1、43 导数在研究函数中的应用43.1 利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负 函数在(a，b)上的单调性f(x)0 单调递增f(x)0，则 f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如 yx 3 在 R 上为增函数，但其在 0 处的导数等于零也就是说 f(x )0 是 yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数 yf( x)的图象，则函数 yf (x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：( ，3 ，2,1 ，3，)；单调递减区间：3，2，1,3判断(或证明)函数的单调性已知函数 f(x)ax
2、33x 21 ，讨论函数 f(x)的单调性3a自主解答 由题设知 a0.f ( x)3ax 26x 3ax ，(x 2a)令 f(x )0，得 x10，x 2 .2a当 a0 时，若 x(，0) ，则 f( x)0.f(x)在区间 (，0)上为增函数若 x ，则 f(x )0，(2a， )f(x)在区间 上是增函数(2a， )当 a0.(2a，0)f(x)在区间 上为增函数(2a，0)若 x(0，)，则 f(x)0，即 f(x )0.f(x)在(0，)内为增函数当 x(，0)时，e x10，即 0，6x2 1xx0，6x 210，x .令 f(x)0，6x 210(ax 2)x0 x0x0 或
3、 x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f( x)0)，则 h(x) 0，从而 f(x)0；当 x1 时，h( x) 有解1x2 2x设 G(x) ，所以只要 aG(x)min 即可1x2 2x而 G(x) 21，所以 G(x)min1.(1x 1)所以 a1.即实数 a 的取值范围是( 1，)(2)因为 h(x)在1,4上单调递减，所以 x1,4时，h(x) ax 20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x所以 aG(x) max.而 G(x) 21.(1x 1)因为 x1,4，所以 .1x14，1所以 G(x)max (此时 x4)716所以 a .716当 a 时，h
4、(x) x2716 1x 716 .16 7x2 32x16x 7x 4x 416xx1,4， h(x ) 0.7x 4x 416x即 h(x)在1,4上为减函数故实数 a 的取值范围是 . 716， )若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增” ，如何求 a 的取值范围？解： h(x)在1,4 上单调递增，x1,4时，h(x ) ax20 恒成立1x即 a 恒成立1x2 2x设 G(x) ，只需 aG(x) min.1x2 2x又 G(x) 21，x1,4， .(1x 1) 1x14，1G(x)min1， a1.经验证：a1 时，h(x)在1,4上单调递增，综上所述，a 的取值范围为( ，
5、1 已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f(x)0( 或 f(x )0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若 f( x)为二次函数，可以由 f(x)0( 或 f(x) 0)恒成立求出参数的取值范围3已知 a0，函数 f(x)(x 22ax)e x，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是( )A. B.(0，34) (12，34)C. D.34， ) (0，12)解析：f(x) (2x2a)e x(x 22ax)e x x2(2 2a)x2ae x，由题意当 x1,1时，f(x) 0 恒成立，即 x2
6、(2 2a)x 2a0 恒成立令 g(x)x 2(22a)x2a，则有Error!即Error!解得 a .34答案：C证明：方程 x sin x0 有唯一解12巧思 方程 f(x)0 的解即曲线 yf (x)与 x 轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决妙解 设 f(x)x sin x，当 x0 时，f (0)0，12所以 x0 是方程 x sin x0 的一个解12因为 f(x) 1 cos x，12且 xR 时，f( x)0 总成立，所以函数 f(x)在 R 上单调递增所以曲线 f(x)x sin x 与 x 轴只有一个交点12所以方程 x sin x0 有唯一解121函数 f(x)
7、x 33x 21 的单调递减区间为 ( )A(2，) B(，2)C(，0) D(0,2)解析：f(x) 3x 26x 3x (x2) ，令 f(x )0，结合 4x 4，得4x0，12x 1x所以 f(x)在(0，)上是增函数，所以有 f(2)3 或 x0，所以 yf(x) 在(，1)和(3，)上单调递增综上，函数 yf( x)的图象的大致形状如 A 中图所示，所以选 A.答案：A4f(x)，g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0；当 x(1,0) 时，f(x)0.故 f(x) 在(，1)，(0 ，) 上单调递增，在(1,0)上单调递减答案：(，1)和(0 ，) (1,0)8
8、已知函数 f(x) 2x 2 ln x(a0)若函数 f(x)在1,2 上为单调函数，则 a 的取值3xa范围是_解析：f(x) 4x ，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，3a 1x即 f(x ) 4x 0 或 f (x) 4x 0 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x，即 4x 或 4x 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x令 h(x)4x ，则 h(x)在1,2上单调递增，1x所以 h(2)或 h(1) ，即 或 3，3a 3a 3a 152 3a又 a0，所以 0a 或 a1.25答案： 1，)(0，25三、解答题9已知函数 f(x) ln x ，其中 aR ，且曲线 yf(x
9、)在点(1，f(1)处的切线垂x4 ax 32直于直线 y x.12(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)对 f(x)求导得 f( x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x12知 f(1) a2，解得 a .34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ，x4 54x 32则 f(x ) ，x2 4x 54x2令 f(x )0，解得 x1 或 x5，因 x1 不在 f(x)的定义域(0，) 内，故舍去当 x(0,5)时，f(x )0，故 f(x)在(5 ，)内为增函数10已知函数 f(x)aln x ax3(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：当 x(1，) 时，f (x)20.解：(1)根据题意知，f ( x) (x0)，a1 xx当 a0 时，则当 x(0,1)时，f(x)0，当 x(1，)时，f(x)f(1)即 f(x)2，所以 f(x)20.