1、53 复数的四则运算读教材填要点复数的四则运算一般地，设 z1abi，z 2cdi(a，b，c，dR)，有(1)加法：z 1z 2ac(b d)i.(2)减法：z 1z 2ac(b d)i.(3)乘法：z 1z2( abi)(c di) (acbd)( adbc )i.(4)除法： i(cdi0)z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2小问题大思维1若复数 z1，z 2 满足 z1z 20，能否认为 z1z2?提示：不能如 2ii0，但 2i 与 i 不能比较大小2复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平
2、方公式和平方差公式3如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化复数的加减运算已知 z1(3xy)( y4x)i，z 2(4 y2x)(5x3y)i(x ，yR)，若 z1z 2 132i，求 z1，z 2.自主解答 z 1z 2(3xy) (y4x)i(4y2x)(5 x 3y)i(3xy)(4y 2x) ( y 4x)(5 x3y )i(5x 3y)(x4y)i.又 z1 z2132i，(5 x3y)( x4y)i132i.Error!解得Error!z1 (321)(14
3、2)i59i.z24( 1)22523(1)i87i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减1(1)计算： (2i) .(13 12i) (43 32i)(2)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z.解：(1) (2i)(13 12i) (43 32i) i1i.(13 2 43) (12 1 32)(2)法一：设 z xyi(x ，y R)，因为 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i.法二：因为 z13i52i，所以 z(52i)(13i) 4 i.复数的乘除运算计算：(1)(1
4、i)(1i) (1i)；(2) (1i)；( 12 32i)( 32 12i)(3)(2 3i)(12i)；(4)(529 i)(73 i)5 5自主解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i 2(1i)21i1i.(2) (1i)( 12 32i)( 32 12i) (1i)( 34 34) (34 14)i (1i)( 32 12i) i( 32 12) (12 32) i.1 32 1 32(3)原式 2 3i1 2i 2 3i1 2i1 2i1 2i i. 2 6 3 4i12 22 45 75(4)原式 5 295i7 35i 5 295i7 35i7 35i7 35i35 2915
5、155 2975i72 352 52 i.470 1885i94 5(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化 ”即可2(1)已知复数 z148i，z 269i，求复数( z1z 2)i 的实部与虚部；(2)已知 z 是纯虚数， 是实数，求 z.z 21 i解：(1)由题意得 z1z 2(48i)(69i)(46) (8i 9i)2i ，则(z 1z 2)i(2i)i2ii 212i.于是复数(z 1z 2)i 的实部是 1，虚部是2.(2)设纯虚数 z bi(bR)，则 .z 21
6、 i bi 21 i bi 21 i1 i1 i b 2 b 2i2由于 是实数，所以 b20，即 b2，所以 z2i.z 21 i复数范围内的方程问题若关于 x 的方程 x2(12i)x(3m 1)i0 有实根，求纯虚数 m 的值自主解答 设 mbi( b0)，x 0 为一实根，代入原方程得 x (1 2i)x 0(3bi1)i0.20(x x 03b)(2x 01)i0.20Error!解得Error!m i.112若将“求纯虚数 m”改为“求实数 m”，如何求解？解：x 2(1 2i)x(3 m1)i0，即(x 2 x)(2 x3m1)i0，Error!Error!或Error!即 m
7、或 .13 13复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决3已知关于 x 的方程 x2kxi 0 有一根是 i，求 k 的值解：因为 i 为方程 x2kxi0 的一个根，所以代入原方程，得 i2k ii 0.所以 k 1i.1 ii 1 iii2计算：1ii 2i 3i 2 018.解 法一：ii 2i 3i 4 0，i ni n1 i n2 i n3 0.1 ii 2i 3i 2 0181ii 2(i 3i 4i 5i 6)(i 7i 8i 9i 10)(i 2 015 i2 016i 2 017i 2 018)1ii 2i.法二：1ii 2i 2 018 1 i2 0191
8、i 1 i5044 31 i i.1 i31 i 1 i1 i1(62i) (3i1)等于( )A33i B55iC7i D55i解析：(62i) (3i1)(61)( 23)i55i.答案：B2(全国卷) ( )3 i1 iA12i B12iC2i D2i解析： 2i.3 i1 i 3 i1 i1 i1 i 4 2i2答案：D3已知复数 z1i，则 ( )z2 2zz 1A2i B2iC2 D2解析：法一：因为 z1i，所以 2i.z2 2zz 1 1 i2 21 i1 i 1 2 i法二：由已知得 z1i，而 2i.z2 2zz 1 z 12 1z 1 i2 1 i 2i答案：B4若 z
9、时，求 z2 018 z102_.1 i2解析：z 2 2i.( 1 i2)z2 018z 102( i) 1 009(i) 51(i) 1 008(i)(i) 48(i) 3ii0答案：05已知复数 z1a 23i，z 22aa 2i，若 z1z 2 是纯虚数，则实数 a_.解析：由条件知 z1z 2a 22a3( a21)i ，又 z1z 2 是纯虚数，所以Error!解得 a3.答案：36已知复数 z .1 i2 31 i2 i(1)求复数 z；(2)若 z2azb1i，求实数 a，b 的值解：(1)z 1i. 2i 3 3i2 i 3 i2 i 3 i2 i5(2)把 z 1i 代入得
10、(1 i) 2a(1 i) b1i，即 ab(2a)i1i，所以Error!解得Error!1设 i 为虚数单位，则 ( )5 i1 iA23i B23iC23i D23i解析： 23i.5 i1 i 5 i1 i1 i1 i 4 6i2答案：C2(山东高考)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi1i，则 z2( )A2i B2iC2 D2解析：z i1i， z 11i.1 ii 1iz2 (1i) 21i 22i2i.答案：A3若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0C1 D2解析：(2ai)( a2i)4i，4a(a 24)i 4i.Error!解得 a0.
11、答案：B4已知 z123i，z 2 ，则 ( )3 2i2 i2 z1z2A43i B34iC34i D43i解析：z 1 23i，z 2 ，3 2i2 i2 z1z2 2 3i2 i23 2i i3 2i2 i23 2ii(2i) 2(3 4i)i43i.答案：D二、填空题5复数 的虚部是_1 2 i 11 2i解析： (2i) (12i) i，1 2 i 11 2i 15 15 15 15虚部是 .15答案：156若复数 z 满足 zi(2z)(i 是虚数单位)，则 z_.解析：z i(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z 1i.2i1 i答案：1i7(天津高考)已知 aR，i 为虚数单
12、位，若 为实数，则 a 的值为_a i2 i解析：由 i 是实数，得 0，所以 a2.a i2 i a i2 i2 i2 i 2a 15 2 a5 2 a5答案：28若 zi1 是方程 z2az b0 的一个根，则实数 a，b 的值分别为_，_.解析：把 zi1 代入方程 z2azb0，得(ab) (a2)i0，即Error!解得 a2，b2.答案：2 2三、解答题9复数 z ，若 z2 0，求纯虚数 a.1 i2 31 i2 i az解：z 1i.1 i2 31 i2 i 2i 3 3i2 i 3 i2 ia 为纯虚数，设 ami(m0)，则 z2 (1i) 2 2i i 0.az mi1 i mi m2 m2 (m2 2)Error!m 4.a4i.10已知 x，yR，且 ，求 x，y 的值x1 i y1 2i 51 3i解： ，x1 i y1 2i 51 3i .x1 i2 y1 2i5 51 3i10即 5x(1 i)2y(1 2i)515i.(5x2y) (5 x4y)i515i.Error!解得Error!