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2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:4.2 导数的运算(含解析)

1、42 导数的运算读教材填要点1求导公式(1)几个幂函数的导数:原函数 导函数f(x)c f(x)0f(x)x f(x)1f(x) x2 f( x)2xf(x) x3 f( x)3x 2f(x)1xf( x)1x2f(x) xf( x)12x(2)基本初等函数的导数公式:原函数 导函数f(x)x (0) f(x) x1f(x)e x f (x)e xf(x)a x(a 0 且 a1) f (x)a xln_af(x)ln x(x 0) f(x)1xf(x)log ax(a0 且 a1) f(x )1xln af(x)sin x f( x)cos _xf(x)cos x f(x)sin_xf(x)

2、 tan x f( x)1cos2x2求导法则(1)(cf(x)cf(x) ;(2)(f(x)g( x)f(x) g( x),(f(x)g( x)f(x )g(x);(3)(f(x)g(x)f(x) g(x)f( x)g(x);(4) (f(x)0);(1fx) f xfx2(5) (f(x)0);(gxfx) fxg x gxf xfx2(6)若 yf(u) , ug( x),则 yxy uu x.小问题大思维1下面的计算过程正确吗?cos .(sin4) 4 22提示:不正确因为 sin 是一个常数,4 22而常数的导数为零,所以 0.(sin4)若函数 f(x)sin x ,则 f .(

3、4) 222若 f(x),g(x)都是可导函数,且 f(x)0,那么下列关系式成立吗?(1)af(x)bg( x)af(x) bg( x)(a,b 为常数);(2) (a 为常数 )afx af xfx2提示:由导数的运算法则可知,这两个关系式都正确3函数 yln(2x 1)的导函数是什么?提示:yln(2 x1)是由函数 yln u 和 u2x1 复合而成的,yxy u ux (2x1) .1u 2u 22x 1应用导数公式求导数求下列函数的导数:(1)y10 x;(2)y lg x ;(3)y log x;1x2 12(4)y ;(5)y 21.4x3 (sin x2 cos x2)自主解

4、答 (1)y(10 x)10 xln 10.(2)y (lg x) .(lg x 1x2) (1x2) 1xln 10 2x3(3)y(log x) .12 1xln 12 1xln 2(4)y( ) (x ) x .4x334 34 14 34 4x(5)y 21(sin x2 cos x2)sin 2 2sin cos cos 2 1sin x ,x x2 x2 xy (sin x)cos x .求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式

5、1求下列函数的导数:(1)y x;(1e)(2)y x;(110)(3)ylg 5;(4)y 3lg ;3x(5)y2cos 2 1.x解:(1)y xln e x .(1e)x (1e) 1e 1ex(2)y xln (110)x (110) 110 ln 1010x10 x ln 10.(3)ylg 5 是常数函数,y (lg 5) 0.(4)y3lg lg x,3xy (lg x) .1xln 10(5)y2cos 2 1cos x,xy (cos x) sin x.利用导数运算法则求导数求下列函数的导数(1)yxtan x;(2) y(x 1)( x2)( x3) ;(3)y ;(4)

6、yx sin x ;x 3x2 3 2cos x(5)ye 3x;(6)y5log 2(2x1)自主解答 (1)y( xtan x) (xsin xcos x)xsin x cos x xsin xcos xcos2x .sin x xcos xcos x xsin2xcos2x sin xcos x xcos2x(2)(x1)(x2)(x3)(x 23x 2)( x3)x 36x 211x 6,y (x1)(x 2)( x3) (x 36x 211x 6) 3x 212x11.(3)y .x 3 x2 3 x 3x2 3x2 32 x2 6x 3x2 32(4)y(xsin x) sin x

7、xcos x .(2cos x) 2sin xcos2x(5)函数 ye 3x可以看成函数 ye u和函数 u3x 的复合函数yxy u ux(e u)(3x)3e u3e 3x.(6)函数 y5log 2(2x1)可以看成函数 y5log 2u 和函数 u2x1 的复合函数yxy u ux5(log 2u) (2x1) .10uln 2 102x 1ln 2(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式,有时先将函数表达式展开或化简,然后再求导(3)对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解求导

8、回代” ,即:弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;利用求导法则分层求导;最终结果要将中间变量换成自变量注意不要漏掉第步回代的过程2求下列函数的导数:(1)y2 xcos x3x log2x;(2)y (2x 23)(3x2);(3)y ;(4) y ;ex 1ex 1 x 12x(5)y ;(6)y x ex .11 3x4解:(1)y(2 xcos x3x log2x)(2 x) cos x 2x(cos x)3xlog 2xx(log 2x)2 xln 2cos x2 xsin x3(log 2xx )1xln 22 xln 2cos x2 xsin x3log 2x .3ln

9、 2(2)法一:y(2x 23)(3x2)(2x 23)(3x2) 4x(3 x2)(2x 23)318x 28x9.法二:y(2 x23)(3 x2)6x 34x 29x6,y 18 x28x9.(3)y .ex 1 ex 1 ex 1ex 1ex 12 2exex 12(4)法一:yx 12 x x 12xx2 x2 2x 1 x x 12x2 2x 2x x 12x21 .1x2法二:y x2 ,x2 2x 1x 1xy 1 .1x2(5)函数 y (13x) 4 可以看作函数 yt 4 和 t13x 的复合函数,根据复11 3x4合函数求导法则可得 yxy t tx(t 4 )(13x

10、) (4t 5 )312(13x) 5 .(6)函数 ye x 可以看作函数 ye u和 ux 的复合函数,所以 yxy uu x(e u)(x) e ue x ,所以 y(xe x)xe x x(e x )e x x(e x )(1 x)e x .导数的实际应用“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度 h (m)与时间 t (s)之间的关系式为 h(t)4.9t 214.7t18,求烟花在 t2 s 时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况自主解答 烟花在 t2 s 时的瞬时速度就是 h(2) h (t) 9.8t14.7,h (2)4.9.即在

11、 t2 s 时,烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降如图,结合导数的几何意义,我们可以看出:在 t1.5 s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为 0,达到最高点并爆裂;在 01.5 s 之间,曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在 1.5 s 后,曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下落,直到落地解决此类问题,应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义,建立变量之间的表达式是关键3某圆柱形容器的底面半径为 1 m,深度为 1 m,盛满液体

12、后以 0.01 m3/s 的速度放出,求液面高度的瞬时变化率解:设液体放出 t s 后的液面高度为 h m,则由题意得 12h0.01t,化简得 h1 t,0.01液面高度的瞬时变化率为h (1 0.01t) (m/s)0.01求抛物线 yx 2 上的点到直线 xy20 的最短距离解 法一:设直线 l:xym0( m2) 与抛物线 yx 2 相切,显然直线 l 与直线 xy20 平行依题意知,l 与直线 xy20 间的距离就是要求的最短距离,由Error!得 x2x m0.由 1 4m0,得 m ,14l 的方程为 xy 0.14两平行线间的距离为 d .| 2 14|2 728抛物线 yx

13、2 上的点到直线 xy20 的最短距离为 .728法二:依题意知,与直线 xy20 平行的抛物线 yx 2 的切线的切点到直线xy20 的距离最短设切点坐标为(x 0,x )20y (x 2)2x ,2x01 , x0 .12切点坐标为 .(12,14)切点到直线 xy 20 的距离为d .|12 14 2|2 7281已知函数 f(x)ax 2c ,且 f(1)2,则 a 的值为( )A1 B. 2C1 D0解析:f(x)ax 2c,f(x) 2ax,又 f(1) 2a, 2a2,a 1.答案:A2已知函数 f(x)xln x,则 f(1)的值为( )A1 B2C1 D2解析:f(x) 1

14、,f(1)2.1x答案:B3下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 2x)(x 1x) 1x2 1xln 2C(3 x)3 xlog3e D( x2cos x) 2sin x解析: x 1 ;(3 x)3 xln 3;(x 1x) (1x) 1x2(x2cos x)( x2)cos x x 2(cos x)2x cos xx 2sin x.答案:B4若函数 f(x) ,则 f(2)_.ln xx解析:由 f(x ) ,得 f(2) .1 ln xx2 1 ln 24答案:1 ln 245(全国卷)曲线 yx 2 在点(1,2) 处的切线方程为_1x解析:因为 y2x ,1x2所以在点(

15、1,2)处的切线方程的斜率为y| x1 2111,所以切线方程为y2x1,即 xy10.答案:xy106已知函数 f(x) ,g(x)aln x,aR.若曲线 yf(x)与曲线 yg(x) 相交且在交点处x有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程解:f(x) ,g(x) (x0),12x ax设两曲线的交点为 P(x0,y 0),则Error!解得 a ,x 0e 2,e2所以两条曲线交点的坐标为(e 2,e)切线的斜率为kf(e 2) ,12e所以切线的方程为 ye (xe 2),12e即 x2eye 20.一、选择题1若指数函数 f(x)a x(a0,a1)满足 f(1)ln 27,则 f

16、( 1)( )A2 Bln 3C. Dln 3ln 33解析:f(x) a xln a,由 f(1) aln aln 27,解得 a3,则 f(x )3 xln 3,故 f( 1) .ln 33答案:C2某汽车的路程函数是 s(t) 2t3 gt2(g10 m/s 2),则当 t2 s 时,汽车的加速度是( )12A14 m/s 2 B4 m/s 2C10 m/s 2 D4 m/ s2解析:由题意知,汽车的速度函数为 v(t)s( t)6t 2gt,则 v(t)12tg,故当 t2 s 时,汽车的加速度是 v(2)1221014 m/s 2.答案:A3函数 f(x)e xsin x 的图象在点

17、(0,f (0)处的切线的倾斜角为( )A. B. 34 3C. D.4 6解析:因为 f(x )e xsin xe xcos x,所以 f(0) 1,即曲线 yf(x) 在点(0 ,f(0) 处的切线的斜率为 1,所以在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为 .4答案:C4曲线 y 在点 M 处的切线的斜率为( )sin xsin x cos x 12 (4,0)A B. 12 12C D.22 22解析:y ,cos xsin x cos x sin xcos x sin xsin x cos x2 11 sin 2x把 x 代入得导数值为 .4 12答案:B二、填空题5已知 f(x) ,g(

18、x)mx,且 g(2) ,则 m_.1x 1f 2解析:f(x) ,f(2) .又 g( x)m,g (2)m.1x2 14由 g(2) ,得 m4.1f 2答案:46设函数 f(x)在(0,)内可导,且 f(ex)xe x,则 f(1) _.解析:因为 f(ex)xe x,所以 f(x)xln x(x0),所以 f(x) 1 ,所以 f(1)2.1x答案:27已知函数 f(x)f cos xsin x,则 f 的值为_(4) (4)解析:f(x) f sin xcos x,(4)f f ,得 f 1.(4) (4) 22 22 (4) 2f(x)( 1)cos xsin xf 1.2 (4)

19、答案:18设曲线 ye ax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直,则 a_.解析:ye ax在点(0,1) 处的切线与直线 x2y10 垂直,又 yae ax,a2.答案:2三、解答题9求下列函数的导数(1)y(2 0188x) 8;(2)y ;2xsin x(3)yx ; (4)ycos xsin 3x.1 x2解:(1)y8(2 0188x) 7(2 0188x)64(2 0188x) 764(8x 2 018) 7.(2)y (2xsin x) 2x sin x 2xsin xsin x2 .2xln 2sin x 2xcos xsin2x(3)y x (1x 2) 1 x21

20、 x (1x 2) (1x 2)1 x212 x (1x 2) 2x1 x212 .1 x2x21 x2 1 2x21 x2(4)y(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3 xcos x cos 3x(3x)sin xsin 3 x3cos x cos 3x.10已知函数 f(x)x 3(1 a) x2a( a2)xb(a,bR)(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为3,求 a,b 的值;(2)若曲线 yf(x )存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围解:f(x) 3x 22(1 a)x a(a2)(1)由题意得Error!解得 b0,a3 或 1.(2)曲线 yf(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,关于 x 的方程 f( x)3x 22(1 a)xa(a2)0 有两个不相等的实数根,4(1 a) 2 12a(a2)0 ,即 4a24a10,a .12a 的取值范围是 .( , 12) ( 12, )