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2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:1.3.1 量词(含解析)

1、_1.3 全称量词与存在量词13.1 量 词对 应 学 生 用 书 P12全称量词与全称命题观察下列命题:(1)对任意实数 x,都有 x5.(2)对任意一个 x(xZ ),3x1 是整数问题:上述两个命题各表示什么意思?提示:(1)表示对每一个实数 x,必定有 x5; (2)对所有的整数 x,3x1 必定是整数全称量词和全称命题全称量词 所有、任意、每一个、任给符号表示 x 表示“对任意 x”全称命题 含有全称量词的命题一般形式 xM,p(x )存在量词和存在性命题观察下列语句:(1)存在一个实数 x,使 3x17.(2)至少有一个 xZ,使 x 能被 3 和 4 整除问题:上述两个命题各表述

2、什么意思?提示:(1)表示有一个实数 x,满足 3x17;(2)存在一个整数 Z,满足能被 3 和 4 整除存在量词和存在性命题存在量词 有一个、有些、存在一个符号表示 “x”表示“存在 x”存在性命题 含有存在量词的命题一般形式 xM,p(x )1判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,但可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都

3、不成立,则该存在性命题是假命题对 应 学 生 用 书 P12全称命题、存在性命题的判断例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若 a0 且 a1,则对任意 x,a x0;(2)对任意实数 x1,x 2,若 x1sin x;(0, 2)xR,3 x0;xR,sin x cos x2;xR,lg x 0.其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号)解析:中,由于 x ,所以 sin x0,00,所以是真命题;中,函数 y3 x, xR 的值域是(0,) ,所以是sin x(1 cos x)cos x真命题;中,函数 ysin xcos x sin ,xR 的值域是 , ,又2 (x 4)

4、2 22 , ,所以是假命题;中,由于 lg 10,所以是真命题2 2答案:5判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数;(2)xR,x 211;(3)对每一个无理数 x,x 2 也是无理数解:(1)2 是素数,但不是奇数所以,全称命题“所有的素数是奇数 ”是假命题(2)xRx 20x 211.所以,全称命题“xR ,x 211”是真命题(3) 是无理数,但( )22 是有理数所以, “对每一个无理数 x,x 2 也是无理数”是2 2假命题6分别判断下列存在性命题的真假:(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标;(2)存在 xR,使 sin xcos x2.解:(1)真命题设 A(x1,y 1)

5、,B( x2,y 2),(x 2x 1,y 2y 1),由Error!得Error!AB如 A(1,3),B (2,6),( x2x 1,y 2y 1)(1,3),满足题意(2)假命题由于 sin xcos x sin 的最大值为 ,所以2(22sin x 22cos x) 2 (x 4) 2不存在实数 x,使 sin xcos x2.1判定命题是全称命题还是存在性命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词;另外,有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断2要判定全称命题“xM,p( x)”是真命题,需要对集合 M 中每个元素 x,证明p(x)成立;如果在集合

6、M 中找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题3要判定存在性命题“xM,p( x)”是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素x0,使 p(x0)成立即可;如果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在,那么这个存在性命题是假命题对应课时跟踪训练(五) 1下列命题:有的质数是偶数;与同一平面所成的角相等的两条直线平行;有的三角形的三个内角成等差数列;与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,其中是全称命题的是_,是存在性命题的是_(只填序号)解析:根据所含量词可知是全称命题,是存在性命题答案: 2下列命题中的假命题是_xR,2 x1 0;xN *,(x1) 20;

7、xR,lg x 0”为真命题,则实数 a 的取值范围是_解析:当 a0 时,不等式为 10,对xR,10 成立当 a0 时,若x R,ax 22ax 10 ,则Error!解得 00);(2)对任意非零实数 x1,x 2,若 x1x 2,则 ;1x1 1x2(3) R,使得 sin( )sin ;3(4)xR,使得 x210.解:(1)(2)是全称命题,(3)(4)是存在性命题(1)zx0( z0)恒成立,命题 (1)是真命题(2)存在 x11,x 21,x 1 x2,但 ;12(2), ,使 cos() cos cos ;(3)x,yN,都有 (xy) N;(4)x,yZ ,使 xy 3.2

8、解:(1)法一:当 xR 时,x 2x1 2 ,所以该命题是真命题(x 12) 34 3412法二:x 2x1 x 2x 0,由于 14 1 的12 12 12 12解集是 R,所以该命题是真命题(2)当 , 时,cos( )cos cos cos ,cos cos cos 4 2 (4 2) ( 4) 4 22 cos 0 ,此时 cos ()cos cos ,所以该命题是真命题4 2 22 22(3)当 x2,y4 时,x y 2N,所以该命题是假命题(4)当 x0,y3 时, xy3,即x,y Z,使 x y3,所以该命题是真命2 2题8(1)对于任意实数 x,不等式 sin xcos xm 恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)存在实数 x,不等式 sin x cos xm 有解,求实数 m 的取值范围解:(1)令 ysin x cos x ,xR.y sin xcos x sin(x ) .24 2又 xR,sin xcos x m 恒成立只要 mm 有解只要 m 即可2所求 m 的取值范围是(, )2