1、82.3 事件的独立性读教材填要点1事件 A，B 独立用 1 表示第一个试验的全集，用 2 表示第二个试验的全集，如果这两个试验是独立的，就称全集 1 和 2 独立当事件的全集 1 和 2 独立，对于 A1 和 B2，有 P(AB) P(A)P (B)2事件 A1，A 2，A 3，A n相互独立对于 j1,2，n，用 j表示第 j 个试验的全集，如果这 n 个试验是相互独立的，就称这些试验的全集 1， 2， ， n是相互独立的如果试验的全集 1， 2， n是相互独立的，则对A11， A22，A nn，有P(A1A 2A n)P( A1)P(A2)P(An)小问题大思维1两个事件相互独立与互斥有
2、什么区别？提示：两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系2公式 P(AB)P(A )P(B)使用的前提条件是什么？提示：P( AB)P(A )P(B)使用的前提条件是事件 A 与事件 B 相互独立，同样的，只有当 A1， A2， ，A n相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即 P(A1 A2A n)P( A1)P(A2)P(An)事件独立性的判断例 1 判断下列事件是否为相互独立事件(1)甲组 3 名男生， 2 名女生； 乙组
3、 2 名男生， 3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生” (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球， “从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球” 解 (1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则58“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没
4、有发生，47则后一事件发生的概率为 ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所57以二者不是相互独立事件两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率的积，则事件 A，B 为相互独立事件(3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断1从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，设 A“抽得老 K”，B“抽得红牌” ，判断事件 A 与 B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解：由于事件 A 为“抽得老 K”，事件 B 为“抽得红
5、牌” ，故抽得红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到老 K，故事件 A，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件：抽到老 K 的概率为 P(A) ，抽到红牌的概率 P(B) ，故 P(A)P(B) ，事件 AB 即为“既452 113 2652 12 113 12 126抽得老 K 又抽得红牌” ，亦即 “抽得红老 K 或方块老 K”，故 P(AB) ，从而有252 126P(A)P(B)P( AB)，因此 A 与 B 互为独立事件相互独立事件同时发生的概率例 2 一个袋子中有 3 个白球，2 个红球，每次从中任取 2 个球，取出后再放
6、回，求：(1)第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率；(2)第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率解 记：“第 1 次取出的 2 个球都是白球”的事件为 A， “第 2 次取出的 2 个球都是红球”的事件为 B， “第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球”的事件为 C，很明显，由于每次取出后再放回，A、B、C 都是相互独立事件(1)P(AB )P(A)P (B) .C23C25C2C25 310110 3100故第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的
7、概率是 .3100(2)P(C A)P( C)P(A) .C13C12C25 C23C25 610310 950故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率是 .9502某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错得零分假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得 300 分的概率；(2)求这名同学至少得 300 分的概率解：记“这名同学答对第 i 个问题 ”为事件 Ai(i1,2,3)，
8、则 P(A1)0.8，P(A 2)0.7，P (A3)0.6.(1)这名同学得 300 分的概率P1P( A1 2A3) P( 1A2A3)A AP(A 1)P( 2)P(A3)P ( 1)P(A2)P(A3)A A0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得 300 分的概率 P2P 1P(A 1A2A3)0.2280.80.70.60.564.相互独立性事件概率的应用例 3 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响 )的成绩在 13 s 内( 称为合格) 的概率分别为 ， ，若对这三名短跑运动员的 100 253413m
9、跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大解 记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格”分别为事件 A，B，C ，显然事件A，B ，C 相互独立，则 P(A) ，P(B) ，P(C) .25 34 13设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P 3P(ABC)P( A)P(B)P(C) .25 34 13 110(2)三人都不合格的概率：P 0P( )P( )P( )P( ) .A B C A B C 35 14 23 110(3)恰有两人合格的概率：P2P( AB )P( A C )P( BC )
10、C B A .25 34 23 25 14 13 35 34 13 2360恰有一人合格的概率：P 11P 0P 2P 31 .110 2360 110 2560 512综合(1)(2)(3)可知 P1 最大所以出现恰有 1 人合格的概率最大解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P(AB)P( A)P (B)(A，B 互斥) ，P(A)1P ( )，P(AB )P(A) P(B)(A，B 相互独立)A3在某项比赛的选拔赛中，种子选手 M 与 B1，B 2，B 3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M
11、 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响342312(1)若 M 至少获胜两场的概率大于 ，则 M 入选比赛，否则不予入选，问 M 是否会入710选比赛？(2)求 M 获胜两场的概率解：记 M 与 B1，B 2，B 3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A，B ，C ，M 至少获胜两场的事件为 D，则 P(A) ，P(B) ，P(C) ，事件 A，B，C 相互独立，用 X 表示“M 获胜34 23 12的场次” (1)则 P(D)P (ABC)P(ABC) P(ABC) P(ABC) 34 23 12 14 23 12 34 13 12 34 ，因为 ，所以 M 会入选比赛23 12 1724 17
12、24 710(2)P(X2) P(D)P(ABC ) .1724 34 23 12 1124解题高手 妙解题在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率尝试 巧思 根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指 3 个开关中至少有 1 个能够闭合，这可以包括恰有其中某 1 个开关闭合、恰有其中某 2 个开关闭合、恰有 3 个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求 3 个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件3 个开关中至少有 1 个能够
13、闭合的概率妙解 如图所示，分别记这段时间内开关 JA，J B，J C能够闭合为事件 A，B，C .由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不闭合的概率是P( )P( )P( )P( )A B C A B C 1P(A )1P(B)1P(C)(10.7)(1 0.7)(10.7) 0.027.于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1P( )10.027 0.973.A B C 答：在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.1坛子中放有 3 个白球和 2 个黑球，从中进行不放回地摸球，用
14、 A1 表示第一次摸得白球，A 2 表示第二次摸得白球，则 A1 和 A2 是( )A互斥的事件 B相互独立的事件C对立的事件 D不相互独立的事件解析：选 D 由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A 1 与 A2 不互斥也不对立，同时 A1 与 A2 也不相互独立2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A. B.1425 1225C. D.34 35解析：选 A 由题意知 P 甲 ，P 乙 ，所以 PP 甲 P 乙 .810 45 710 14253两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和
15、，两个零件是否加23 34工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A. B.12 512C. D.14 16解析：选 B 设事件 A：甲实习生加工的零件为一等品；事件 B：乙实习生加工的零件为一等品，则 P(A) ，P(B) ，所以这两个零件中恰23 34有一个一等品的概率为：P(A )P( B)P(A) P( )P( )P(B)B A B A .23 (1 34) (1 23) 34 5124有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 ，乙能解决的概率是 ，2 人试12 13图独立地在半小时内解决它，则 2 人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_解析：甲、乙两人
16、都未能解决为 ，(1 12)(1 13) 12 23 13问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题P1 .13 23答案： 13 235.在如图所示的电路图中，开关 a，b，c 闭合与断开的概率都是 ，且是相互独立的，12则灯亮的概率是_解析：设“开关 a，b，c 闭合”分别为事件 A，B，C ，则灯亮这一事件为ABCAB A C，且 A，B ，C 相互独立，C BABC，AB ，A C 互斥，所以C BPP( ABC)P(AB )P(A C)C BP(A )P(B)P(C)P(A )P(B)P( )P(A) P( )P(C)C B .12 12 12 12 12 (1 12) 12 (1 1
17、2) 12 38答案：386天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为 0.2，乙地的降雨概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为 P10.20.30.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P2(10.2) (10.3)0.8 0.70.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P31P 210.560.44.一、选择题1一枚硬币连掷三次，至少出现一次正面向上的概率是( )A. B.18 14C. D.12 78解析：选 D 一枚硬币连掷三
18、次，每次结果互不影响，相互独立至少出现一次正面朝上的对立事件为三次全为正面朝下，概率为 1 .121212 782荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是( )A. B.13 29C. D.49 827解析：选 A 青蛙跳三次要回到 A 只有两条途径：第一条：按 ABCA，P1 ；23 23 23 827第二条，按 ACBA，P2 ，13 13 13 127所以跳三次之后停在 A 叶上的概率为PP 1P 2 .827 127 13
19、3国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， .假定13 14 15三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( )A. B.5960 35C. D.12 160解析：选 B 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， .因此，他们不去北京旅游1314 15的概率分别为 ，所以，至少有 1 人去北京旅游的概率为 P1 .233445 23 34 45 354从甲袋内摸出 1 个红球的概率是 ，从乙袋内摸出 1 个红球的概率是 ，从两袋内各13 12摸出 1 个球，则 等于( )23A2 个球不都是红球的概率B2 个球都是红球的概率C至少有
20、1 个红球的概率D2 个球中恰好有 1 个红球的概率解析：选 C 至少有 1 个红球的概率是 .13 (1 12) 12 (1 13) 12 13 23二、填空题5甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为_解析：设从甲袋中任取一个球，事件 A：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球” ，A从乙袋中任取一个球，事件 B：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球” B事件 A 与 B 相互独立，事件 与 相互独立A B从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB )P (AB)P( )A B A BP(A )P(B)P( )P
21、( )A B .23 12 13 12 12答案：126红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A，B，C 进行围棋比赛，甲对 A，乙对 B，丙对C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立则红队至少两名队员获胜的概率为_解析：记甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘中甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件D，E ， F，则甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件 D，E，F，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为：PP( DEF)P (DEF)P (DEF)P( DEF)P(D)P(E) P(F)P( D)P(E)P
22、(F)P(D)P(E)P( F)P(D )P(E)P(F)0.60.5(10.5)0.6(10.5) 0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.答案：0.557某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_解析：此选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮，说明此选手第 2 个问题回答错误，第 3、第 4 个问题均回答正确，第 1 个问题答对答错都可以因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为
23、 10.20.820.128.答案：0.1288甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A 2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_( 写出所有正确结论的编号) P(B ) ；25P(B |A1) ；511事件 B 与事件 A1 相互独立；A 1，A 2，A 3 是两两互斥的事件；P(B )的值不能确定，因为它与 A1，A 2，A 3 中究竟哪一个发生有关解析：对，P(B ) ；C15C10 C
24、15C1 C15C10 C14C1 922，P(B| A1) ；C15C1 511，由 P(A1) ，P(B) ，P(A 1B) 知12 922 522P(A1B)P (A1)P(B)，故事件 B 与事件 A 不是相互独立事件；从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他颜色的球，故两两互斥；由可算得答案：三、解答题9为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的 ， .现有 3 名工人独立地从1213 16中任选一个项目参与建设求：(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)至少有 1 名工人选择的项目属于民生工
25、程的概率解：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai，B i，C i，i1,2,3.由题意知 A1，A 2，A 3 相互独立， B1，B 2，B 3 相互独立，C1，C 2，C 3 相互独立，A i，B j，C k(i，j ，k1,2,3，且 i，j ，k 互不相同)相互独立，且 P(Ai) ，P (Bi) ，P(C i) .12 13 16(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率PA P(A1B 2C 3)36P(A 1)P(B2)P(C3)6 .12 13 16 16(2)至少有 1 名工人选择的项目属于民生工程的概率P1P ( )B1 B2 B
26、31P( )P( )P( )B1 B2 B31 3 .(1 13) 192710甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率解：记“甲射击一次，击中目标”为事件 A， “乙射击一次，击中目标”为事件 B.“两人都击中目标”是事件 AB；“恰有 1 人击中目标”是 A B；“至少有 1 人击中BA 目标”是 ABA B.B A (1)显然， “两人各射击一次，都击中目标”就是事件 A B，又由于事件 A 与 B 相互独立，P(AB) P( A)P(B)0.80.80.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即 A )，另一种是甲未击中乙击中(即 B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时B A 不可能同时发生，即事件 A 与 B 是互斥的，所以所求概率为B A PP( A )P( B )P(A) P( )P( )P(B)0.8(10.8) (10.8)B A B A 0.80.160.160.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为 PP( AB)P (A )P(B B )A 0.640.320.96.