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2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.2.2 椭圆的几何性质(含解析)

1、22.2 椭圆的几何性质对 应 学 生 用 书 P22建立了椭圆的标准方程后,我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质以方程 1(ab0)为例,试着完成下列问题:x2a2 y2b2问题 1:方程中对 x,y 有限制的范围吗?提示:由 1 0,得axa.y2b2 x2a2同理byb.问题 2:在方程中,用x 代 x,y 代 y,方程的形式是否发生了变化?提示:不变问题 3:方程与坐标轴的交点坐标是什么?提示:令 x0,得 yb; 令 y0,得 xa;与 x 轴的交点为( a,0),(a,0),与 y 轴的交点为(0 ,b),(0,b)椭圆的几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标

2、准方程 1(ab0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2范围 a xa,byb a ya,bxb顶点 (a,0), (0,b) (0,a),(b,0)轴长 短轴长2b,长轴长2a焦点 (c,0) (0, c)焦距 F1F22c对称性 对称轴 x 轴,y 轴,对称中心(0,0)离心率 e (0,1)ca1椭圆的对称性椭圆的图像关于 x 轴成轴对称,关于 y 轴成轴对称,关于原点成中心对称2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)04 时,由 c2a 2 b2m 4,得 .解得 m .m 4m 13 92当 mb0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知 a2b,且椭圆过点(2

3、,6),从而有 1 或 1.22a2 ( 6)2b2 ( 6)2a2 22b2由得 a2148,b 237 或 a252,b 213.故所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x2148 y237 y252 x213一点通 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在的坐标轴,则应进行讨论一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点所在的坐标轴;而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时,则不能确定焦点所在的坐标轴3已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的32两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为

4、_解析:由题意得 2a12, ,所以 a6,c 3 ,b3.ca 32 3故椭圆方程为 1.x236 y29答案: 1x236 y294求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2);(2)离心率为 ,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26.513解:(1)由焦距是 4 可得 c2,且焦点坐标为(0,2) ,(0,2)由椭圆的定义知,2a 8,32 (2 2)2 32 (2 2)2所以 a4,所以 b2a 2c 216412.又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 1.y216 x212(2)由题意知,2a26,即 a13,又 e ,所以 c5,c

5、a 513所以 b2a 2c 213 25 2144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 1 或 1.x2169 y2144 y2169 x2144与椭圆离心率有关的问题例 3 已知椭圆 M: 1( ab0)的左,右焦点分别为 F1,F 2.P 是椭圆 M 上的x2a2 y2b2任一点,且 PF1PF2 的最大值的取值范围为 ,其中 c2a 2b 2,求椭圆的离心率12c2, 3c2的取值范围思路点拨 由 P 是椭圆上一点,知 PF1PF 22a,进而设法求出 PF1PF2的最大值,再由已知的范围求出离心率 e 的范围精解详析 P 是椭圆上一点,PF 1PF 22a,2aPF 1

6、PF 22 ,PF1PF2即 PF1PF2a 2,当且仅当 PF1PF 2 时取等号 c2a 23c 2, 2,12 13 c2a2 e 22, e .13 33 20b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,P 为椭圆 M 上任一点,x2a2 y2b2且 PF的最大值的取值范围是 c2,3c2,其中 c ,则椭圆 M 的离心率 e 的取1 a2 b2值范围是_解析:设 P(x,y) 、F 1(c, 0)、F 2(c,0),则 1PF(cx,y ), 2PF(cx,y), 2x 2y 2c 2,又 x2y 2 可看作 P(x,y )到原点的距离的平方,所以(x 2y 2)maxa 2,( 1 2

7、)maxb 2,所以 c2b 2a 2c 23c 2,即 e 2 ,14 12所以 e .12 22答案: 12, 22与椭圆相关的应用问题例 4 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为 R,若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是 R、 R,求此宇宙飞船运行的轨道方程115 13思路点拨 根据条件建立坐标系,设出椭圆方程,构造方程,求得宇宙飞船运行的轨道方程精解详析 如图所示,以运行轨道的中心为原点,其与地心的连线为x 轴建立坐标系,且令地心 F2 为椭圆的右焦点,则轨道方程为焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程,不妨设为 1(a b0),则地心 F2 的坐标为( c,0),

8、x2a2 y2b2其中 a2b 2c 2,则Error!解得Error!b 2a 2c 2 2 2 R2.(65R) (215R) 6445此宇宙飞船运行的轨道方程为 1.x23625R2y26445R2一点通 解决此类问题,首先要根据条件建立平面直角坐标系,将实际问题转化为有关椭圆的问题,再将条件转化为 a,b,c 的关系,进而求出椭圆方程,解决其它问题注意:(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制; (2)最后要将数学模型还原回实际问题作答7某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动,卫星顺利进入周期为 3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点 )卫星远月点(距离月球表面最

9、远的点)高度降至 1 700 km,近月点( 距离月球表面最近的点)高度是200 km,月球的半径约是 1 800 km,且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上,此时小椭圆轨道的离心率是_解析:可设小椭圆的长轴长为 2a,焦距为 2c,由已知得2a1 70021 800200,a 2 750.又 a2c1 7001 800,c375.e .ca 3752 750 322答案:3228已知某荒漠上 F1、F 2 两点相距 2 km,现准备在荒漠上开垦出一片以 F1、F 2 为一条对角线的平行四边形区域,建农艺园按照规划,平行四边形区域边界总长为 8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方

10、程;(2)问农艺园的最大面积能达到多少?解:(1)以 F1F2 所在直线为 x 轴,F 1F2 的中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 F1(1,0) ,F 2(1,0)设平行四边形的另两个顶点为 P(x,y) ,Q(x,y),则由已知得 PF1PF 24.由椭圆定义知点 P 在以 F1、F 2 为焦点,以 4 为长轴长的椭圆上,此时 a2,c1,则 b .3P 点的轨迹方程为 1(y0),x24 y23同理 Q 点轨迹方程同上(2)SPF1QF2F 1F2|yP|2c b2 (km2),3所以当 P 为椭圆短轴端点时,农艺园的面积最大为 2 km2.31椭圆的顶点、焦点、中心坐标

11、等几何性质与坐标有关,它们反映了椭圆在平面内的位置2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关,它们反映了椭圆的形状3讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型,不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论对应课时跟踪训练(九) 1(新课标全国卷改编)设椭圆 C: 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1,F 2,P 是 C 上的点,PF 2F 1F2,PF 1F230 ,则 C 的离心率为_解析:法一:由题意可设|PF 2|m ,结合条件可知| PF1|2m,|F 1F2| m,故离心率3e .ca 2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 3m2m m

12、 33法二:由 PF2F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 xc 代入椭圆方程可解得 y ,所b2a以|PF 2| .又由 PF1F230可得|F 1F2| |PF2|,故 2c ,变形可得 (a2c 2)b2a 3 3b2a 32ac,等式两边同除以 a2,得 (1e 2)2e,解得 e 或 e (舍去)333 3答案:332(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C12的方程是_解析:依题意,设椭圆方程为 1(ab0) ,所以 Error!解得 a24,b 23.x2a2 y2b2答案: 1x24 y233曲线 1 与曲线 1( kb0)的

13、离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA,MB 分别x2a2 y2b2 63交椭圆于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k 2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1k2 的值为_解析:设点 M(x,y ),A(x 1,y 1),B(x 1,y 1),则 y2b 2 ,y b 2 .b2x2a2 21 b2x21a2所以 k1k2 1y y1x x1y y1x x1 y2 y21x2 x21 b2a2 c2a2e 21 ,13即 k1k2 的值为 .13答案:135设 F1,F 2 是椭圆 E: 1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x 上一点,x2a2 y2b2 3a2F 2PF1 是底角为

14、 30的等腰三角形,则 E 的离心率是_ 解析:设直线 x 与 x 轴交于点 M,则PF 2M60.3a2由题意知,F 1F2PF 22c , F2M c .3a2在 RtPF2M 中,F 2M PF2,即 cc.12 3a2e .ca 34答案:346已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e ,经过点 A( ,2),求椭圆的标准方35 5 32程解:设椭圆的标准方程为 1(a b0),则 1.x2a2 y2b2 754a2 4b2由已知 e , ,c a.35 ca 35 35b2 a2c 2a 2( a)2,即 b2 a2.35 1625把代入,得 1,754a2 42516a2解得 a22

15、5,b 216,所求方程为 1.x225 y2167已知椭圆 x2( m3)y 2m (m0)的离心率 e ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的32长、焦点坐标、顶点坐标解:椭圆方程可化为 1,x2m y2mm 3由 m0,易知 m ,mm 3a2 m,b 2 .mm 3c .a2 b2m(m 2)m 3由 e ,得 ,解得 m1,32 m 2m 3 32椭圆的标准方程为 x2 1.y214a 1,b ,c .12 32椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,两焦点坐标分别为 F1 ,F 2 ,( 32,0) ( 32,0)顶点坐标分别为 A1(1,0) ,A 2(1,0),B 1 ,B 2 .(0,

16、 12) (0,12)8若椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 P 是椭圆上的一点,P 在 x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于 ,试求椭圆的离心率及其方程10 5解:令 xc,代入 1(ab0),x2a2 y2b2得 y2b 2(1 ) ,y .c2a2 b4a2 b2a设 P(c, ),椭圆的右顶点 A(a,0),上顶点 B(0,b) b2aOPAB,k OPk AB, ,b2ac bab c.而 a2b 2c 22c 2, a c, e .2ca 22又 ac ,解得 a ,c ,b ,10 5 10 5 5所求椭圆的标准方程为 1.x210 y25