1、43.2 函数的极大值和极小值读教材填要点1极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数 yf(x) 在区间( a，b)内有定义，x 0 是( a，b)内的一个点，若点 x0 附近的函数值都小于 f(x0)(即 f(x)f(x 0)，x( a，b)，就说 f(x0)是函数 yf (x)的一个极大值，x 0 称为 f(x)的一个极大值点(2)极小值点与极小值：设函数 yf(x) 在区间( a，b)内有定义，x 0 是( a，b)内的一个点，若点 x0 附近的函数值都大于 f(x0)(即 f(x)f(x 0)，x( a，b)，就说 f(x0)是函数 yf (x)的一个极小值，x 0 称为 f(x)的
2、一个极小值点极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点2极大值与极小值的判断(1)如果 f(x)在(a，x 0上递增，在x 0，b)上递减，则 f(x)在 xx 0 处取到极大值；(2)如果 f(x)在(a，x 0上递减，在x 0，b)上递增，则 f(x)在 xx 0 处取到极小值3极值的求法(1)求导数 f(x)；(2)求 f(x)的驻点 ，即求 f( x)0 的根；(3)检查 f(x) 在 驻点左右的符号，得到极大值或极小值小问题大思维1导数为 0 的点都是极值点吗？提示：不一定yf( x)在 x x0 及附近有定义，且 f(x 0)0，yf(x )是否在 xx 0 处取得极值
3、，还要看 f(x )在 x0 两侧的符号是否异号例如 f(x)x 3，由 f(x) 3x 2 知 f(0)0，但 x0 不是 f(x)x 3 的极值点2函数 f(x)的定义域为开区间(a，b) ，导函数 f( x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b) 内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a， x1)，(x 2,0)，(0，x 3)内 f( x)0；在区间( x1，x 2)，( x3，b)内 f (x)0 且 f(x)极小值 0 恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当 a0 时，令 f(x) 0，得 x1 ，x 2 ，a a当 x 变化时，f(
4、x)与 f(x)的变化如下表：x (， )a a ( ， )a a a ( ，a)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 因此，函数 f(x)的单调递增区间为(， )和( ，)，单调递减区间为( ，a a a)，a此时 x 是 f(x)的极大值点，x 是 f(x)的极小值点a aa 为何值时，方程 x33x 2a0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？巧思 方程 x33x 2a0 根的个数，即为直线 ya 和函数 f(x)x 33x 2 图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数 f(x)x 33x 2 的图象，然后借助图象判断根的个数妙解 令 f(x)
5、x 33x 2，则 f(x)的定义域为 R，由 f(x )3x 26x 0，得 x0 或 x2.所以当 x0 或 x2 时，f(x) 0；当 0x2 时，f( x)0.函数 f(x)在 x0 处有极大值 0，在 x2 处有极小值4，如图所示，故当 a0 或 a4 时，原方程有一个根；当 a0 或 a4 时，原方程有两个不等实根；当4a0 时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根1若函数 f(x)x 3ax 23x 9 在 x3 时取得极值，则 a 等于( )A2 B3C4 D5解析：f(x) 3x 22ax 3，由题意知 f(3) 0，即 3(3) 22( 3)a30，解得 a
6、5.答案：D2.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1x)f( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：由题图可知，当 x0；当22 时，f(x )0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值答案：D3若 a0，b0，且函数 (x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2
7、 B3C6 D9解析：函数的导数为 (x) 12x22ax2b，由函数 (x)在 x1 处有极值，可知函数 (x)在 x1 处的导数值为零，即 122a2b0，所以 ab6.由题意知 a，b 都是正实数，所以 ab 2 29，(a b2 ) (62)当且仅当 ab3 时取到等号答案：D4若函数 f(x)x 36x 2 m 的极大值为 13，则实数 m 等于_解析：f(x) 3x 212x 3x(x4) 由 f( x)0，得 x0 或 x4.当 x(，0)(4，)时，f ( x)0；x(0,4)时，f (x) 0，x 4 时 f(x)取到极大值故 6496m 13，解得 m19.答案：195若函
8、数 f(x)x 3x 2ax 4 在区间( 1,1)上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为_解析：由题意，f(x )3x 22xa，则 f(1) f(1)0；当 x(2，ln 2)时，f(x )0，即 x(0,2)(4，)时，f(x)0，a0，所以 f(x)在(2,0)，(1 ，) 上单调递增；在(，2)，(0,1) 上单调递减10设函数 f(x) x3bx 2 cxd(a0)，且方程 f(x) 9x0 的两个根分别为 1,4.a3(1)当 a3 且曲线 yf(x )过原点时，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)在( ，)内无极值点，求 a 的取值范围解：由 f(x) x3bx 2cxd，a3得 f(x )ax 22bx c .因为 f(x) 9xax 22bx c9x0 的两个根分别为 1,4，所以Error!(*)(1)当 a3 时，由(*) 式得Error!解得 b3，c12.又因为曲线 yf( x)过原点，所以 d0，故 f(x)x 33x 212x .(2)由于 a0，所以“f (x) x3bx 2cxd 在(，)内无极值点a3”等价于“f(x )ax 22bx c0 在( ，)内恒成立 ”由(*)式得 2b95a，c4a.又 (2b) 24ac9(a1)( a9)解Error!得 a1,9即 a 的取值范围是1,9