1、82.5 几个常用的分布读教材填要点1两点分布 B(1，p)如果 X 只取值 0 或 1，概率分布是 P(X1)p，P( X0)1p，p(0,1) ，就 称 X 服从两点分布，记作 XB(1 ，p) 2二项分布 B(n，p)设某试验成功的概率为 p，p(0,1)，将该试验独立重复 n 次，用 X 表示试验成功的次数，则 X 有概率分布：P(Xk) C pkqnk ，k 0,1,2 ，n，其中 q1p，这时，我们称 X 服从二项分布，kn记作 X B(n， p)3超几何分布一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件Xk 发生的概率为 P(Xk ) ，k
2、 0,1,2， ，m ，CkMCn kN MCnN其中 mminM，n，且 nN ，M N ，n，M ，N N *.称分布列X 0 1 mP C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，就称 X 服从超几何分布，记作 X H(N，M，n) 小问题大思维1在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示：在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互间无影响因为每次试验是在相同条件下独立进行的2二项分布与两点分布的关系是什么？提示：二项分布是指 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率分
3、布列，需要在相同条件下做 n 次试验，两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布两者的含义不同，将两点分布的试验进行 n 次，恰好发生 k 次的概率分布就成了二项分布两点分布例 1 已知一批 200 件的待出厂产品中，有 1 件不合格品，现从中任意抽取 2 件进行检查，若用随机变量 X 表示抽取的 2 件产品中的次品数，求 X 的分布列解 由题意知，X 服从两点分布， P(X0) ，C2199C2200 99100所以 P(X1)1 .99100 1100所以随机变量 X 的分布列为X 0 1P 99100 1100两点分布的 4 个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2
4、)两点分布中的两结果一个对应 1，另一个对应 0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知 P(X0)( 或 P(X1)，便可求出 P(X1)( 或P(X0)；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它1袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记XError!求 X 的概率分布解：显然 X 服从两点分布，P(X0) .C26C211 311P(X1) 1 ，311 811X 的概率分布为：X 0 1P 311 811二项分布例 2 甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局设甲在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立已知比
5、赛中，乙赢了第一局比赛23(1)求甲获胜的概率；(用分数作答 )(2)设比赛总的局数为 X，求 X 的概率分布解 (1)甲获胜的概率 P 3C 3 .(23) 1313(23) 1627(2)由题意知，X3,4,5P(X3) 2 ，(13) 19P(X4) 3 C 2 ，(23) 1223(13) 49P(X5)C 2 2C 3 .23(23)(13) 1313(23) 49X 的概率分布为：X 3 4 5P 19 49 49二项分布中“Xk ”表示在 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次，其特点是：一次试验中只有两种可能结果；事件在每次观察中出现的概率相等；随机变量 X 只取有限个实数2
6、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 .某班 3 名同学商定明天分别就同一问34题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列解：由题意可知：XB ，(3，34)所以 P(Xk) C k 3k ，k3(34) (14)k0,1,2,3.即 P(X0)C 0 3 ；03 (34) (14) 164P(X1)C 2 ；1334 (14) 964P(X2)C 2 ；23 (34) 14 2764P(X3)C 3 .3 (34) 2764分布列为X 0 1 2 3P 164 964 2764 2764超几何分布例 3 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10
7、 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列解 设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A) .C13C27 C03C37C310 4960所以选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为 .4960(2)依据条件，随机变量 X 服从超几何分布，其中 N10，M4，n3，且随机变量X 的可能值为 0,1
8、,2,3.P(Xk) (k0,1,2,3)Ck4C3 k6C310所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布(2)在超几何分布公式中 P(Xk) ，k0,1,2，m，其中CkMCn kN MCnNmminM ，n 这里 N 是产品总数， M 是产品中次品数， n 是抽样的样品数(3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量 X 的所有取值(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示3袋中有 4 个红球，3
9、个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球得 0 分，从袋中任取 4 个球(1)求得分 X 的分布列(2)求得分不小于 6 分的概率解：(1)从袋中随机摸 4 个球的情况为：1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红共四种情况，分别得分为 2 分，4 分，6 分，8 分，故 X 的可能取值为 2,4,6,8.P(X2) ；P (X 4) ；C14C3C47 435 C24C23C47 1835P(X6) ；P (X 8) .C34C13C47 1235 C4C03C47 135所以 X 的分布列为X 2 4 6 8P 435 1835 1235 135(2)由(
10、1)中分布列得P(X6)P(X 6) P(X8) .1335解题高手 妙解题有 10 台都为 7.5 千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动 12 min，问全部机床用电超过 48 千瓦的可能性有多大？ (保留两位有效数字)尝试 巧思 由于每台机床正常工作的概率为 0.2，而且每台机床都只有 “工作”与1260“不工作”两种情况，故某一时刻正常工作的机床台数服从二项分布妙解 设 X 为某一时刻正常工作的机床的台数，则 X B(10,0.2)，P(X k)C 0.2k0.810k (k0,1,2，10) ，根据题意，48 千瓦可供 6 台机床同时工作，用电超k1
11、0过 48 千瓦，即意味着有 7 台或 7 台以上的机床在工作，这一事件的概率为：P(X7)P(X 7) P(X8)P(X9)P( X10)C 0.270.83C 0.280.82C 0.290.81C 0.2100.800.000 86.710 810 910 101下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 XB某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 XC从装有 5 个红球，3 个白球的袋中取 1 个球，令随机变量 XError!D某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 X解析：选 A A 中随机变量 X 的取值有 6 个，不服从两点分布，故选 A
12、.2设随机变量 XB ，则 P(X3) 的值为( )(6，12)A. B.516 316C. D.58 716解析：选 A P(X 3)C 3 3 .36 (12) (12) 5163在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不太方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示10 个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于 的是( )C47C68C105AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP( X4)解析：选 C A，P(X2) ；C27C8C105B，P(X2) P(X2) ；C ，P(X4) ；C47C68C105 C47C68C105D，P(X4)P(X2) P(X3)P( X4)
13、.C47C68C1054某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第 3 次击中目标的概率是 0.9；他恰好击中目标 3 次的概率是 0.930.1；他至少击中目标 1 次的概率是 10.1 4.其中正确的序号是_( 写出所有正确结论的序号) 解析：正确；恰好击中目标 3 次的概率为 C 0.930.1，故错；由于“至少击中34目标 1 次”的对立事件为“一次都未击中目标” ，故正确答案：5在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p
14、 的取值范围是_解析：由题知 C p(1p) 3C p2(1p) 2，14 24即 4(1p) 6p.p 0.4.又 0p1，0.4p1.答案：0.4,1)6学校组织一次夏令营活动，有 8 名同学参加，其中 5 名男同学，3 名女同学，为了活动的需要，要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务，记其中有 X 名男同学被抽到求：(1)X 的分布列；(2)去执行任务的同学中有男有女的概率解：(1)X 服从超几何分布，其中，N8，M5，n3， X 可取 0,1,2,3.P(X0) ，P(X1) ，C3C38 156 C15C23C38 1556P(X2) ，P (X 3) ，C25C
15、13C38 1528 C35C38 528所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 156 1556 1528 528(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P(X1) P(X2) .1556 1528 4556一、选择题1设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 描述一次试验的成功次数，则 P(X0) 等于( )A0 B.13C. D.12 23解析：选 B 设 P(X1) p，则 P(X0) 1p.依题意知，p2(1p) ，解得 p .23故 P(X0)1p .132从 4 双不同的鞋中任取 4 只，设 表示取出的鞋中成双的对数，则 P(1) ( )A. B.2735 45C
16、. D.67 3235解析：选 D 由已知，可得 的所有可能取值为 0,1,2，P (1)P(0) P(1) ，故选 D.C12C12C12C12C48 C14C23C12C12C48 32353若在甲袋内装有 8 个白球，4 个红球，在乙袋内装有 6 个白球，6 个红球，今从两袋里任意取出 1 个球，设取出的白球个数为 X，则下列概率中等于 的是( )C18C16 C14C16C12C12AP(X0) BP(X2)CP(X1) DP( X2)解析：选 C X 服从超几何分布，当 X1 时，即从甲袋中取出白球乙袋中取出红球和甲袋中取出红球，乙中取出白球即为 .C18C16 C14C16C12C
17、124位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .则质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概12率为( )A. 5 BC 5(12) 25(12)CC 3 DC C 535(12) 25 35(12)解析：选 B 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为 ，所以移动 5 次可看成做了125 次独立重复试验质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动 2 次，向上移动 3 次)的概率为 C 2 3C 5.25(12)(12) 25(12)二、填空题5下列说法正确的是_某同学投篮命中率为 0.6
18、，他 10 次投篮中命中的次数 X 是一个随机变量，且XB (10,0.6)；某福彩的中奖概率为 p，某人一次买了 8 张，中奖张数 X 是一个随机变量，且XB (8，p) ；从装有 5 红 5 白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 X 是随机变量，且 XB .(n，12)解析：、显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回的摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义答案：6设 XB (2，p)，若 P(X1) ，则 p_.59解析：XB(2，p) ，P(Xk)C pk(1p) 2k ，k0,1,2.k2P(X
19、1) 1P(X1)1P(X0)1C p0(1p) 21(1p) 2.021 (1p) 2 .59结合 0p1，解之得 p .13答案：137从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取 2 个球，设其中有 X 个红球，则随机变量X 的概率分布为_解析：由题意知 X 服从超几何分布，代入超几何分布概率公式有 P(Xk ) (k0,1,2)Ck3C2 k2C25答案：X 0 1 2P 110 35 3108将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_解析：P (正面次数大于反面次数 )P (4 正 2 反) P (5 正 1 反) P (6 正)C 4 2C 5 1C
20、6 .46(12) (12) 56(12) (12) 6(12) 1132答案：1132三、解答题9已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所13分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子假定某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的；如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了 3 次试验，求至少两次试验成功的概率；(2)第二小组进行试验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功之前共有 3 次失败，且恰有两次连续失败的概率解：(1)第一小组做了 3 次试验，至少两次试验成功的概率为 C 2 C 23 (13) (1 13) 33 .(1
21、3) 727(2)第二小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中 3 次成功、3 次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能情况的种数为 A 12.因此所求的概率为 12 3 3 24 (13) (23) 13.3272910为了掌握高二年级学生参加普通高中信息技术学业水平测试的备考情况，学校信息技术老师准备对报名参加考试的所有学生进行一次模拟测试，模拟测试时学生需要在 10 道备选试题中随机抽取 5 道试题作答，答对 5 道题时测试成绩为 A 等(即优秀) ，答对4 道题时测试成绩为 B 等(即良好 )，答对 3 道题时测试成绩为 C 等( 即及格)，答对 3 道题以下(不包括答对 3
22、道题)时测试成绩为 D 等( 即不及格)，成绩为 D 等的同学必须参加辅导并补考如果考生张小明只会答这 10 道备选试题中的 6 道题，设张小明同学从 10 道备选试题中随机抽取 5 道作答时，不会答的题数为随机变量 X，求：(1)随机变量 X 的分布列；(2)求张小明同学需要参加补考的概率解：(1)在 10 道备选试题中随机抽取 5 道试题作答时，其中不会答的题数可能是0,1,2,3,4 道，即随机变量 X 的所有取值是 0,1,2,3,4，其中 N10，M4，n5，根据超几何分布概率公式，得P(X0) ，C04C56C510 142P(X1) ，P (X 2) ，C14C46C510 521 C24C36C510 1021P(X3) ，P (X 4) .C34C26C510 521 C4C16C510 142随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 142 521 1021 521 142(2)需要参加补考，说明张小明同学从 10 道备选试题中随机抽取 5 道试题作答时，有3 道试题或者 4 道试题答不出来，所以张小明同学在这次测试中需要参加补考的概率是P(X3) P (X 3)P(X4) .521 142 1142