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2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.3.2 双曲线的几何性质(含解析)

1、23.2 双曲线的几何性质对 应 学 生 用 书 P28双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下:如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点问题 1:双曲线的对称轴、对称中心是什么?提示:坐标轴;原点问题 2:过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗?提示:有一个交点双曲线的几何性质 标准方程 1(a0,b0)x2a2 y2b2 1(a0,b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0,c)焦距 2c范围 xa 或 xa,y R ya 或 ya,xR顶点 (a,0) (0,a)对称性

2、关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称轴长 实轴长2a,虚轴长2b离心率 e (1 ,)ca性质渐近线 y xbay xab等轴双曲线观察所给两个双曲线方程(1) 1;x24 y24(2)x2y 29.问题 1:两个双曲线方程有何共同特点?提示:所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题 2:两个双曲线的离心率是多少?提示: .2问题 3:两双曲线的渐近线方程是什么?提示:渐近线方程 y x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率 e 反映了双曲线开口的大小,e 越大,双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线,渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用 a,b 表示时,受焦点所在坐标轴的影响对

3、应 学 生 用 书 P28双曲线的几何性质例 1 求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨 先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量 a,b,c 即可得解,但要注意焦点在哪条坐标轴上精解详析 由 9y24x 236 得 1,x29 y24a 29,b 24.c2a 2b 213.c .13顶点坐标为(3,0),(3,0)焦点坐标为( ,0),( ,0) ,13 13实轴长为 2a6,虚轴长为 2b4,离心率为 e ,ca 133渐近线方程为 y x.23一点通 求解双曲线的几何性质问题时,首先将方程化为标准方程,分清焦点所在的轴,写出

4、 a 与 b 的值,进而求出 c,即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知 00,b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题知 2b12, ,且 c2a 2b 2,ca 54b6,c10,a8.所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)当焦点在 x 轴上时,由 且 a3,得 b .ba 32 92所求双曲线的标准方程为 1.x29 4y281当焦点在 y 轴上时,由 且 a3,得 b2.ab 32所求双曲线的标准方程为 1.y29 x24(3)设与双曲线 y 21 有公共渐近线的双曲线方程为 y 2k,将点(2,2) 代入,x22 x22得k (2

5、) 22,222双曲线的标准方程为 1.y22 x24一点通 由双曲线的性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,其步骤为:(1)判断:利用条件判断焦点的位置;(2)设:设出双曲线的标准方程;(3)列:利用已知条件构造关于参数的方程;(4)求:解参数方程,进而得标准方程4(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率为 ,则 C32的方程是_解析:由题意可知 c3,a2,b ,故双曲线的方程为c2 a2 32 22 5 1.x24 y25答案: 1x24 y255已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 54,则双曲线的标准方程是_解

6、析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上,且 a3,焦距与虚轴长之比为 54,即 cb54,解得 c5,b4,则双曲线的标准方程是 1.x29 y216答案: 1x29 y2166求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点 M(3,4)且虚轴长是实轴长的 2 倍的双曲线方程解:若焦点在 x 轴上,则双曲线方程为 1.x2a2 y2b2M(3,4)在双曲线上, 1.9a2 16b2又 b2a, 94164a 2,解得 a25,b 220,双曲线方程为 1.x25 y220若焦点在 y 轴上,则双曲线方程为 1.y2a2 x2b2M(3,4)在双曲线上, 1,16a2 9b2又

7、 b2a, 16494a 2,解得 a2 ,b 255,554双曲线方程为 1.4y255 x255综上可知,双曲线方程为 1 或 1.x25 y220 4y255 x255求双曲线的离心率及其范围例 3 (1)设ABC 是等腰三角形,ABC 120,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_(2)已知双曲线 1(a0,b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60的直线与x2a2 y2b2双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的范围是_思路点拨 (1)根据图形并由双曲线的定义确定 a 与 c 的关系,求出离心率,对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系,因为过点

8、F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则必有 tan 60.ba精解详析 (1)由题意 2cABBC,AC22c sin 602 c,3由双曲线的定义,有 2aACBC2 c2c a( 1)c,3 3e .ca 13 1 1 32(2)因为双曲线渐近线的斜率为 k ,ba直线的斜率为 ktan 60 ,故有 ,3ba 3所以 e 2,ca a2 b2a2 1 3所以所求离心率的取值范围是 e2.答案 (1) (2)e 21 32一点通 1求双曲线离心率的常见方法:(1)依据条件求出 a,c,利用 e ;ca(2)利用 e ;1 (f(b,a)2(3)依据条件,建立关于 a,

9、b,c 的齐次关系式,消去 b,转化为离心率 e 的方程求解2求离心率的范围,常结合已知条件构建关于 a、b、c 的不等关系7(湖南高考)设 F1,F 2 是双曲线 C: 1( a0,b0) 的两个焦点若在 C 上存x2a2 y2b2在一点 P,使 PF1PF 2,且 PF 1F230,则 C 的离心率为_解析:如图,由已知可得,PF 12ccos 30 c,PF 22csin 30c ,由双曲线的定3义,可得 c c2a,则 e 1.3ca 23 1 3答案: 138双曲线 1(a0,b0)的两个焦点为 F1、F 2,若 P 为其上一点,且x2a2 y2b2PF12PF 2,则双曲线离心率的

10、取值范围为_解析:如图,设 PF2m,F 1PF2 (01 ,e(1,3答案:(1,31双曲线离心率及其范围的求法(1)双曲线离心率的求解,一般可采用定义法、直接法等方法(2)双曲线离心率范围的求解,涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中,求“范围”问题,一般可从以下几个方面考虑:与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成;通过判别式 0;利用点在曲线内部形成的不等式关系;利用解析式的结构特点,如 a, ,| a|等非负性a2求双曲线的标准方程,当焦点不明确时,方程可能有两种形式,为了避免讨论,也可设双曲线方程为 mx2ny 21( mn0),从而直接求得;若已知双曲线的渐近线方程为y

11、x,还可以将方程设为 ( 0) 避免焦点的讨论ba x2a2 y2b2对应课时跟踪训练( 十一) 1(陕西高考)双曲线 1 的离心率为 .则 m_.x216 y2m 54解析:a4,b ,c 216m ,e ,m9.mca 16 m4 54答案:92已知双曲线 1(a0,b0),两条渐近线的夹角为 60,则双曲线的离心率为x2a2 y2b2_解析:根据题意,由于双曲线 1(a0 ,b0),两条渐近线的夹角为 60,则可x2a2 y2b2知 或 ,那么可知双曲线的离心率为 e ,所以结果为 2 或 .ba 3 ba 33 1 (ba)2 233答案:2 或2333焦点为(0,6),且与双曲线 y

12、 21 有相同的渐近线的双曲线方程是_x22解析:由 y 21,得双曲线的渐近线为 y x.x22 22设双曲线方程为: y 2( 0,b0) 的离心率为 ,则 Cx2a2 y2b2 52的渐近线方程为_解析:e 2 1 , , ,y x.c2a2 a2 b2a2 b2a2 54 b2a2 14 ba 12 12答案:y x125若双曲线 1(a0,b0)的两个焦点分别为 F1、F 2,P 为双曲线上一点,且x2a2 y2b2|PF1|3|PF 2|,则该双曲线离心率 e 的取值范围是_解析:依题意得Error!由此解得|PF 2|a,|PF 1|3a,|PF 1|PF 2|F 1F2|,即c

13、2a,e 2.又 e1,离心率 e 的取值范围是(1,2ca答案:(1,26根据下列条件求双曲线的标准方程:(1)经过点 ,且一条渐近线方程为 4x3y0.(154, 3)(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 .3解:(1)双曲线的一条渐近线方程为 4x3y 0,可设双曲线方程为 (0)x29 y216双曲线经过点 ,(154,3) .即 1.19 15216 3216所求双曲线的标准方程为 1.x29 y216(2)设 F1、F 2 为双曲线的两个焦点,依题意,它的焦点在 x 轴上,PF1PF2,且 OP6,2c F1F22OP12,c6.又 P 与两顶点连线夹

14、角为 ,3a |OP|tan 2 ,6 3b2 c2a 224.故所求双曲线的标准方程为 1.x212 y2247已知 F1,F 2 是双曲线 1(a0,b0)的两个焦点, PQ 是经过 F1 且垂直于 xx2a2 y2b2轴的双曲线的弦,如果PF 2Q90,求双曲线的离心率解:设 F1(c,0),将 xc 代入双曲线的方程得 1,那么 y .c2a2 y2b2 b2a由 PF2QF 2,PF 2Q90 ,知|PF 1|F 1F2|, 2c, b22ac .b2a由 a2b 2c 2,得 c22aca 20, 22 1 0.(ca) ca即 e22e10.e 1 或 e1 (舍去)2 2所以所

15、求双曲线的离心率为 1 .28已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F 2 在坐标轴上,离心率为 且过点2(4, )10(1)求双曲线方程;(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上;(3)求F 1MF2 的面积解:(1)离心率 e ,设所求双曲线方程为 x2y 2(0),则由点(4, )在双2 10曲线上,知4 2( )26,10双曲线方程为 x2y 26,即 1.x26 y26(2)若点 M(3,m)在双曲线上,则 32m 26,m 23.由双曲线 x2y 26 知,F 1(2 ,0) ,F 2(2 ,0),3 3 (2 3,m)(2 3,m)13 39(2 )2 m20.3 1F ,点 M 在以 F1F2 为直径的圆上(3)SF1MF2 2c|m|c |m|2 6.12 3 3