1、31 空间中向量的概念和运算第一课时 空间中向量的概念和线性运算读教材填要点1向量的概念既有大小又有方向的量称为向量2用有向线段表示向量要表示向量 a，可以从任意一点 A 出发作有向量线段 AB，使 AB 的方向与 a 相同，长度|AB| 等于 a 的 模，则有向线段 AB 表示向量 a，记为 a .AB 3空间向量加法的运算律(1)abba.(加法交换律)(2)(ab )ca( bc)( 加法结合律)4向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量 a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数 相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行(2)(a b)a b.(对向量加法的分配律 )( 1 2)
2、a 1a 2a.(对实数加法的分配律)小问题大思维1空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样2在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于 1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面3空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的4两个向量 a，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a，b 共线时， 这两个向量一定共面；若 a 与 b 共面，a
3、与 b 所在的直线可能相交，所以 a 与 b 共线是 a 与 b 共面的充分不必要条件空间向量的线性运算已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y 的值：(1) x y ；OQ PQ PC PA (2) x y .PA PO PQ PD 自主解答 如图，(1) OQ PQ PO ( )PQ 12 PA PC ，PQ 12PA 12PC x y .12(2) 2 ， 2 .PA PC PO PA PO PC 又 2 ， 2 .PC PD PQ PC PQ PD 从而有 2
4、 (2 )2 2 .PA PO PQ PD PO PQ PD x 2， y2.本例中，若 x y z ，则 x，y，z 为何值？PQ BA BC BP 解： PQ PB BC CQ BP BC 12CD ，BP BC 12BA 12BA BC BP x ， y1，z1.12利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握1.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 是 BB1 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) ；CB BA1
5、(2) ；AC CB 12AA1 (3) .AA1 AC CB 解：(1) .CB BA1 CA1 (2)因为 M 是 BB1 的中点，所以 .BM 12BB1 又 ，所以 .AA1 BB1 AC CB 12AA1 AB BM AM (3) .AA1 AC CB CA1 CB BA1 向量 ， ， 如图所示CA1 AM BA1 共线问题空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别在边 CB，CD 上，且 ， .判断CF 23CB CG 23CD 与 是否共线？若共线，并判断四边形 EFGH 的形状EH FG 自主解答 根据题意， ， ，EH AH AE BD AD
6、 AB 又 ， .AH 12AD AE 12AB .EH 12BD ， ，FG CG CF BD CD CB 又 ， ，CG 23CD CF 23CB ( ) .FG 23CD CB 23BD 由得， .EH 34FG 与 共线EH FG EH ，且| | |.FG EH FG 又 点 F 不在直线 EH 上，EHFG 且|EH| FG|.四边形 EFGH 为梯形判断空间图形中两个向量共线的步骤为：(1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b；(3)化简得出 axb，从而得出 ab，即 a 与 b 共线本例中，如果 F，G 分别是边 CB，C
7、D 的中点，你能判断出 EFGH 是什么四边形吗？解：若 F，G 分别是边 BC，CD 的中点， ， ，EH AH AE BD AD AB ， ，AH 12AD AE 12AB .EH 12BD ， ，FG CG CF BD CD CB 又 ， ，CG 12CD CF 12CB ( ) .FG 12CD CB 12BD 由，得 ，EH FG 且| | |.EH FG EH FG 又 点 F 不在直线 EH 上，EHFG 且|EH| FG|.四边形 EFGH 是平行四边形2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且 2 ，F 在对角线 A1C 上，且 .求证：E
8、，F，B 三A1E ED1 A1F 23FC 点共线证明：设 a， b， c.AB AD AA1 2 ， ，A1E ED1 A1F 23FC ， .A1E 23A1D1 A1F 25A1C b，A1E 23AD 23 ( )A1F 25 AC AA1 ( )25 AB AD AA1 a b c.25 25 25 EF A1F A1E a b c25 415 25 .25(a 23b c)又 bcaEB EA1 A1A AB 23a bc，23 .EF 25EB 所以 E，F ，B 三点共线共面问题已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足 OM 13OA 13OB .13OC
9、 (1)判断 ， ， 三个向量是否共面；MA MB MC (2)判断 M 是否在平面 ABC 内自主解答 (1) 3 ，OA OB OC OM ( )( ) .OA OM OM OB OM OC BM CM .MA BM CM MB MC 向量 ， ， 共面MA MB MC (2)由(1)向量 ， ， 共面，而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线，MA MB MC M，A， B，C 共面，即 M 在平面 ABC 内利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对
10、于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值3已知 E，F ，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC ，CD，DA 的中点，求证：(1)E，F，G，H 四点共面(2)BD 平面 EFGH.证明：如图，连接 EG，BG.(1)因为 ( ) ，EG EB BG EB 12 BC BD EB BF EH EF EH 由向量共面的充要条件知：E，F，G ，H 四点共面(2)因为 ，所以 EHBD.又 EH平面EH AH AE 12AD 12AB 12BD EFGH，BD 平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图
11、，已知斜三棱柱 ABCABC 中，点 M，N 分别在面对角线 AC，棱 BC 上，且 AMkAC，BN kBC(00，AD AC AD AB AB AC AB AB cos CBDcos ， 0，BC BD CBD 为锐角，同理， BCD 与BDC 均为锐角，BCD 为锐角三角形答案：B二、填空题5在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD 中， _.AD BC 解析：由正方体知 BCAD， ， 0，又| | | ，所AD BC AD BC 2以 12.AD BC 2 2答案：26在四面体 OABC 中，棱 OA，OB ，OC 两两垂直，且 OA1，OB2，OC3，G为ABC 的重心，则 ( )
12、_.OG OA OB OC 解析：由已知 0，OA OB OA OC OB OC 且 ，OG 故 ( ) ( )2OG OA OB OC 13OA OB OC (| |2| |2| |2)13 OA OB OC (149) .13 143答案：1437已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C ，Db，ACb，BDb，且AB 2，CD1，则 a 与 b 所成的角是_解析： ， ( ) 2AB AC CD DB AB CD AC CD DB CD AC CD CD 01 201，又 | |2，| |1.DB CD AB CD cos ， .AB CD 121 12a 与 b 所成的角是 60.答案：
13、608.如图所示，在ABCD 中，AD4，CD3，D 60，PA平面 ABCD，PA 6，则线段 PC 的长为_解析： .PC PA AD DC | |2( )2PC PA AD DC | |2| |2| |22 2 2 6 24 23 22|PA AD DC PA AD AD DC DC PA | |cos 120611249.AD DC | |7，即 PC7.PC 答案：7三、解答题9.如图所示，已知ADB 和ADC 都是以 D 为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面 ADC.证明：不妨设 ADBDCD1，则 ABAC .2 ( ) ，BD AC AD AB A
14、C AD AC AB AC 由于 ( ) 1，AD AC AD AD DC AD AD | | |cos 60 1.AB AC AB AC 2 2 12 0，即 BDAC，又已知 BDAD，AC ADA，BD平面 ADC.BD AC 10.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长为 .2(1)设侧棱长为 1，求证：AB 1BC 1；(2)设 AB1 与 BC1 的夹角为 ，求侧棱的长3解：(1)证明： ， .AB1 AB BB1 BC1 BB1 BC BB1平面 ABC， 0， 0.BB1 AB BB1 BC 又ABC 为正三角形， .AB BC BA BC 3 23 ( )( )AB1 BC1 AB BB1 BB1 BC 2 AB BB1 AB BC BB1 BB1 BC | | |cos ， 2110，AB BC AB BC BB1 AB1BC1.(2)结合(1)知 | | |cos ， 2 21.AB1 BC1 AB BC AB BC BB1 BB1 又| | | |.AB1 BC1 cos ， ，AB1 BC1 12| |2，即侧棱长为 2.BB1