1、_2.6 曲线与方程26.1 曲线与方程对 应 学 生 用 书 P38在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中问题 1：直线 yx 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？提示：相等问题 2：到两坐标轴距离相等的点都在直线 yx 上，对吗？提示：不对 问题 3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：yx.曲线的方程和方程的曲线如果曲线 C 上的点的坐标(x，y)都是方程 f(x，y )0 的解，且以方程 f(x，y) 0 的解(x，y)为坐标的点 都在曲线 C 上，那么，方程 f(x，y )0 叫做曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x，y) 0 的曲线正确理解曲线与方
2、程的概念(1)定义中的条件(1) 阐明了曲线具有纯粹性( 或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性 (或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形对 应 学 生 用 书 P39曲线与方程的概念例 1 如果曲线 C 上的点满足方程 F(x，y) 0，有以下说法：曲线 C 的方程是 F(x，y )0；方程 F(x，y)0 的曲线是 C；坐标满足方程 F(x，y) 0 的点在曲线 C 上；坐标不满足方程 F(
3、x，y) 0 的点不在曲线 C 上其中正确的是_(填序号 )思路点拨 根据曲线与方程的概念进行判断精解详析 依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性答案 一点通 判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多 ”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“ 解不比点多” ，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程1判断下列结论的正误，并说明理由(1)过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3；(2)到
4、y 轴距离为 2 的点的直线方程为 x2.解：(1)正确理由如下：满足曲线方程的定义结论正确(2)错误理由如下：到 y 轴距离为 2 的点的直线方程还有一个，结论错误2. 下列方程表示如图所示的直线 c，对吗？为什么？(1) 0；x y(2)x2y 20；(3)|x|y0.解：第(1)题中，曲线 C 上的点不全都是方程 0 的解，如点( 1，1)等，即x y不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线 C 上的坐标都是方程的解” ，但以方程 x2y 20 的解为坐标的点不全在曲线 C 上，如点(2，2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)
5、题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解” ， “以方程的解为坐标的点都在曲线上” 事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：点与曲线的位置关系例 2 方程(x4y 12)( 3)log 2(x2y)0 的曲线经过点 A(0，3)、B (0,4)、C、D(8,0)中的_ 个(53， 74)思路点拨 方程表示两条直线 x4y 120 和 x2y80，但应注意对数的真数大于 0，即 x 2y0.精解详析 由对数的真数大于 0，得 x2y 0，A(0，3) 、 C( ， )不符合要求；53 74将 B(0,4)代入方程检验，符合要求；将 D(8,0)代入
6、方程检验，符合要求答案 2一点通 点与实数解建立了如下关系：C 上的点( x0，y 0) f(x，y) 0 的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可3已知直线 l：x y30，曲线 C：(x1) 2( y3) 24，若 P(1，1) ，则点 P 与l、C 的关系是_解析：由 1130，P 不在 l 上，即 Pl；又(11) 2(13) 24，点 P 在曲线 C 上，即 PC.答案：P l，P C4证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x2y 225，并判断点 M1(3，4)、M2( 2 ，2) 是否在这个圆上5解：(1)设 M(x0
7、，y 0)是圆上任意一点，因为点 M 到原点的距离等于 5，所以5，也就是 x y 25，即( x0，y 0)是方程 x2y 225 的解x20 y20 20 20(2)设(x 0，y 0)是方程 x2y 225 的解，那么 x y 25，两边开方取算术平方根，得20 205，即点 M(x0，y 0)到原点的距离等于 5，点 M(x0，y 0)是这个圆上的点x20 y20由(1)、(2)可知，x 2y 225 是圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程把点 M1(3，4) 的坐标代入方程 x2y 225，左右两边相等，(3，4) 是方程的解，所以点 M1 在这个圆上；把点 M2(2 ，2)的坐
8、标代入方程 x2y 225，左右两边不等，5(2 ，2) 不是方程的解，所以点 M2 不在这个圆上5坐标法在求曲线的方程中的应用例 3 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程( 精确到 1 m)思路点拨 按照对称建系，把中心放在坐标原点上，焦点放在坐标轴上，然后用待定系数法求解精解详析 如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使小圆的直径 AA在 x 轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径 CC ，BB 都平行于 x 轴，且 CC
9、132， BB252.设双曲线的方程为 1(a0，b0) ，易知 a12，令点 C 的坐标为(13 ，y)，x2a2 y2b2则点 B 的坐标为(25，y55)因为点 B，C 在双曲线上，所以Error!由方程，得 y (负值舍去) ，代入方程，得5b12 1，252122 (5b12 55)2b2化简得 19b2275b18 1500.用计算器解方程，得 b25.所以，所求双曲线的方程为 1.x2144 y2625一点通 对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题，求解的关键是建立适当的平面直角坐标系，利用待定系数法求解采用此法要善于联系平面图形的性质，建立恰当的直角坐标系5.一种卫星接收
10、天线的轴截面如图，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为 4.8 m，深度为 0.5 m试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程解： 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点( 即抛物线的顶点)与原点重合设抛物线的标准方程是y22px(p0) 由已知条件可得，点 A 的坐标是(0.5，2.4) ，代入方程，得2.422p0.5，即 p5.76.所以，所求抛物线的标准方程是 y211.52x.1理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二
11、者缺一不可2点 P(x0，y 0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件是 f(x0，y 0)0.对应课时跟踪训练( 十五) 1曲线 C 的方程为 yx(1x 5) ，则下列四点中在曲线 C 上的序号是_(0,0)； ；(1,5) ；(4,4) (15， 15)解析：yx(1x5)，(4,4)在曲线 C 上答案：2若 P(2， 3)在曲线 x2ay 21 上，则 a 的值为_解析：P(2 ，3)在曲线 x2ay 21 上，4 9a1，解得 a .13答案：133以下各组方程表示的曲线相同的是_( 填序号) x 2y 2 与 y |x| y 与 y10 lg xx2xy1 与 y 1 与 1|x|
12、x2 xy yx解析：、中方程表示的曲线不相同答案：4方程(xy1) 0 所表示的曲线是_x 1解析：由题意，得Error!或 x1，故方程表示的是一条射线与一条直线答案：一条射线与一条直线5若点 M(m， m)在曲线 xy 20 上，则 m 的值为_解析：点 M 在曲线 xy 2 0 上，m m20，解得 m0 或 m1.答案：0 或 16下列命题是否正确？若不正确，说明原因(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程是| x|2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 yx.解：(1)错误，因为以方程| x|2 的解为坐标的点，不都在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|2
13、所表示的图形的一部分(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 yx 和 yx，故命题错误7已知方程 x2( y1) 210.(1)判断 P(1，2)，Q( ，3)两点是否在此方程表示的曲线上；2(2)若点 M( ，m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值m2解：(1)因为 12(21) 210，而( )2(3 1) 210.所以点 P(1，2) 在方程表示的2曲线上，点 Q( ，3)不在方程表示的曲线上2(2)因为点 M 在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上，所以 2(m 1)(m2， m) (m2)210，解得 m2 或 m .1858. 如图，直线 l1 和 l2 相交
14、于点 M，l 1l 2，点 Nl 1，以 A、B 为端点的曲线 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，AM ，AN3，且 BN6，建立适当的坐标系，求曲17线 C 的方 程解：如图，以 l1 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，点 O 为坐标原点依题意可设曲线 C 的方程为 y22px(p0)，则pMN.由题意知 x1xx 2，y0，其中 x1、x 2 分别为 A、B 的横坐标M 、N ，( p2，0) (p2，0)AM ，AN3，17Error!解得Error!或Error!AMN 为锐角三角形， x1，故舍去Error!p2Error!由点 B 在曲线 C 上，得 x2BN 4.p2综上得，曲线 C 的方程为 y28x(1 x 4，y0)