1、2.4 抛_物_线24.1 抛物线的标准方程对 应 学 生 用 书 P30平面直角坐标系内,有以下点和直线 A(3,0),B(3,0) ,C(0,3),D(0 ,3);l1:x3,l 2:x 3,l 3:y3,l 4:y3.问题 1:到定点 A 和定直线 l1 距离相等的点的轨迹方程是什么?提示:y 212x. 问题 2:到定点 B 和定直线 l2 距离相等的点的轨迹方程是什么?提示:y 212x .问题 3:到定点 C 和定直线 l3 或到定点 D 和定直线 l4 距离相等的点的轨迹方程呢?提示:x 212y,x 212y.抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向y22p
2、x( p 0) (p2, 0)xp2 向右y22px( p 0) ( p2, 0)xp2 向左x22py(p0) (0, p2)yp2 向上x22py(p0) (0, p2)yp2 向下1平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹是抛物线定点 F 不在定直线 l 上,否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的垂线2抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点在坐标轴上对 应 学 生 用 书 P31由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例 1 已知抛物线的方程 y ax2(a0),求它的焦点坐标和准线方程思路点拨 由题意 yax 2,( a0),可化为 x2 y,再依据抛物线
3、的标准方程得焦点1a和准线方程精解详析 将抛物线方程化为标准方程x2 y(a0) ,显然抛物线焦点在 y 轴上,1a(1)当 a0 时,p ,12a焦点坐标 F ,(0, 14a)准线方程 y .14a(2)当 a0),其准线方程为 x ,则p2 3,p6.p2抛物线标准方程为 y212x.(2)设抛物线标准方程为 y22px(p0)焦点坐标为 , ,p5.(p2, 0) p2 52抛物线标准方程为 y210x.一点通 待定系数法求抛物线标准方程的步骤:(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式;( 定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向;( 定位)(3)利用题中所给数据确定 p.(
4、定量)3以双曲线 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为x216 y29_解析:双曲线 1 的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0) ,所以抛物线的x216 y29标准方程为 y2 16x.答案:y 216x4根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)经过点(3, 1);(2)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点解:(1)点(3,1)在第三象限, 设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或x22py( p0)若抛物线的标准方程为 y22px(p0),则由(1) 22p( 3),解得 p ;16若抛物线的标准方程为 x22py(p0),则由(3) 22p( 1),解得 p .
5、92所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x29y.13(2)对于直线方程 3x4y120,令 x0,得 y3;令 y0,得 x4,抛物线的焦点为(0 ,3)或(4,0)当焦点为(0,3)时, 3, p6,此时抛物线的标准方程为 x212y ;p2当焦点为(4,0)时, 4, p8,此时抛物线的标准方程为 y216x.p2所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x.抛物线方程的应用例 3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为 60 cm,灯深 40 cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置思路点拨 建立直角坐标系,设出标准方程为 y22px (p
6、0),然后根据条件,找出点的坐标,求出 p.精解详析 如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点 )与原点重合,x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p0)由已知条件可知点 A(40,30),代入方程,得 p .454所求抛物线的标准方程是 y2 x,焦点坐标是 .452 (458, 0)一点通 将实际问题转化为数学问题,需要建立适当的直角坐标系,再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里,直角坐标系的建立非常重要,同学们要认真观察实物的形状,根据实物形状“适当”建立5若抛物线 y22px (p0)上有一点 M,其横坐标为 9,它到焦点的距离为
7、10,求点M 的坐标解:由抛物线定义,抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等,及抛物线方程 y22px( p0),可知其准线为 x ,即 910,则 p2,所以抛物线为 y24x,当p2 p2x9 时,y 236,得 y6 ,所以点 M 的坐标为(9,6)或(9 ,6) 6已知动圆 M 与直线 y2 相切,且与定圆 C:x 2(y3) 21 外切,求动圆圆心 M的轨迹方程解:设动圆圆心为 M(x,y ),半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,3) 的距离与到直线y3 的距离相等由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,3)为焦点,以 y3为准线的一条抛物线,其方程为 x212y
8、.7一辆卡车高 3 m,宽 1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍,若拱口宽为 a m,求使卡车通过的 a 的最小整数值解:以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则点 B 的坐标为 ,如图所示(a2, a4)设隧道所在抛物线方程为 x2my,则 2m ,(a2) ( a4)ma.即抛物线方程为 x2ay .将(0.8,y) 代入抛物线方程,得 0.82ay ,即 y .0.82a欲使卡车通过隧道,应有 y 3,( a4)即 3.a4 0.82aa0,a12.21.a 应取 13.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数 p,但由于标准方
9、程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22mx (m0),焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22my(m0)对应课时跟踪训练( 十二) 1抛物线 x28y 的焦点坐标是_解析:由抛物线方程 x28y 知,抛物线焦点在 y 轴上,由 2p8,得 2,所以焦点p2坐标为(0,2)答案:(0,2)2已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,其上的点 P(3,m )到焦点的距离为5,则抛物线方程为_解析:因为抛物线顶点在原点、焦点在 x 轴上,且过 p( 3,m ),可设抛物线
10、方程为y22px( p0),由抛物线的定义可知,3 5.p4.p2抛物线方程为 y28x.答案:y 28x3若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合,则 p 的值为_x26 y22解析:椭圆 1 的右焦点为(2,0),由 2,得 p4.x26 y22 p2答案:44抛物线 x2ay 的准线方程是 y2,则实数 a 的值是 _解析:由条件知,a0,且 2,a8.a4答案:85双曲线 1(mn0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合,x2m y2n则 mn 的值为_解析:y 24x 的焦点为(1,0),则 c1, 2,caa ,即 ma 2 ,nc 2a 2 ,12
11、 14 34mn .14 34 316答案:3166根据下列条件,分别求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y 2144 的左顶点;(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y3 与抛物线交于点 A,AF5.解:(1)双曲线方程化为 1,左顶点为(3,0) ,由题意设抛物线方程为x29 y216y22px( p0),且 3, p6, 方程为 y212x. p2(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0),A(m ,3),由抛物线定义,得 5AF .|m p2|又(3) 22pm ,p1 或 p9,故所求抛物线方程为 y22 x 或 y218x.7设抛物
12、线 y2mx(m0)的准线与直线 x1 的距离为 3,求抛物线的方程解:当 m0 时,由 2pm,得 ,这时抛物线的准线方程是 x .p2 m4 m4抛物线的准线与直线 x1 的距离为 3,1 3,解得 m8,( m4)这时抛物线的方程是 y28x .当 m0 时, 13,解得 m16.( m4)这时抛物线的方程是 y216x.综上,所求抛物线方程为 y28x 或 y216x.8一个抛物线型的拱桥,当水面离拱顶 2 m 时,水宽 4 m,若水面下降 1 m,求水的宽度解:如图建立直角坐标系设抛物线的方程为 x22py,水面离拱顶 2 m 时,水面宽 4 m,点 (2,2) 在抛物线上,4 4p, p1.x 22y,水面下降 1 m,即 y3,而 y3 时,x ,6水面宽为 2 m.6即若水面下降 1 m,水面的宽度为 2 m.6