时） ，发现 y 与季度（x）线性相关，得到回归直线为 ，已知这 4 个季度的用户平均使用时长为 12.3 百万小时，试以此回归方程估计 2019 年第一季度（x5）该读书 APP 用户使用时长约为多少百万小时附：K 2 ，其中
43、na+b+c+dP（K 2k 0） 0.025 0.010 0.005 0.001k0 5.024 6.635 7.879 10.828第 23 页（共 28 页）【分析】 （1）根据频率分布直方图计算活跃用户，填表，计算 K2 与 7.879 比较打出结论；（2）计算 的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；（3）根据平均数计算 a，得出回归方程，再令 x5 计算 得出结论【解答】解：（1）填写 22 列联表如下：活跃用户 不活跃用户 合计城市 M 60 40 100城市 N 80 20
44、;100合计 140 60 200K2 7.879，有 99.5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关（2） 的可能取值有 0，1，2，3从 M 城市中任选一名用户，该用户为活跃用户的概率为 ，从 N 城市中任选一名用户，该用户为活跃用户的概率为 ，P（0）（ ） 2 ，P（1）（ ） 2 +2 ，P（2）2 +（ ） 2 ，P（3）（ ） 2 ， 的分布列为： 0 1 2 3P E（）0 +1 +2 +3 2（3） 2.5， 12.3，a12.342.52.3，回归直线为 4x+2
45、.3，当 x5 时， 22.3第 24 页（共 28 页）故 2019 年第一季度（x5）该读书 APP 用户使用时长约为 22.3 百万小时【点评】本题考查了独立性检验思想，离散型变量的分布列，考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 A（c，0）B（c，0） （c 0） 点 M 在 E上，MB AB，MAB 的周长为 6，面积为（1）求 E 的方程；（2）过 A 的直线 l 与 E 交于 P，Q 两点，以 P，Q 为直径的圆与直线 MB 相切，求直线l 的方程【分析】 （1）设 E 的方程为： （ab0） 依题意 2a+2c6， 求得 a，
46、b 即可（2）依题意可得直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 xmy1利用韦达定理可得|PQ| |y1y 2|12（ ） 又 r |PQ|6（ ） 解得 m 即可【解答】解：（1）设 E 的方程为： （ab0） 依题意 2a+2c6，|MB | MAB 的面积为 22，c1，b 为所求（2）依题意可得直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 xmy1由 （4+3 m2）y 26my90， 第 25 页（共 28 页）|PQ| |y1y 2| 12（ ） 设以 P，Q 为直径的圆的圆心 N（x 0，y 0） ，半径为 rr |PQ|6（ ） y ，y 0mx 01 以 P，Q 为直径的圆与直线 MB 相切，|x 01| r即| |6 ，解得 m 直线 l 的方程为：x ，即 y 为所求【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线方程的