1、82.4 离散型随机变量及其分布读教材填要点1随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(2)表示：随机变量常用字母 X，Y， 等表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3随机变量 X 的概率分布如果随机变量 X 的取值是 x1，x 2，x n，则 Xx i是事件，用 piP(Xi)表示事件Xx i的概率，则 piP(Xx i)，i1,2，n 是离散型随机变量 X 的概率分布当 X 的概率分布p i规律性不明显时， 可用下面的表格表示 X 的分布.X x1 x2 x3 P p1 p2 p3 4.随机变量 X 的概率分布的性质p
2、i0，i1,2，n；p 1p 2p n1.小问题大思维1任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字2是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明提示：不是如在东北森林中任取一棵树木的高度离散型随机变量例 1 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔 30 米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号 X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次 X；(3)丁俊晖在 2017 年世锦赛中每局所得的分数解 (1)桥面上的路灯是可数的，
3、编号 X 可以一一列出， 是离散型随机变量(2)小明获奖等次 X 可以一一列出，是离散型随机变量(3)每局所得的分数 X 可以一一列举出来，是离散型随机变量判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是1写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)在含有 10 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件，可能含有的次品的件数 X 是随机变量
4、；(2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 是一个随机变量解：(1)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3,4.X0，表示抽出 0 件次品；X1，表示抽出 1 件次品；X2，表示抽出 2 件次品；X3，表示抽出 3 件次品；X4，表示抽出的全是次品(2)随机变量 可能的取值为：0,1,2,3.0，表示取出 0 个白球， 3 个黑球；1，表示取出 1 个白球， 2 个黑球；2，表示取出 2 个白球， 1 个黑球；3，表示取出 3 个白球， 0 个黑球离散型随机变量 X 的概率分布例 2 袋中装有编号为 16 的同样大小的 6 个球，现从袋中随机取 3
5、个球，设 X 表示取出 3 个球中的最大号码，求 X 的概率分布解 根据题意，随机变量 X 的所有可能取值为 3,4,5,6.X3，即取出的 3 个球中最大号码为 3，其他 2 个球的号码为 1,2.所以，P(X3) ；C2C36 120X4，即取出的 3 个球中最大号码为 4，其他 2 个球只能在号码为 1,2,3 的 3 个球中取所以，P( X4) ；C23C36 320X5，即取出的 3 个球中最大号码为 5，其他 2 个球只能在号码为 1,2,3,4 的 4 个球中取所以，P( X5) ；C24C36 310X6，即取出的 3 个球中最大号码为 6，其他 2 个球只能在号码为 1,2,
6、3,4,5 的 5 个球中取所以，P(X 6) .C25C36 12所以，随机变量 X 的概率分布为：X 3 4 5 6P 120 320 310 12求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量 X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出 X 取每个值时的概率，最后列出表格即可2袋中有 4 个黑球，3 个白球，2 个红球，从中任取 1 个球，每取到一个黑球得 0 分，每取到一个白球得 1 分，每取到一个红球则得 2 分，用 X 表示所得分数，求 X 的概率分布列解：由题意知 X 的可能取值为 0,1,2，则 P(X0) ，P(X1) ，P( X2) .C14C19 49 C
7、13C19 13 C12C19 29故 X 的概率分布列为：X 0 1 2P 49 13 29离散型随机变量 X 的概率分布的性质应用例 3 设随机变量 X 的分布列为 P(Xk) ，k1,2,3,4.求：k10(1)P(X1 或 X2) ；(2)P .(123)_；(3)P(13)P( X4)P(X5)P(X6)0.10.150.20.45；(3)P(1X4)P(X 2)P(X3) P(X4)00.350.10.45.答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量/件 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分
8、布规律不变 )，设某天开始营业时有该商品 3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列解：(1)设“当天商店不进货”为事件 A， “当天商品的销售量为 0 件”为事件 B， “当天商品的销售量为 1 件”为事件 C，则P(A)P(B )P(C) .120 520 310(2)由题意，知 X 的可能取值为 2,3.P(X2)P(C) ，520 14P(X3)1P(X2) 1 .14 34故 X 的分布列为X 2 3P 14 34一、选择题1有下
9、列四个命题：某立交桥一天经过的车辆 X；某人射击 2 次，击中目标的环数之和记为 X；测量一批电阻，阻值在 950 1 200 之间；一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为 X.其中是离散型随机变量的是( )A BC D解析：选 A 中变量 X 所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量2袋中装有 10 个红球，5 个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个球”的事件为( )AX4 BX5CX6 DX4解析：选 C 第一次取到黑球，则放回 1 个球，第二次取
10、到黑球，则共放回 2 个球，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故 X6.3设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，n，若 P(X4) 0.3，则 n 的值为( )A3 B4C10 D不确定解析：选 C X 的概率分布表为：X 1 2 3 nP 1n 1n 1n 1nP(X4)P( X1)P (X2)P( X3) 0.3 .n 10.3n 3104从含有 2 名女生的 10 名大学毕业生中任选 3 人进行调研，记女生入选的人数为X，则 X 的概率分布列为( )A.X 0 1 2P 715 715 115B.X 1 2 3P 115 715 715C.X 0 1 2P 12 13 16D.X
11、 0 1 2P 115 715 715解析：选 A X 的所有可能取值为 0,1,2， “X0”表示入选 3 人全是男生，则 P(X0) ，C38C310 715“X1”表示入选 3 人中恰有 1 名女生，则 P(X1) ，C12C28C310 715“X2”表示入选 3 人中有 2 名女生，则 P(X2) .C2C18C310 115因此 X 的概率分布列为：X 0 1 2P 715 715 115二、填空题5在 8 件产品中，有 3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为 X，则“X3”表示的试验结果是_解析：X3 表示前 2 次均是正品，第 3 次是次品答案：共抽取
12、 3 次，前 2 次均是正品，第 3 次是次品6在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分，则这名同学回答这三个问题的总得分 X 的所有可能取值是_解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为 300 分，100分，100 分，300 分答案：300,100，100，3007已知随机变量 X 只能取三个值 x1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差 d 的取值范围为_解析：设 X 的概率分布为：X x1 x2 x3P ad a ad由随机变量概率分布的性质，有Error!解得 d .13 13答案： 13，138设随机
13、变量 X 的概率分布为 P(Xk)ak(k1,2，n) ，则常数 a_.解析：由分布列的性质可得，a(12n)1，所以 a .2nn 1答案：2nn 1三、解答题9写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X；(2)一袋中装有 5 只同样大小的球，编号为 1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数 X.解：(1)X 可取 0,1,2.Xi，表示取出的 3 个球中有 i 个白球，3i 个黑球，其中 i0,1,2.(2)X 可取 3,4,5.X3，表示取出的
14、 3 个球的编号为 1,2,3；X4，表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4；X5，表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5.10某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量1 至4 件5 至 8 件9 至12 件13 至 16件17 件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)求 x，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列解:(1)由已知得 25y 1055，x 3045，所以 x15，y 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1) ，P(X1.5) ，15100 320 30100 310P(X2) ，P(X2.5) ，25100 14 20100 15P(X3) .10100 110X 的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3P 320 310 14 15 110