1、22 椭_圆22.1 椭圆的标准方程对 应 学 生 用 书 P20在平面直角坐标系中，已知 A(2,0) ，B(2,0)，C (0,2)，D(0 ，2)问题 1：若动点 P 满足 PAPB6，设 P 的坐标为( x，y)，则 x，y 满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得 6，(x 2)2 y2 (x 2)2 y2化简得 1.x29 y25问题 2：若动点 P 满足 PCPD 6，设 P 的坐标为(x，y)，则 x、y 满足什么关系？提示：由两点间距离公式得 6， x2 (y 2)2 x2 (y 2)2化简得 1.y29 x25椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1
2、(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2焦点坐标 (c,0) (0， c)a、b、c 的关系c2a 2b 21标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件a，b，c 三者之间 a 最大，b，c 大小不确定，且满足 a2b 2c 2.2两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为 1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值当椭圆焦点在 x 轴上时，含 x 项的分母大；当椭圆焦点在 y 轴上时，含 y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意 ab0 这个条件对 应 学 生 用 书 P20待定系数法求椭圆标准方程例 1 求适合下列条件的
3、椭圆的标准方程：(1)经过两点(2 ， )， ；2 ( 1， 142)(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同的焦点3 5y225 x29思路点拨 (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况进行讨论也可利用椭圆的一般方程 Ax2By 21( 其中 A0，B0，A B)，直接求A，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点( ， )代入，即可求出 a，b，则标准方3 5程易得精解详析 (1)法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(a b0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24若焦点在
4、 y 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!即 a24，b 28，则 a2b0 矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二：设椭圆的一般方程为 Ax2By 21( A0，B0，A B)将两点(2， )，2代入，( 1， 142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24(2)因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同，y225 x29所以其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2因为 c216，且 c2a 2b 2，故 a2b 216.又点( ，
5、)在椭圆上，所以 1，3 5( 5)2a2 (r(3) 2b2即 1.5a2 3b2由得 b24，a 220，所以所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24一点通 求椭圆标准方程的一般步骤为：1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为( 4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点 P ，Q .(13， 13) (0， 12)解：(1)由已知得：c4，a5.b2a 2c 225169.故所求椭圆方程为 1.x225 y29(2)设椭圆方程为 Ax2By 2 1.(A0，B0，AB)由已知得，Error!解得：Error!故所求椭圆方程为 1.y214x2152
6、求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1) ；(2)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于 2.解：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以可设它的标准方程为 1(a b0)x2a2 y2b2椭圆经过点(2,0)和(0,1)，Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2P(0， 10)在椭圆上， a10.又 P 到它较近的一个焦点的距离等于 2， c(10)2，故 c8，b2 a2c 236 ，所求椭
7、圆的标准方程是 1.y2100 x236椭圆标准方程的讨论例 2 已知方程 x2sin y 2cos 1(0 2) 表示椭圆(1)若椭圆的焦点在 x 轴上，求 的取值范围(2)若椭圆的焦点在 y 轴上，求 的取值范围思路点拨 (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程(2)对于椭圆方程 1( m0，n0，mn)可由 m，n 的大小确定椭圆焦点的位置，x2m y2n列出三角不等式后求 的范围精解详析 将椭圆方程 x2sin y 2cos 1(0 2) 化为标准形式为 1(02)x21sin y21 cos (1)若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 0，即Error!1sin 1cos
8、 所以 0，即Error!1cos 1sin 所以 3 或60，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的对应课时跟踪训练(八) 1若椭圆 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为x225 y29_解析：由椭圆定义知，a5，P 到两个焦点的距离之和为 2a10，因此，到另一个焦点的距离为 5.答案：52椭圆 25x216y 21 的焦点坐标是_解析：椭圆的标准方程为 1，故焦点在 y 轴上，其中 a2 ，b 2 ，所以x2125y2116 116 125c2a 2b 2 ，故 c .所以该椭圆的焦点坐标为 .116 125 9400 320 (0，320
9、)答案： (0， 320)3已知方程(k 21)x 23y 21 是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是_解析：方程(k 21)x 23y 21 可化为 1.x21k2 1y213由椭圆焦点在 y 轴上，得Error!解之得 k2 或 kb0)y2a2 x2b22a26,2c10 ，a13，c5.b2 a2c 2144.所求椭圆的标准方程为 1.y2169 x2144(2)法一：由 9x25y 245，得 1，c 2954，y29 x25所以其焦点坐标为 F1(0,2)，F 2(0，2) 设所求椭圆的标准方程为 1(ab0) y2a2 x2b2由点 M(2， )在椭圆上，所以 MF1M
10、F 22a，6即 2a 4 ，(2 0)2 (r(6) 2)2 (2 0)2 (r(6) 2)2 3所以 a2 ，3又 c2，所以 b2a 2c 28，所以所求椭圆的标准方程为 1.y212 x28法二：由法一知，椭圆 9x25y 245 的焦点坐标为 F1(0,2)，F 2(0，2)，则设所求椭圆方程为 1( 0)，y2 4 x2将 M(2， )代入，得 1( 0)，66 4 4解得 8 或 2(舍去) 所以所求椭圆的标准方程为 1.y212 x287如图，设点 P 是圆 x2y 225 上的动点，点 D 是点 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD上一点，且 MD PD，当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程45解：设 M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P，y P)，由已知易得Error!P 在圆上，x 2( y)225.54即轨迹 C 的方程为 1.x225 y2168已知动圆 M 过定点 A(3,0)，并且内切于定圆 B：(x3) 2y 264，求动圆圆心 M的轨迹方程解：设动圆 M 的半径为 r，则|MA |r ，| MB|8r，|MA| |MB|8，且 8|AB|6，动点 M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是 A(3,0) ，B(3,0)，且 2a8，a 4，c3，b2 a2c 216 97.所求动圆圆心 M 的轨迹方程是 1.x216 y27