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2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:第4章 章末小结(含解析)

1、1导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率;导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度2函数的单调性与导数(1)在某个区间内,若 f( x)0(或 f(x)0 或 f( x)0 或 f(x)0 或 f( x) ,其中 x1.2x 1x 1证明:设 f(x)ln x (x1),2x 1x 1则 f(x ) .1x 4x 12x1,f(x)0,f(x)在(1,)内为单调增函数又 f(1) 0, 当 x1 时,f(x )f(1)0,即 ln x 0,ln x .2x 1x 1 2x 1x 14已知函数 f(x)x 2aln x.(1)当 a2 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)若 g(x

2、)f(x) 在1 ,) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围2x解:(1)易知函数 f(x)的定义域为(0 ,),当 a2 时,f(x )x 22ln x,f(x)2x .2x 2x 1x 1x令 f(x )0,得 x1;令 f( x)0 ;当 x(1,2)时,f(x )0.当 x 1 时,f( x)取极大值 f(1)58c.又 f(3)98cf(1) ,f(0)8cf(1),x0,3时,f(x)的最大值为 f(3)98c.对任意的 x0,3,都有 f(x)9.c 的取值范围为( ,1)(9,).导数与不等式例 4 已知函数 f(x)x 2ex1 x3x 2.13(1)讨论函数 f(x)的单

3、调性;(2)设 g(x) x3x 2,试比较 f(x)与 g(x)的大小23解 (1)f(x)x( x2)(e x1 1),由 f(x )0,得 x12,x 20,x 31.当21 时,f(x)0;当 xh(1) 0.当 x1 时,h(x)0,即函数 h(x)在(1,)上单调递增,因此当 x1 时,h(x)h(1) 0.当 x1 时,h(1)0.所以对任意实数 x 都有 h(x)0,即 f(x)g( x)0,故对任意实数 x,恒有 f(x)g(x)利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等 ),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小) 常与函数最值问题有关

4、因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解7已知 f(x)ln x xa1.(1)若存在 x(0,)使得 f(x)0 成立,求 a 的取值范围;(2)求证:当 x1 时,在(1) 的条件下, x2axaxln x 成立12 12解:(1)原题即为存在 x0 使得 ln xxa10,a ln xx1,令 g(x)ln xx 1,则 g(x) 1 .1x x 1x令 g(x) 0,解得 x1.当 0x1 时, g( x)0,g(x)为减函数,当 x1 时,g( x)0,g( x)为增函数,g(x)ming(1)0,ag(1

5、) 0.故 a 的取值范围是0,)(2)证明:原不等式可化为x2axxln xa 0(x 1,a0)12 12令 G(x) x2ax x ln xa ,则 G(1)0.12 12由(1)可知 xln x 10,则 G(x) xaln x1xln x10,G(x)在(1,)上单调递增,G(x)G(1)0 成立, x2axxln xa 0 成立,12 12即 x2axax ln x 成立12 12导数的实际应用例 5 如图,四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域,地域内有一条河流 MD,其经过的路线是以 AB 中点 M 为顶点且开口向右的抛物线( 河流宽度忽略不计)新长城公司准备投

6、资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积解 以 M 为原点,AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则 D(4,2)设抛物线方程为 y22px .点 D 在抛物线上,22 8p.解得 p .12抛物线方程为:y 2x(0x4) 设 P(y2,y)(0y2) 是曲线 MD 上任一点,则|PQ|2y,|PN| 4y 2.矩形游乐园面积为S|P Q|PN|(2y )(4y 2)8y 32y 24y.求导得:S3y 24y 4,令 S0,得 3y24y40,解得 y 或 y2(舍) 23当 y 时,S0,函数为增函数;(0,23)当 y 时,S1 7501 000

7、0,当 x 50,即年产量为 50 000 吨时,利润最大,最大利润为(1 000ln 50250)万元.定积分的应用例 6 求正弦曲线 ysin x 与余弦曲线 ycos x 在 x 到 x 之间围成的图形34 54的面积解 如图,画出 ysin x 与 ycos x 在 上的图象, 34,54它们共产生三个交点,分别为 , , .( 34, 22) (4,22) (54, 22)在 上,cos xsin x , 在 上,sin xcos x.( 34,4) (4,54)面积 S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx2 (sin xcos x)dx.取 F(x)(sin

8、 xcos x ),S2 4 .F(54) F(4) 2不规则图形的面积可用定积分求,关键是确定定积分上、下限及被积函数,积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标9曲线 C:y 2x33x 22x1,点 P ,求过点 P 的切线 l 与 C 围成的图形的面(12,0)积解:设切点 A(x0,y 0),则 y6x 6x 02,切线 l:20y2x 3x 2x0130 20(6x 6x02)(xx 0)过 P ,20 (12,0) 2x 3x 2x 016x 6x 02 .30 20 20 12 x0即 x0(4x 6x 0 3)0.20x0 0, y01,A(0,1)切线 l 的方程为 y12(x

9、0)2x y10.Error!Error!B .(32, 2)S (3x22x 3)dx .0 2732(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数 ysin 2xcos 2x 的导数是 ( )Ay2 cos2 (2x 4)By cos 2xsin 2xCy sin 2x cos 2xDy2 cos2 (2x 4)解析:y(sin 2xcos 2x) (sin 2x)(cos 2x)cos 2x(2x) sin 2x(2x)2cos 2x2sin 2x2 2(22cos 2x

10、22sin 2x)2 cos ,故选 A.2 (2x 4)答案:A2已知曲线 yln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( )Ae BeC. D1e 1e解析:yln x 的定义域为(0, ) ,设切点为(x 0,y 0),则 kf ( x0) ,1x0切线方程为 yy 0 (xx 0),1x0又切线过点(0,0),代入切线方程得 y01,则 x0e,k f (x0) .1x0 1e答案:C3函数 f(x)x 22ln x 的单调递减区间是( )A(0,1 B1,)C(,1,(0,1) D 1,0),(0,1解析:f(x) 2x ,2x 2x2 1x当 0x1 时,f( x)0,函数 f(x)

11、单调递减答案:A4已知函数 f(x)xln x,若 f(x)在 x0 处的函数值与导数值之和等于 1,则 x0 的值等于( )A1 B1C1 D不存在解析:因为 f(x)xln x,所以 f(x)ln x1,于是有 x0ln x0ln x 011,解得 x01 或 x01(舍去)答案:A5.已知函数 f(x)的导函数 f(x)a( xb) 2c 的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可能是( )解析:由导函数图象可知,当 x0 ,函数 f(x)递增因此,当 x0 时,f (x)取得极小值,故选 D.答案:D6函数 f(x)2 ,x (0,5的最小值为( )x1xA2 B3C. D2 174 2

12、 12解析:由 f(x ) 0 得 x1,1x 1x2 x 1x2且 x(0,1)时 f(x )0,x(1,5时 f(x)0,x 1 时 f(x)最小,最小值为 f(1)3.答案:B7由直线 x ,x ,y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为( )3 3A. B.112C. D.32 3解析:结合函数图象可得所求的面积是定积分 cos xdx,取 F(x)sin x,则 F(x)cos x . cos xdxF F .(3) ( 3) 3答案:D8设函数 f(x)e x(sin xcos x)(0x2 019),则函数 f(x)的各极小值之和为( )A Be21 e2 0191

13、e2 e21 e2 0191 eC D1 e2 0201 e2 e21 e2 0181 e2解析:f(x) 2exsin x,当 x(2k ,2k 2)( kZ)时,f(x)0,f(x)单调递减,当 x(2k2,2k 3)(kZ)时,f ( x)0,f (x)单调递增,故当 x2k2( kZ)时,f(x)取极小值,其极小值为 f(2k2) e 2k2 (kZ),又 0x2 019,f(x)的各极小值之和 Se 2e 4e 2 018 .e21 e2 0181 e2答案:D9设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f( x),且函数 f(x)在 x2 处取得极小值,则函数 yxf(x )的图

14、象可能是( )解析:f(x)在 x2 处取得极小值, 在 x2 附近的左侧 f(x) 0,当 x2 时,xf (x) 0;在 x2 附近的右侧 f(x)0,当2x 0 时,xf(x)0.答案:C10函数 f(x) t(t4)dt 在 1,5上( )x0A有最大值 0,无最小值B有最大值 0,最小值323C有最小值 ,无最大值323D既无最大值,也无最小值解析:函数 f(x) x32x 2,所以 f(x) x 24x,所以 f(x)在1,0 上单调递增,在130,4上单调递减,在4,5 上单调递增,进而可得 f(x)在 1,5上既有最大值又有最小值答案:B11.已知定义在 R 上的函数 f(x)

15、满足 f(3)f (5)1,f ( x)为 f(x)的导函数,且导函数 yf( x)的图象如图所示则不等式 f(x)0 时,f ( x)0,f (x)是增函数;当 x0)与曲线 C2:ye x存在公共切线,则 a 的取值范围为( )A. B.e28, ) (0,e28C. D.e24, ) (0,e24解析:根据题意,函数 yax 2 与函数 ye x的图象在(0 , )上有公共点,令 ax2e x,得 a .exx2设 f(x) ,则 f( x) ,exx2 x2ex 2xexx4由 f(x )0,得 x2,当 02 时,f(x )0,函数 f(x) 在区间(2 ,)上是增函数,exx2所以

16、当 x2 时, 函数 f(x) 在(0,)上有最小值 f(2) ,所以 a .exx2 e24 e24答案:C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分把答案填在题中横线上)13若函数 f(x) 在区间(m,2m 1) 上单调递增,则实数 m 的取值范围是4xx2 1_解析:f(x) ,令 f( x)0,得1x 1,4 4x2x2 12即函数 f(x)的增区间为(1,1)又 f(x)在(m,2m1)上单调递增,所以Error!解得1m0.答案:(1,014曲线 ylog 2x 在点(1,0) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_解析:y ,k ,1xln 2 1ln 2切

17、线方程为 y (x1),1ln 2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln 2 12ln 2 12答案: log2e1215点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点,则 P 到直线 yx 2 的距离的最小值是_解析:设曲线上一点的横坐标为 x0(x00),则经过该点的切线的斜率为 k2x 0 ,1x0根据题意得,2x 0 1,x 01 或 x0 ,1x0 12又 x0 0, x01,此时 y01,切点的坐标为(1,1),最小距离为 .|1 1 2|2 2答案: 216当 x1,2时,x 3x 2xm 恒成立,则实数 m 的取值范围是_解析:记 f(x)x 3x 2x ,f ( x)3

18、x 22x 1,令 f(x )0,得 x 或 x 1.13又 f , f(2)2,f(1)f (1)1,( 13) 527当 x1,2时,f(x) max2,m2.答案:(2,)三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)ax 3x 2bx( 其中常数 a,bR),g(x)f( x)f(x )是奇函数(1)求 f(x)的表达式;(2)求 g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解:(1)因为 f( x)3ax 22xb,所以 g(x)f(x)f(x )ax 3(3 a1)x 2(b2) xb.因为 g(

19、x)是奇函数,所以 g(x)g(x) ,从而 3a10,b0,解得 a ,b0,13因此 f(x)的表达式为 f(x) x3x 2.13(2)由(1)知 g(x) x32x ,所以 g(x)x 22,13令 g(x) 0.解得 x (舍去 )或 x ,2 2而 g(1) ,g( ) ,g(2) ,53 2 423 43因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g( ) ,最小值为 g(2) .2423 4318(本小题满分 12 分)已知 f(x)ax 2bx c( a0),且 f(1)2,f(0) 0, f(x)10dx2,求 a,b,c 的值解:由 f(1) 2,得 ab c2,又 f(x

20、)2axb,f(0)b0.而 f(x)dx (ax2bxc)dx.1010取 F(x) ax3 bx2cx,13 12则 F(x)f( x) f(x)dxF(1) F(0) a bc.10 13 12 a bc2,13 12由式得 a6,b0,c4.19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 3 x2bxc.12(1)若 f(x)有极值,求 b 的取值范围;(2)若 f(x)在 x1 处取得极值,当 x1,2 时,则 f(x)0 得 112b0,即 b2 或 c0,g(x )单调递增又 x23,3,g(x2)ming(2)48.又 f(x1)g( x2),147c48 ,即 c195.f

21、(x1)maxg(x 2)min 成立时,c 的取值范围为195,) 21(本小题满分 12 分)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(6x11),年销量为 u 万件,若已知 u 与 2 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件5858 (x 214)(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润解:(1)设 uk 2,5858 (x 214)售价为 10 元时,年销量为 28 万件, 28k 2,解得 k2.5858 (10 214)u2 2 2x 221x18.(x 214) 5858y (2x 221x18)(

22、 x6) 2x 333x 2108x108(6x11)(2)y6x 266x 108 6(x211x 18)6(x 2)(x9)令 y0,得 x2(舍去)或 x9,显然,当 x(6,9)时,y 0,当 x(9,11)时,y 0.函数 y2x 333x 2108x108 在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的当 x 9 时,y 取最大值,且 ymax135,售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元22(本小题满分 12 分)若函数 f(x)ax 3bx 4,当 x2 时,函数 f(x)有极值 .43(1)求函数 f(x)的解析式;(2)若方程 f(x) k 有 3 个不

23、同的根,求实数 k 的取值范围解:(1)f(x) 3ax2b,由题意,得Error!即Error!解得Error!f(x) x34x4.13(2)由(1)可得 f(x)x 24 (x2)( x2) ,令 f(x )0,得 x2 或 x 2.当 x 变化时,f( x),f( x)的变化情况如表:x (,2) 2 (2,2) 2 (2,)f(x ) 0 0 f(x) 283 43因此,当 x2 时,f( x)有极大值 ,当 x2 时,283f(x)有极小值 ,43所以函数 f(x) x34x 4 的图象大致如图所示13若 f(x)k 有 3 个不同的根,则直线 yk 与函数 f(x)的图象有 3 个交点, k .43 283实数 k 的取值范围为 .( 43,283)