1、54 复数的几何表示读教材填要点1复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数 za bi(a，bR)一一对应复平面内的点 P(a，b)；(2)复数 za bi(a，bR)一一对应平面向量 ( a，b)OP 3复数的模复数 zabi(a，bR)对应的向量为 ，则 的模叫作复数 z 的模，记作|z| ，且 OP OP |z| .a2 b24共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数 zabi(a，bR)，将复数 abi 称为原来的复数 z 的共轭复数，记作： .z(2)性质： z；
2、z复平面上两点 P，Q 关于 x 轴对称 它们所代表的复数相互共轭5复数加减法的几何意义如图：设复数 z1，z 2 对应向量分别为 ， ，四边形 OPSQ 为平OP OQ 行四边形，则与 z1z 2 对应的向量是 ，与 z1z 2 对应的向量是 .OS 小问题大思维1平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点2若复数(a1)ai( aR)在复平面内对应的点 P 在第二象限，则 a 的取值范围是什么？提示：由题意知Error!即 03.答案：(3，)5复数 zsin icos ，则|z|_.3 6解析：z i，32 32|z| .(32)2 ( 32)2 62答案：626在复
3、平面上，复数 i,1,4 2i 的对应的点分别是 A，B，C ，求平行四边形 ABCD 的D 点所对应的复数解：法一：由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则 AC 的中点 E ，(2，32)由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x， y)，则Error!Error!即 D(3,3)，D 点对应的复数为 33i.法二：由已知： (0,1)， (1,0)， (4,2) OA OB OC (1,1)， (3,2)BA BC (2,3)BD BA BC (3,3)OD OB BD 即点 D 对应的复数为 33i.一、选择题1.若 i 为虚数单位，如图中复平面内点 Z 表示
4、复数 z，则表示复数 的点是( )z1 iAE BFCG DH解析：由题图可得 z3i，所以 2i ，z1 i 3 i1 i 3 i1 i1 i1 i 4 2i2则其在复平面上对应的点为 H(2，1)答案：D2已知 0a2，复数 zai(i 是虚数单位)，则|z| 的取值范围是 ( )A(1， ) B(1， )3 5C(1,3) D(1,5)解析：|z| ，0a2，a2 11 a215，|z|(1， )5答案：B3设复数 z 满足条件 z| z|2i ，那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34解析：法一：设 zxy i(x， yR)，则 xyi 2i.x2 y2
5、Error!解得Error!z i.34法二：|z|R，由复数相等的充要条件可知：若等式 z|z|2i 成立，则必有虚部为 1，故可设 zxi( xR)，代入原等式有：x 2，x2 1解得 x ，所以 z i.34 34答案：D4若 x，yR，i 为虚数单位，且 xy( xy)i3i ，则复数 xyi 在复平面内所对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：xy(xy)i3i，Error!解得Error!复数 12i 所对应的点在第一象限答案：A二、填空题5在复平面内表示复数 z(m 3)2 i 的点在直线 yx 上，则实数 m 的值为m_解析：由表示复数 z(m3)2
6、i 的点在直线 yx 上，得 m32 ，解得 m9.m m答案：96设复数 z 满足 z234i(i 是虚数单位)，则 z 的模为_解析：设 zabi(a，bR)，则 z2a 2b 22abi34i，Error!解得Error!或Error!|z| .a2 b2 5答案： 57复数 z1cos isin (0 ，得 m5.即当 m5 时，z 的对应点在 x 轴上方(5)由(m 25m 6)(m 22m 15) 50，得 m 或 m . 3 414 3 414即当 m 或 m 时，z 的对应点在直线 xy50 上 3 414 3 41410设 zxyi(x ，yR)，若 1|z| .试问复数 wx y( xy)i 的对应点的集合2表示什么图形，并求其面积解： |z| 且 1| z| ，x2 y2 21 x2 y22.又|w | ，x y2 x y2 2x2 2y2 | w|2.2令 wmni(m，nR)，则 2，2 m2 n2即 2m 2n 24.故 w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为 和 2 的圆环内点的集合 (含内外圆周)，2其面积 S2 2( )22.2