1、44 生活中的优化问题举例读教材填要点1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路小问题大思维将 8 分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？提示：设一个数为 x，则另一个数为 8x，则其立方和yx 3(8x) 38 3192x24x 2，且 0x 8，y48x192.令 y0，即 48x1920，得 x4.当 0x0，当 x 4 时，y 最小即分成的这两个数应为 4,4.用料最省、费用最低问题如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 200 m2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 m，如果池外周
2、壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价自主解答 (1)设长为 x m，则宽为 m200x据题意Error!解得 x16，252y 400 24816 000(2x 2200x) 400x800x 16 000 .259 200x (252 x 16)(2)令 y800 0，解得 x18.259 200x2当 x(0,18)时，函数 y 为减函数；当
3、 x(18，)时，函数 y 为增函数又 x16.252当 x 16 时， ymin45 000.当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低为 45 000 元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据 f(x) 0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值1.已知 A，B 两地相距 200 千米，一只船从 A 地逆水航行到 B 地，水速为 8 千米/时，船在静水中的航行速度为 v 千米/ 时(8 vv 0)若船每小时航行所需的燃料费与其在静
4、水中的航行速度的平方成正比，当 v12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为 720 元为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为 y1 元，比例系数为 k(k0)，则 y1kv 2.当 v12 时，y 1720，720k12 2，得 k5.设全程燃料费为 y 元，由题意，得 yy 1 ，200v 8 1 000v2v 8y .2 000vv 8 1 000v2v 82 1 000v2 16 000vv 82令 y0，解得 v0( 舍去)或 v16.当 v016 时，v(8,16)，y 0，即 y 为减函数；v(16， v0，y0，即 y 为增函数，故
5、 v16(千米/时)时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当 v016 时，v(8，v 0，y 0，即 y 在(8 ，v 0上为减函数，故当 vv 0 时， ymin ，此时全程燃料费最省1 000v20v0 8综上可得，若 v016，则当 v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为 32 000 元；若v016，则当 vv 0 时，全程燃料费最省，为 元.1 000v20v0 8利润最大、效率最高问题某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/ 吨) 之间的关系式为：p24 200 x2，且生产 x 吨的成本为：R50 000200x(元) 问该厂
6、每月15生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？自主解答 依题意，每月生产 x 吨时的利润为：f(x) x(50 000 200x)(24 200 15x2) x324 000x50 000(x0)15由 f(x ) x224 000，35令 f(x) 0 ，解得 x1200 ， x2200(舍去)因为 f(x)在0，)内有意义，则有且只有当 x200 时 f(x) 0，且它就是最大值点，最大值为 f(200) 200324 00020050 0003 150 000.15故每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.实际生活中利润最大，效率最高，流量、流速最大
7、等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据 f(x )0 求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值2.某产品按质量分为 10 个档次，生产第 1 档次(即最低档次) 的利润是每件 8 元，每提高一个档次，利润每件增加 2 元，但在一天内产量减少 3 件在一天内，最低档次的产品可生产 60 件问在一天内，生产第几档次的产品的总利润最大？最大利润是多少？解：设在一天内，生产第 x(1x10，xN )档次的产品的总利润为 y.依题意，得 y8 2(x 1)603(x1)6x 2108x378(1x 10 ，x N )，y12x1
8、08，令 y 12x1080，解得 x9.因为 x9 符合题意，且 y 只有一个极值点，所以它是最值点，即在一天内，生产第 9 档次的产品的总利润最大，最大利润为 864 元.面积、容积的最值问题请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AEFB x (cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积
9、 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值自主解答 设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)由已知得 a x，h (30x)，0x30.260 2x2 2(1)S4ah8x(30x)8(x15) 21 800，所以当 x15 时，S 取得最大值(2)Va 2h2 (x 330 x2)， V6 x(20x )2 2由 V0 得 x0(舍)或 x20.当 x(0,20)时，V0；当 x(20,30)时，V0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值此时 .即包装盒的高与底面边长的比值为 .ha 12 12一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函
10、数 f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f( x)0 ，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较3.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为 2 400 m2 的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2 m怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积解：设休闲广场的长为 x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为 S(x) m2.2 400x则 S(x)(x6) 2 424(2 400x 4) (4x 6
11、2 400x )2 4244 ，x (6,600)(x 3 600x )S (x)4 ，(1 3 600x2 ) 4x 60x 60x2令 S(x)0，得 60，y0，y 2 (00，f(x )为增函数；12当 0；当 3004 时，l0.故当 x4 时，l 有极小值，也是最小值，且最小值为 816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元答案：D4用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出 0.5 m，则当高为_m 时，容器的容积最大解析：设高为 x 米，则 Vx( x0.5) (14.84 0.5 2x
12、)2x 32.2x 21.6x ，x(0,1.6)，V6x 24.4 x1.6，令 V0，解得 x1 或 x (舍去)415当 00，当 10)，则 l 20，解得 y16( 另一负根舍去)，512y 512y2当 016 时，l 0 ，所以当 y16 时，函数取得极小值，也就是最小值，此时 x 32.51216答案：A4某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系：Q8 300 170pp 2.则最大毛利润为( 毛利润销售收入进货支出)( )A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：
13、设毛利润为 L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp 2)(p20)p 3150p 211 700p166 000，所以 L(p) 3p 2300p11 700.令 L(p) 0，解得 p30 或 p130(舍去) 此时，L(30)23 000.因为在 p30 附近的左侧 L( p)0，右侧 L(p)0.250 000x 500x设总利润为 y 万元，则 y x1 200 x3500 x31 200.500x 275 x 275求导数得，y x2.250x 225令 y0，得 x25.故当 x0 ；当 x25 时，y0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小
14、值为 f(5)65 70.80015 5当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 r米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为 160 元/ 平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000元( 为圆周率) (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r 2)元根据题意得 200rh160r 212 000，所以 h (3004r 2)，15r从而 V(r)r 2h (300r4r 3)5由 h0，且 r0 可得 00 ，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 )时，V( r)0，故 V(r)在(5,5 )上为减函数3 3由此可知，V( r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大