1、82.7 离散型随机变量的方差读教材填要点1离散型随机变量 X 的方差与标准差(1)当离散型随机变量 X 有概率分布，p jP(Xx j)，j 0,1 ，n 和数学期望 E( X)时，就称 D(X)(x 1 )2p1( x2) 2p2(x n) 2pn为 X 的方差，称 为 X 的标准DX差(2)X 的方差描述了随机变量 X 向它的数学期望集中的程度，方差越 小，X 向数学期望 集中的越好(3)如果 X 是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X 的方差 D(X)就是总体方差2， X 的数学期望 E(X)就是总体均值 .2几个常见方差的计算公式(1)若 YaXb，a，b 为常数，即 D(aXb)
2、 a 2D(X)；(2)当 X 服从二点分布(1，p)时，D (X)p(1 p)；(3)当 X 服从二项分布 B(n，p) 时，D (X)np(1p) ；(4)当 X 服从超几何分布 H(N，M，n)时，D (X) .nMN(1 MN)N nN 1小问题大思维1离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量2D(X)的取值范围是什么？若 b 为常数，则 D(b)为何值？提示：因为 D(X) (xiE(X) 2pi，ni 1其
3、中(x i E(X)20，p i0，所以 D(X)的取值范围为0，)因为 b 为常数，所以 x1x 2x nE( X)b，故 D(b)0.3D(X)与 X 的单位之间有什么关系？提示：D(X )的单位是 X 的单位的平方求离散型随机变量的方差例 1 (1)设随机变量 X 的分布列为( )X 1 2 3 4P 14 13 16 14则 D(X)等于( )A. B. C. D.2912 121144 179144 1712(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是 .13求这位司机遇到红灯数 X 的期望与方差；若遇上红灯，
4、则需等待 30 秒， 求司机总共等待时间 Y 的期望与方差解析 (1)选 C 由题意知， E(X)1 2 3 4 ，故 D(X)14 13 16 14 2912 2 2 2 2 .(1 2912) 14 (2 2912) 13 (3 2912) 16 (4 2912) 14 179144(2)解：易知司机遇上红灯次数 X 服从二项分布，且 XB ，(6， 13)E(X) 6 2，D(X)6 .13 13 (1 13) 43由已知 Y30X，E(Y)30E( X)60，D(Y) 900D(X)1 200.由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可但需要注意
5、，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率1某运动员投篮命中率 p0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数 X 的方差为_解析：依题意知 X 服从两点分布，所以 D(X)0.8(10.8)0.16.答案：0.162一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差解：设摸得白球的个数为 X，依题意得 P(X0) ，C24C26 25P(X1) ，C12C14C26 815P(X2) .C2C26 115所以 E(X)0 1 2 ，25 815 115 23D(X) 2 2 2 (0 23) 25 (1 23
6、) 815 (2 23) 115 1645.(或 DX 226(1 26) 6 26 1 1645)离散型随机变量方差的性质例 2 (1)已知随机变量 X8，若 XB(10,0.6)，则 E()，D( )分别是( )A6,2.4 B2,2.4C2,5.6 D6,5.6(2)已知 X 是离散型随机变量，P(X1) ，P(Xa) ，E(X) ，则 D(2X1)( )23 13 43A. B13 19C. D.43 89解析 (1)XB(10,0.6) ，E(X) 100.66，D(X) 100.6(10.6)2.4，E()8E( X)2，D() ( 1) 2D(X)2.4.(2)由题意，知 1 a
7、 ，解得 a2，23 13 43D(X) 2 2 ，(1 43) 23 (2 43) 13 29D(2X 1)2 2 D(X)4 .29 89答案 (1)B (2)D求随机变量函数 YaX b 方差的方法求随机变量函数 YaXb 的方差，一种是先求 Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式 D(aXb)a 2D(X)求解3已知 的分布列为 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 115(1)求 的方差及标准差；(2)设 Y2E() ，求 D(Y)解：(1)E( )0 10 20 50 60 16，13 25 115 215 115D() (016) 2 (101
8、6) 2 (20 16) 2 (50 16) 2 (60 16)13 25 115 2152 384， 8 .115 D 6(2)Y2E()，D(Y)D(2E() 2 2D()43841 536.方差的实际应用例 3 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X、 Y，X 和 Y 的概率分布如下表：X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 210试对这两名工人的技术水平进行比较解 工人甲生产出次品数 X 的期望和方差分别为：E(X)0 1 2 0.7，610 110 310D(X)(00.7) 2 (10.7) 2 (20.7)
9、2 0.81 ；610 110 310工人乙生产出次品数 Y 的期望和方差分别为：E(Y)0 1 2 0.7，510 310 210D(Y)(00.7) 2 (1 0.7) 2 (20.7) 2 0.61.510 310 210由 E(X)E(Y) 知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定4甲、乙两个野生动
10、物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2乙保护区：Y 0 1 2P 0.1 0.5 0.4试评定这两个保护区的管理水平解：甲保护区违规次数 X 的数学期望和方差为E(X)00.310.320.2 30.21.3，D(X)(01.3) 20.3(11.3) 20.3(21.3) 20.2(31.3) 20.21.21.乙保护区的违规次数 Y 的数学期望和方差为：E(Y)00.110.520.41.3，D(Y)(01.3) 20.1(1 1.3) 20.
11、5(21.3) 20.40.41.因为 E(X)E(Y)，D(X) D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.解题高手 妙解题最近，李师傅一家三口就如何将手中的 10 万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将 10 万元全部用来买股票据分析预测：投资股市一年可能获利 40%，也可能亏损 20%(只有这两种可能)，且获利的概率为 .12第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将 10 万元全部用来买基金据分析预测：投资基金一年
12、后可能获利 20%，可能损失 10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， .3515 15第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将 10 万元全部存入银行一年，现在存款年利率为 4%，存款利息税率为 5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由尝试 巧思 合理的理财方案应满足两个条件：获利高； 稳妥性强因此可从数学期望和方差两个方面考虑优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应考虑选择方差较小的方案妙解 若按方案一执行，设收益为 X 万元，则其概率分布为X 4 2P 12 12E(X)4 (2) 1 万元 12 12若按方案二执行
13、，设收益为 Y 万元，则其概率分布为：Y 2 0 1P 35 15 15E(Y)2 0 (1) 1 万元35 15 15若按方案三执行，收益 y104%(1 5%)0.38 万元又 E(X)E(Y) y.D(X)(41) 2 (21) 2 9，12 12D(Y)(21) 2 (0 1) 2 (11) 2 .35 15 15 85由上知 D(X)D(Y)这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理1下列说法中，正确的是( )A随机变量的期望 E(X)反映了 X 取值的概率平均值B随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平C随机变量的期望 E(X)
14、反映了 X 取值的平均水平D随机变量的方差 D(X)反映了 X 取值的概率平均值解析：选 C 离散型随机变量 X 的期望反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度2已知 XB (n，p)，E(X) 8，D (X)1.6，则 n 与 p 的值分别是( )An100，p0.08 Bn20，p0.4Cn10，p0.2 Dn10，p0.8解析：选 D 由于 XB( n， p)，E(X) 8，D( X)1.6.所以 np8，np(1p)1.6，解之得 n10，p0.8.3已知离散型随机变量 X 的概率分布为：P(Xk) ，k1,2,3，则 D(3X5)等于( )1
15、3A3 B6C9 D4解析：选 B E(X) (12 3) 2，13D(X)(12) 2(2 2) 2(32) 2 ，13 23D(3X5) 9D(X)6.4同时抛掷两枚均匀的硬币 10 次，若两枚硬币同时出现反面的次数为 X，则 D(X)_.解析：因为两枚硬币同时出现反面的概率为 ，故 XB ，因此 D(X)12 12 14 (10，14)10 .14 (1 14) 158答案：1585已知离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示，则 X 的方差为_.X 1 3 5P 0.4 0.1 x解析：由条件知，x0.5.E(X)10.430.150.5 3.2，D(X)(1 3.2) 20.4(33
16、.2) 20.1(5 3.2) 20.53.56.答案：3.566设 X 是随机变量，P( Xa) ，P( Xb) ，且 aD(X 乙 )乙种水稻比甲种水稻整齐2随机变量 X 的概率分布为 P(Xk)p kq1k (k0,1，pq1)，则 E(X)与 D(X)依次为( )A0 和 1 Bp 和 p2Cp 和 1p Dp 和 p(1p)解析：选 D 根据题意，E(X)0q1pp，D(X)(0p) 2q(1 p) 2pp(1p) ，或可以判断随机变量 X 满足两点分布，所以 E(X)与 D(X)依次为 p 和 p(1p)3已知 X 服从二项分布 B(n，p) ，且 E(3X2)9.2，D (3X2
17、)12.96，则二项分布的参数 n，p 的值为( )An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1解析：选 B 由 E(3X2) 3E(X) 2，D (3X2)9D (X)，当 XB(n，p) 时，E(X)np，D( X)np (1p)可知Error!Error!4设随机变量 的分布列为 P(k)C k nk ，k0,1,2，n，且 E()24，kn(23) (13)则 D()的值为( )A8 B12 C. D 1629解析：选 A 由题意可知 B ， nE() 24，n36，D( )(n，23) 23n 368.23 (1 23) 29二、填空题5随机变量 X 的概率
18、分布为：X 1 0 1P a b c其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X) ，则 D(X)的值是_ 13解析：E( X)1a0b 1cca ，13又 abc1，且 2bac，a ，b ，c .16 13 12D(X) 2 2 2 .( 1 13) 16 (0 13) 13 (1 13) 12 59答案：596一次数学测验由 25 道选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得 4 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分，某学生选对任一题的概率为 0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为_解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为 X，所得的分数(成绩) 为Y，则 Y4X.由题知 XB (25,0.6)，所以 E(X)250.615，D(X) 250.60.46，E(Y)E(4 X)4E(X )60，D(Y) D(4 X)4 2D(X)16 696，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是 60 与 96.答案：60,967若 X 是离散型随机变量，P(Xx 1) ，P( Xx 2) ，且 x1D(X2)，乙比甲技术稳定.