1、63 数学归纳法读教材填要点数学归纳法的概念及步骤一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 nn 0(n0N )时命题成立；(2)假设 nk(kn 0，kN )时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何从 n0 开始的所有正整数 n 都成立上述证明方法叫作数学归纳法小问题大思维1数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1?提示：不一定，如证明 n 边形的内角和为(n2)180时，第一个值为 n03.2数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证这两个
2、步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对 n 取 n0 后的数时结论是否正确做出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明： (n2，nN )(1 14)(1 19)(1 116) (1 1n2) n 12n自主解答 当 n2 时，左边1 ，14 34右边 ，2 122 34左边右边假设 nk(k2，k N )时结论成立，即 .(1 14)(1 19) (1 1k2) k 12k那么 nk1 时，利用归纳假设有：(1 14)(1 19) (1 1k2)1 1k 12 .k 12k1 1k 12
3、 k 12k kk 2k 12 k 22k 1 k 1 12k 1即 nk1 时等式也成立综合知，对任意 n2，nN 等式恒成立用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值(2)由 nk 到 nk1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 nk 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明1用数学归纳法证明：1 (nN )12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n证明：(1)当 n1 时，左边1 右边，所以等式成立12 12 11 1(2)
4、假设 nk(kN )时等式成立，即 1 ，12 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k则当 nk1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 (1k 1 1k 2 12k) 12k 1 12k 2 (1k 2 1k 3 12k 12k 1) ( 1k 1 12k 2) .1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 1所以 nk1 时等式也成立由(1)(2)知等式对任意 nN 都成立用数学归纳法证明不等式证明不等式 1 0，得 ak1 1)时，第一步应验证不等式( )12 13 12n 1A1 1 且 nN ， n0 取的第一个值 n02.答案
5、：B2某个命题与自然数 n 有关，如果当 nk(kN )时，该命题成立，那么可推得当nk1 时命题也成立，现在已知当 n5 时，该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立D当 n4 时该命题成立解析：若 n4 时成立，则 n41 时也成立，与已知矛盾，故 n4 时不成立答案：C3用数学归纳法证明“122 22 n2 2 n3 1” ，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为( )A1 B12C122 2 D122 22 3解析：当 n1 时，左边122 22 3.答案：D4用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n，总有 2nn3”时
6、，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0 最小应当是_解析：2 101 02410 3,295129 3，第一个值 n0 最小应当是 10.答案：105用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，x ny n能被 x y 整除” ，当第二步假设n2k1( kN )命题为真时，进而需证 n_时，命题亦真解析：n 为正奇数，假设 n2k1 成立后，需证明的应为 n2k1 时成立答案：2k16设 f(n)1 (nN )12 13 1n求证：f(1)f(2)f(n1)n (n2，nN )fn 1证明：(1)当 n2 时，左边f(1)1.右边2 1，左边右边，等式成立1 12 1(2)假设 nk 时，结论成
7、立，即f(1)f(2)f(k1)k ，fk 1那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)k f(k)( k1) f(k)kfk 1(k1) k(k1)f(k1)( k1)(k1) ，fk 1 1k 1 fk 1 1当 nk1 时结论仍然成立f(1)f (2)f(n1)n (n2，nN )fn 1一、选择题1若命题 p(n)对 nk 成立，则它对 nk 2 也成立，又已知命题 p(2)成立，则下列结论正确的是( )Ap(n) 对所有自然数 n 都成立Bp(n)对所有正偶数 n 都成立Cp(n)对所有正奇数 n 都成立Dp(n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立解析：由递推规则可知
8、选 B.答案：B2用数学归纳法证明“1aa 2a n1 (a1，nN )”，在验证1 an 21 an1 成立时，左边计算所得的项是( )A1 B1aC1aa 2 D1aa 2a 3解析：当 n1 时，n12，所以左边1aa 2.答案：C3已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明“1 2 ”时，若已假设 nk( k2 为偶数)12 13 14 1n 1 ( 1n 2 1n 4 12n)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )Ank1 时等式成立 Bnk 2 时等式成立Cn2k2 时等式成立 Dn2( k2)时等式成立解析：因为假设 nk( k2 为偶数)，故下一个偶数为 k2.答案：B4用数学归纳
9、法证明“1 22 2(n1) 2n 2(n1) 22 21 2 ”n2n2 13时，由 nk 的假设到证明 nk1 时，等式左边应添加的式子是( )A(k 1)22k 2 B(k1) 2k 2C(k1) 2 D. (k1) 2(k1) 2113解析：当 nk 时，左边1 22 2(k1) 2k 2(k 1)22 21 2，当 nk1 时，左边1 22 2(k1) 2k 2(k1) 2k 2(k1) 22 21 21 22 2(k 1) 2k 2(k1) 22 21 2k 2( k1) 2.答案：B二、填空题5用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n1(nN *)的过程如下：当 n1 时，左
10、边2 01，右边2 111，等式成立假设 nk(k1，且 kN *)时，等式成立，即122 22 k1 2 k1.则当 nk1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，1 2k 11 2所以当 nk1 时，等式也成立由知，对任意 nN *，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从 nk 到 nk1 时，直接用的等比数列前 n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设6用数学归纳法证明 123n 2 ，则当 nk1 时左端应在 nk 的基n4 n22础上加上的项为_解析：当 nk 时左端为 123k(k1)(k2)k 2，则当 nk1 时，左端为123
11、k 2( k21)( k22) (k1) 2，故增加的项为(k 21)(k 22)(k1) 2.答案：(k 21)(k 22)(k1) 27用数学归纳法证明“(n 1)(n2)(nn) 2 n12(2n1)( nN )”时，从 nk到 nk1 时，左边应增添的式子是_解析：当 nk 时，左边( k1)(k2)(kk)，当 nk1 时，左边( k2)(k3)( kk)(k1k)( k1k1)( k2)(k3)( kk)(2 k1)2(k1)所以，左边应增添的式子是 2(2k1) 答案：2(2k1)8用数学归纳法证明“n 35n(nN )能被 6 整除”的过程中，当 nk1 时，式子(k1) 35
12、( k 1)应变形为_解析：证明当 nk1 时，n 35n 能被 6 整除，一定要用到归纳假设“k 35k 能被 6整除” 故需将(k 1) 35(k 1)化成含有(k 35k)的形式，使用拼凑法答案：(k 35k)3k(k1)6三、解答题9将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6) ，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15) ，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S 3S 5S 2n1 的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192
13、021111，解：由题意知，当 n1 时，S 111 4；当 n2 时，S 1S 3162 4；当 n3 时，S 1S 3S 5813 4；当 n4 时，S 1S 3S 5S 72564 4；猜想：S 1S 3S 5S 2n1 n 4.下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，S 111 4，等式成立(2)假设当 nk(kN )时等式成立，即 S1S 3S 5S 2k1 k 4，那么，当 nk1 时，S 1S 3S 5S 2k1 S 2k1k 4(2k 2k1)(2k 2k2)(2 k2k2k1)k 4(2 k1)(2k 22k 1)k 44k 36k 24k1(k1) 4，这就是说，当 nk
14、1 时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的 nN ，S 1S 3S 5S 2n1 n 4 都成立10用数学归纳法证明(n 21)2(n 22 2)n(n 2n 2) n2(n21)( nN )14证明：(1)当 n1 时，左边0，右边0，等式成立(2)假设 nk 时，等式成立，即(k21)2(k 2 22)k( k2k 2) k2(k21)成立14当 nk1 时，(k1) 21 22(k1) 22 2k(k1) 2k 2 (k1)(k1) 2( k1) 2(k 21 2)(2k 1)2(k 22 2)(2 k1) k(k2k 2)(2 k1)(k 21 2)2(k 22 2)k(k 2k 2)(2k 1)(12k) k2(k21) (2k1) k(k1)14 12 (k 1)2(k1) 2114所以当 nk1 时，等式成立由(1)(2)，可知等式对任何 nN 都成立