1、31.5 空间向量的数量积对 应 学 生 用 书 P59空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为 5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力 F1， F2，F 3 并且每两个力之间的夹角都是 60，( 其中 g10 N/kg)问题 1：向量 F1 和F 2 夹角为多少？提示：120.问题 2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？ 提示：设每个力大小为|F 0|，合力为|F |，则|F| 2( F1F 2F 3)(F1F 2F 3)(F 1F 2F 3)26| F0|2.|F| |F0|.6|F
2、0| 10 10 (N)5 00066 2 50063 25 000631空间两个向量的夹角：定义 图示 表示 范围已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点O，作 a， Bb，则 AOB 叫做向A量 a，b 的夹角a，b 0，2.如果a，b0，那么向量 a 与 b 同向；如果a，b，那么向量 a 与 b 反向；如果a，b ，那么向量 a 与 b 互相垂直，记作 ab.2向量的数量积两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 ab.即ab| a|b|cosa，b 零向量与任何向量的数量积为 0.两非零向量 a，b 的夹角a，b可以由
3、下面的公式求得 cosa，b .ab|a|b|abab0(a，b 是两个非零向量)|a |2 aaa 2.(2)运算律：abb a；(a)b (ab)( R)；a(bc)aba c.数量积的坐标运算在平面向量中，a(a 1，a 2)，b(b 1，b 2)，我们知道 aba 1a2b 1b2，那么在空间向量中，a( a1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)则 ab 为多少？提示：aba 1b1a 2b2a 3b3.设空间两个非零向量 a(x 1，y 1，z 1)，b( x2，y 2，z 2)，则(1)ab x1x2y 1y2z 1z2；(2)|a| ；x21 y21 z21(3)co
4、s a，b .x1x2 y1y2 z1z2x21 y21 z21 x2 y2 z2特别地，aba b0x 1x2y 1y2z 1z20.1数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零2数量积的运算不满足消去律和结合律，即 abb c 推不出 ac；(ab) ca(bc )3空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题对 应 学 生 用 书 P60求空间向量的数量积例 1 已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABAA 12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积：(1) BC E；(2) 1.思路点拨 法一：
5、基向量法：与 1D， F与 1AB的夹角不易求，可考虑用向量 AB、 D、 1表示向量BC、 E、 、 ，再求结论即可法二：坐标法：建系求相关点坐标向量坐标数量积精解详析 法一：( 基向量法)如图所示，设ABa， Db， 1Ac，则| a|c|2，|b|4，abb cc a0.(1) C 1E( 1 1D)b |b| 24 216.12(c a) b(2) BF 1A ( 1 F)( AB 1) (ac)(c a 12b)|c |2 |a|22 22 20.法二：(坐标法)以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D 1(0,4,2)
6、，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B 1(2,0,2)， BC(0,4,0)， 1E( 1,4,1)， F(2,2,2) ， 1A(2,0,2)，(1) 0(1) 440116；(2) 1 222 0220.一点通 解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可1.如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，点 E，F，G 分别为棱 A
7、B，AD ，DC的中点，试计算下列各式的值：(1) AB C； (2) D B；(3) GF ； (4) .解：在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，(1)| |1， A， C60 ， AB C| | |cos 6011 ；12 12(2)| D| |1， ， DB180 60120， | | |cos 12011 ；( 12) 12(3)|GF| ，| AC|1，12又 GFAC， ，180， | |cos 180 1(1) ；12 12(4)BC D，又 C， AD B， 120， A ( B) 11 11 0.( 12) ( 12)2已知 a(2,0，5)，b(3,2，1) ，求下列各
8、式的值：(1)aa； (2)|b|；(3)(3 a2b)(a b)解：(1)aaa 2(2) 20 2 (5) 229；(2)|b| ；b2 32 22 ( 1)2 14(3)法一：因为 3a2b3( 2,0，5)2(3,2，1) (0,4，17)，ab( 2,0，5)(3,2， 1) (5，2，4) ，所以(3a2b)(ab)(0,4，17)( 5，2，4) 0 (5)4(2) (17)(4)60；法二：因为 ab(2,0，5)(3,2 ，1) (2) 302( 5)(1)1，所以(3a2b)(ab)3a 2a b2b 2329(1) 21460.利用数量积解决夹角和距离问题例 2 如图所示
9、，在平行六面体 ABCDAB CD 中，AB 4，AD 3 ，AA5，BAD90 ，BAA DAA60.(1)求 AC的长；(2)求 AC与 的夹角的余弦值思路点拨 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示 的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用精解详析 (1) AC B D A，| |2( )2| B|2| D|2| |22( D A)4 23 25 22(0107.5)85.| AC| .85(2)法一：设 与的夹角为 ，ABCD 是矩形，| | 5.32 42由余弦定理可得cos .AC 2 AC2 CC 22AC AC 85 25 252 85
10、5 8510法二：设 Ba， Db， c，依题意得 (abc)( ab)a 22abb 2ac bc160945cos 6035cos 6016910 ，152 852cos .| | 852855 8510一点通 1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a| 2a a，即|a| 通过向量运算求 |a|.aa2对于空间向量 a、b，有 cosa，b .ab|a|b|利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0， ，而异面直线所成的角的取值范围为 ，故a，b 时，它们相等；(0，2 (0，2而当a，b 时，它们互补(2，)3如图，在直三
11、棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC90，AB BC1，AA 1 ，求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值2解： B 1 ， BA，且A C 1 0， 1 21.又| ，| A| ，2 1 2 3cos 1B， ，| | 16 66则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为 .664.如图，已知线段 AB平面 ，BC ，CD BC ，DF平面 ，且DCF30， D 与 A 在 的同侧，若 ABBCCD2，求 AD的模解： B C ，| |2 ( )( B C )| B|2| C|2|CD|2 2 AB 2 C D2 AB .ABBCCD2，| | | |2.又 AB，BC ，ABB
12、C. 0.CDBC， 0.把代入可得| AD|2 4442 ABCD122| B|C|cos， 128cos ， DCF30，CDF60.又 AB，DF，ABDF. AB， DC F， C60. ， 120.代入式得到128cos 1208，| AD|2 .2利用数量积解决平行和垂直问题例 3 已知空间三点 A(2,0,2)、B( 1,1,2)、C(3，0,4)设 a AB，b C.(1)设|c| 3，c C，求 c；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k.思路点拨 (1) 根据 c 与 共线，设 c ；根 据 模 列 出 关 系 式 求 (2) .写 出 ka b，ka 2b的 坐
13、 标 利 用 垂 直列 关 系 式 求 k精解详析 (1) BC(2 ，1,2) 且 c BC，设 c (2， ，2)|c | 3| 3.( 2)2 ( )2 (2)2解得 1.c( 2，1,2)或 c(2,1 ，2)(2)a AB(1,1,0) ，b AC( 1,0,2)，kab(k1，k, 2)，ka2b(k2，k，4)(ka b)(ka 2b)，(ka b)(ka2b)0.即(k1 ，k,2)(k 2，k，4)2k 2k100.解得 k2 或 k .52一点通 向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用5将本例中条件
14、“若向量 kab 与 ka2b 互相垂直”改为“若向量 kab 与 akb互相平行” ，其他条件不变，求 k 的值解：a(1,1,0)，b(1,0,2)，ka b (k1，k,2)，akb(1,1,0)(k,0,2k)(1k, 1,2k)，ka b 与 akb 平行，ka b (akb)，即(k1，k,2)(1k,1,2k)Error!Error!或Error!k 的值为1.6已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD ，求证：ADBC.证明：AB CD，ACBD， ABCD0， B 0， ( )( AC) 2 D 2 AB( C ) B 0. D ，从而 ADBC.7已知空间四边形 O
15、ABC 中，M，N，P，Q 分别为 BC，AC，OA，OB 的中点，若AB OC，求证：PM QN .证明： 如图，设 OAa， Bb， OCc，又 P、M 分别为OA、BC 的中点PM (bc) a12 12 (ba)c12同理， QN O (ac) b12 12 (ba) c12PM (ba)c 12 12(b a) c (|ba| 2 |c|2)14又 ABOC，即|ba| c|.PQN0， M ，PMQN.1若 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)，则 ab(b0) Error!但不等价于 .a1b1 a2b2 a3b32在处理两向量夹角为锐角或钝角时，一定要注意
16、两向量共线的情况对应课时跟踪训练( 二十二) 1已知 A(2， 5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1) ，则向量 AB与 C的夹角为_解析：(0,3,3)，( 1,1,0)，cos， ，3322 12AB， C60.答案：602已知|a| 2， |b|3， a， b60 ，则|2a3b|_.解析：ab23cos 603.|2 a3b| 4|a|2 12ab 9|b|2 .44 123 81 61答案： 613若 AB(4,6，1)， AC(4,3，2) ，|a|1，且 a AB，a C，则 a_.解析：设 a(x，y，z)，由题意有Error!代入坐标可解得：Error!或Error!答
17、案： 或(313， 413， 1213) ( 313， 413， 1213)4已知 a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1) ，pab，qa2bc，则pq_.解析：p(1,1,0)(0,1,1)(1,0，1) ，q(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1) (0,3,1)，pq1003(1)11.答案：15如图，120的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于 AB.若 AB4，AC6，BD 8，则 CD 的长为_解析：ACAB，BD AB， AC B0， D 0.又 二面角为 120， CA， B60 ，2| |2( )2 2 2 22(
18、D AB)164，|CD|2 .41答案：2 416已知 a(1,5，1)，b(2,3,5) (1)若(kab) ( a3b)，求 k 的值；(2)若(kab) ( a3b)，求 k 的值解：kab(k2,5k 3， k5) ，a3b(132,533， 135)(7，4，16)(1)(kab) (a 3b)， ，解得 k .k 27 5k 3 4 k 5 16 13(2)(kab) (a3b)，(k2)7(5k 3) (4)( k5)(16) 0.解得 k .10637已知 A(1,1,1)，B(2,2,2) ，C(3,2,4)，求ABC 的面积解：(1,1,1)，(2,1,3)，| | ，|
19、 | ， A6，3 14cosBACcos B， C| ，6314 427sin BAC ，1 cos2A17 77SABC | B| C|sin BAC12 .12 3 14 77 628在长方体 OABCO 1A1B1C1 中，| OA|2，| AB|3，| AA1|2，E 是 BC 的中点建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题(1)求直线 AO1 与 B1E 所成的角的余弦值；(2)作 O1DAC 于 D，求点 O1 到点 D 的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系(1)由题意得 A(2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E(1,3,0)， 1(2,0,2)， E(1,0，2)，cos 1， . 2210 1010故 AO1 与 B1E 所成的角的余弦值为 .1010(2)由题意得 OD AC， ，C(0,3,0)，设 D(x，y,0) ， 1(x，y，2)，(x2，y,0)， AC( 2,3,0)，Error!解得Error!D .(1813，1213，0)O1D| (1813)2 (1213)2 4 .1 144132 228613