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2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.2.1 椭圆的标准方程(含解析)

1、22 椭_圆22.1 椭圆的标准方程对 应 学 生 用 书 P20在平面直角坐标系中,已知 A(2,0) ,B(2,0),C (0,2),D(0 ,2)问题 1:若动点 P 满足 PAPB6,设 P 的坐标为( x,y),则 x,y 满足的关系式是什么?提示:由两点间距离公式得 6,(x 2)2 y2 (x 2)2 y2化简得 1.x29 y25问题 2:若动点 P 满足 PCPD 6,设 P 的坐标为(x,y),则 x、y 满足什么关系?提示:由两点间距离公式得 6, x2 (y 2)2 x2 (y 2)2化简得 1.y29 x25椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1

2、(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2焦点坐标 (c,0) (0, c)a、b、c 的关系c2a 2b 21标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件a,b,c 三者之间 a 最大,b,c 大小不确定,且满足 a2b 2c 2.2两种形式的标准方程具有共同的特征:方程右边为 1,左边是两个非负分式的和,并且分母为不相等的正值当椭圆焦点在 x 轴上时,含 x 项的分母大;当椭圆焦点在 y 轴上时,含 y 项的分母大,已知椭圆的方程解题时,应特别注意 ab0 这个条件对 应 学 生 用 书 P20待定系数法求椭圆标准方程例 1 求适合下列条件的

3、椭圆的标准方程:(1)经过两点(2 , ), ;2 ( 1, 142)(2)过点( , ),且与椭圆 1 有相同的焦点3 5y225 x29思路点拨 (1)由于椭圆焦点的位置不确定,故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况进行讨论也可利用椭圆的一般方程 Ax2By 21( 其中 A0,B0,A B),直接求A,B .(2)求出焦点,然后设出相应方程,将点( , )代入,即可求出 a,b,则标准方3 5程易得精解详析 (1)法一:若焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为 1(a b0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24若焦点在

4、 y 轴上,设椭圆的标准方程为 1(ab0)y2a2 x2b2由已知条件得Error!解得Error!即 a24,b 28,则 a2b0 矛盾,舍去综上,所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24法二:设椭圆的一般方程为 Ax2By 21( A0,B0,A B)将两点(2, ),2代入,( 1, 142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24(2)因为所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同,y225 x29所以其焦点在 y 轴上,且 c225916.设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2因为 c216,且 c2a 2b 2,故 a2b 216.又点( ,

5、)在椭圆上,所以 1,3 5( 5)2a2 (r(3) 2b2即 1.5a2 3b2由得 b24,a 220,所以所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24一点通 求椭圆标准方程的一般步骤为:1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为( 4,0),(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)经过两点 P ,Q .(13, 13) (0, 12)解:(1)由已知得:c4,a5.b2a 2c 225169.故所求椭圆方程为 1.x225 y29(2)设椭圆方程为 Ax2By 2 1.(A0,B0,AB)由已知得,Error!解得:Error!故所求椭圆方程为 1.y214x2152

6、求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1) ;(2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,10),P 到它较近的一个焦点的距离等于 2.解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以可设它的标准方程为 1(a b0)x2a2 y2b2椭圆经过点(2,0)和(0,1),Error!Error!故所求椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2P(0, 10)在椭圆上, a10.又 P 到它较近的一个焦点的距离等于 2, c(10)2,故 c8,b2 a2c 236 ,所求椭

7、圆的标准方程是 1.y2100 x236椭圆标准方程的讨论例 2 已知方程 x2sin y 2cos 1(0 2) 表示椭圆(1)若椭圆的焦点在 x 轴上,求 的取值范围(2)若椭圆的焦点在 y 轴上,求 的取值范围思路点拨 (1)已知的方程不是椭圆的标准形式,应先化成标准方程(2)对于椭圆方程 1( m0,n0,mn)可由 m,n 的大小确定椭圆焦点的位置,x2m y2n列出三角不等式后求 的范围精解详析 将椭圆方程 x2sin y 2cos 1(0 2) 化为标准形式为 1(02)x21sin y21 cos (1)若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 0,即Error!1sin 1cos

8、 所以 0,即Error!1cos 1sin 所以 3 或60,B0,AB)求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的对应课时跟踪训练(八) 1若椭圆 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为x225 y29_解析:由椭圆定义知,a5,P 到两个焦点的距离之和为 2a10,因此,到另一个焦点的距离为 5.答案:52椭圆 25x216y 21 的焦点坐标是_解析:椭圆的标准方程为 1,故焦点在 y 轴上,其中 a2 ,b 2 ,所以x2125y2116 116 125c2a 2b 2 ,故 c .所以该椭圆的焦点坐标为 .116 125 9400 320 (0,320

9、)答案: (0, 320)3已知方程(k 21)x 23y 21 是焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是_解析:方程(k 21)x 23y 21 可化为 1.x21k2 1y213由椭圆焦点在 y 轴上,得Error!解之得 k2 或 kb0)y2a2 x2b22a26,2c10 ,a13,c5.b2 a2c 2144.所求椭圆的标准方程为 1.y2169 x2144(2)法一:由 9x25y 245,得 1,c 2954,y29 x25所以其焦点坐标为 F1(0,2),F 2(0,2) 设所求椭圆的标准方程为 1(ab0) y2a2 x2b2由点 M(2, )在椭圆上,所以 MF1M

10、F 22a,6即 2a 4 ,(2 0)2 (r(6) 2)2 (2 0)2 (r(6) 2)2 3所以 a2 ,3又 c2,所以 b2a 2c 28,所以所求椭圆的标准方程为 1.y212 x28法二:由法一知,椭圆 9x25y 245 的焦点坐标为 F1(0,2),F 2(0,2),则设所求椭圆方程为 1( 0),y2 4 x2将 M(2, )代入,得 1( 0),66 4 4解得 8 或 2(舍去) 所以所求椭圆的标准方程为 1.y212 x287如图,设点 P 是圆 x2y 225 上的动点,点 D 是点 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD上一点,且 MD PD,当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程45解:设 M 点的坐标为(x ,y ),P 点的坐标为(x P,y P),由已知易得Error!P 在圆上,x 2( y)225.54即轨迹 C 的方程为 1.x225 y2168已知动圆 M 过定点 A(3,0),并且内切于定圆 B:(x3) 2y 264,求动圆圆心 M的轨迹方程解:设动圆 M 的半径为 r,则|MA |r ,| MB|8r,|MA| |MB|8,且 8|AB|6,动点 M 的轨迹是椭圆,且焦点分别是 A(3,0) ,B(3,0),且 2a8,a 4,c3,b2 a2c 216 97.所求动圆圆心 M 的轨迹方程是 1.x216 y27