1、36 直线与平面、平面与平面所成的角读教材填要点1直线与平面所成的角(1)定义：如果直线 l 与平面 垂直，l 与平面 所成的角 为直角， .如果直线 l 与2平面 不垂直，则 l 在 内的射影是一条直线 l，将 l 与 l所成的角 定义为 l 与平面 所成的角(2)范围： .0，2(3)计算：作直线 l 的方向向量 v 和平面 的法向量 n，并且可选 v 与 n 所成的角 1，则 l 与平面 所成的角 1，sin cos_ 1 .0，2 2 |vn|v|n|2二面角(1)定义：从一条直线 l 出发的两个半平面 ， 组成的图形叫作二面角，记作 l.(2)二面角的平面角过二面角 l 的棱 l 上
2、任意一点 O 作垂直于棱 l 的平面，分别与两个面 ， 相交得到两条射线 OA，OB，则AOB 称为二面角 l 的平面角(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在 0180 范围内，特别当二面角 l 是 90时称它为直二面角，此时称两个面 ， 相互垂直3两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是 .两个平行平面所成的角为 0.(0，2)小问题大思维1当一条直线 l 与一个平面 的夹角为 0 时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行2设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向量为 a，平面 的法向量
3、为 n，如何用a 和 n 求角 ？提示：sin |cosa，n| .|an|a|n|3二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补求直线与平面所成的角如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为直角梯形，ADBC ，BAD 90 ，PA 底面 ABCD，且PA ADAB2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点求 BD 与平面 ADMN 所成的角 .自主解答 如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC1，则 A(0,0,0)，B(2,0,0) ，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则 N(1,0,1)， (2,2,0)， (0,2,0)， (1,0,1)BD AD AN 设平面
4、 ADMN 的一个法向量为 n( x，y ，z) ，则由得Error!取 x1，则 z1，n (1,0，1)cos ，n ，BD 28 2 12sin |cos ，n| .BD 12又 0 90， 30.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去 90.1.如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D，E ， F 分别是棱 AB，BC， CP 的中点，ABAC1，PA2.求
5、直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值解：如图，以点 A 为原点，AB，AC，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz.由 ABAC1 ，PA 2，得 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D ，E(12，0，0)，F .(12，12，0) (0，12，1) (0,0，2)， ， .PA DE (0，12，0) DF ( 12，12，1)设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)则即Error!解得Error!取 z1，则平面 DEF 的一个法向量为 n(2,0,1)设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ，则sin |cos
6、 ，n| ，PA 55故直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .55求二面角如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD O，A 1C1B 1D1 O1，四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)证明：O 1O底面 ABCD.(2)若CBA 60，求二面角 C1OB1D 的余弦值自主解答 (1)证明：因为四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形，所以CC1AC，DD 1BD，又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，OO 1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为
7、菱形，ACBD.又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO 1 两两垂直如图，以 O 为原点，OB，OC，OO 1 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系设棱长为 2，因为CBA 60，所以 OB ，OC1，3所以 O(0,0,0)， B1( ，0,2)，C 1(0,1,2)，3平面 BDD1B1 的一个法向量为 n(0,1,0)，设平面 OC1B1 的法向量为 m (x，y ，z) ，则由 m ，m ，所以Error!OB1 OC1 取 z ，则 x2，y2 ，3 3所以 m(2,2 ， )，3 3所以 cosm，n .mn|m|n| 2319 25719由图形可知二面角
8、 C1OB1D 的大小为锐角，所以二面角 C1OB1D 的余弦值为 .25719利用法向量求二面角的步骤为：(1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来2(2016全国卷)如图，在以 A，B ，C，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值解：(1)证明：由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EF
9、DC.又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)过 D 作 DG EF，垂足为 G.由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间GF GF 直角坐标系 G xyz.由(1)知DFE 为二面角 D AFE 的平面角，故DFE60 ，则 DF2，DG ，可3得 A(1,4,0)，B (3,4,0)，E (3,0,0) ，D(0,0， )3由已知得 ABEF ，所以 AB 平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF.由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CB
10、EF 的平面角，CEF60.从而可得 C(2,0， )3所以 (1,0， )， (0,4,0) ， (3，4， )， (4,0,0) EC 3 EB AC 3 AB 设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 即Error!所以可取 n(3,0， )3设 m 是平面 ABCD 的法向量，则同理可取 m(0， ，4)3则 cos n，m .nm|n|m| 21919由图知，二面角 EBCA 为钝角，故二面角 EBCA 的余弦值为 .21919解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知 PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC ，求二面角 APBC 的余弦值2解 法一：如图所
11、示，取 PB 的中点 D，连接 CD.PCBC ，2CDPB.作 AEPB 于 E，那么二面角 APBC 的大小就等于异面直线 DC 与 EA 所成的角 的大小PD1，PE ，PA2PB 12DEPD PE .12又 AE ，CD1，AC1，APABPB 32 ，且 ， ，AC AE ED DC AE ED ED DC | |2| |2| |2| |22| | |cos()，即AC AE ED DC AE DC 1 12 1cos ，34 14 32解得 cos .33故二面角 APBC 的余弦值为 .33法二：由法一可知，向量 与 的夹角的大小就是二面角 APBC 的大小，如图，DC EA
12、建立空间直角坐标系 Cxyz，则 A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(0,0,0)，P (1,0,1)，D 为 PB 的中点，2D .(12，22，12)又 ，即 E 分 的比为 .PEEB AP2AB2 13 PB 13E ， ，(34，24，34) EA (14， 24， 34) ，| | ，| |1，DC ( 12， 22， 12) EA 32 DC .EA DC 14 ( 12) ( 24) ( 22) ( 34) ( 12) 12cos ， .EA DC 33故二面角 APBC 的余弦值为 .33法三：如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0，0,0) ，B( ，1,0) ，2C(
13、0,1,0)，P (0,0,1)， (0,0,1)， ( ，1,0) ， ( ，0,0) ， AP AB 2 CB 2(0 ，1,1)，CP 设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)，则 Error!Error!令 x1，则 m(1， ，0) 2设平面 PBC 的法向量为 n(x，y ，z) ，则Error!Error!令 y1，则 n(0 ，1，1) ，cosm，n .mn|m|n| 33二面角 APBC 的余弦值为 .331若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A120 B60C30 D以上均错解析：设直线 l 与平面 所成的角
14、为 ，则 sin |cos 120| ，12又 090，30.答案：C2若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：设正三棱锥 PABC，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA PBPC a.取 AB 的中点 D，连接 PD， CD，易知PDC 为侧面 PAB 与底面ABC 所成的角易求 PD a，CD a，22 62故 cosPDC .PDDC 33答案：B3在边长为 a 的正ABC 中，AD BC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后，BC a，这时二面角 BADC 的大小为( )12A30 B45C60
15、D90解析：由定义知，BDC 为所求二面角的平面角，又 BCBDDC a，12BDC 为等边三角形， BDC60.答案：C4若一个二面角的两个面的法向量分别为 m(0,0,3) ，n(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为_解析：cosm，n .0，0，38，9，2382 92 22 2149 2149149答案：21491495正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值是_解析：如图，以 DA，DC，DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证是
16、平面 A1BD 的一个法向量AC1 又 (1,1,1)，AC1 (1,0,1)BC1 所以 cos ， .AC1 BC1 1 132 63所以 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 .63答案：636(2017江苏高考)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1平面 ABCD，且 ABAD2，AA 1 ，BAD120.3(1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD，交 BC 于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AE，AA 1AD.如图，以 ， ， 为正交基底，建立空间
17、直角坐标系AE AD AA1 Axyz.因为 ABAD 2，AA1 ，BAD120，3则 A(0,0,0)，B( ，1,0)，D(0,2,0)，E( ，0,0)，A 1(0，0， )，C 1( ，1， )3 3 3 3 3(1) ( ，1， )， ( ，1， )A1B 3 3 AC1 3 3则 cos ， .A1B AC1 3 1 377 17因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 .17(2)可知平面 A1DA 的一个法向量为 ( ，0,0)AE 3设 m(x，y，z)为平面 BA1D 的一个法向量，又 ( ，1， )， ( ，3,0)，A1B 3 3 BD 3则 即Error!
18、不妨取 x3，则 y ，z2，3所以 m(3， ，2)为平面 BA1D 的一个法向量，3从而 cos ，m .AE 3334 34设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos | .34因为 0，所以 sin .1 cos274因此二面角 BA1DA 的正弦值为 .74一、选择题1若平面 的一个法向量 n(2,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(1,2,3)，则 l 与 所成角的正弦值为( )A. B.176 216C D.216 213解析：cosa，nan|a|n| .1，2，32，1，11 4 9 22 1 1 2 2 3146 216l 与 所成角的正弦值为 .216答案：B2.
19、如图，过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面AC，若 EA1 ，则平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角的大小是( )A120 B45C135 D60解析：以 A 为原点，分别以 AB，AD，AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 E(0,0,1)，B(1,0,0)，C (1,1,0)， (1,0，1)，EB (1,1 ，1)EC 设平面 BCE 的法向量为 n(x，y ，z) ，则有Error!可取 n (1,0,1)，又平面 EAD 的法向量为 (1,0,0) ，所以 cosn， ，故平面 ADE 与平面 BCE 所
20、成的AB AB 121 22二面角为 45.答案：B3在直角坐标系中，已知 A(2,3)，B(2，3) ，沿 x 轴把直角坐标系折成平面角为 的二面角 AOxB，使AOB90 ，则 cos 为( )A B.19 19C. D49 49解析： 过 A，B 分别作 x 轴垂线，垂足分别为 A，B.则AA3，BB3，AB 4，OA OB ，折后，AOB90，13AB .OA2 OB2 26由 ，得AB AA A B B B | |2 | |2| |2| |22| | |cos()AB AA A B B B AA B B 269169233cos()，cos .49答案：C4.已知平面 内有一个以 A
21、B 为直径的圆，PA ，点 C 在圆周上(异于点 A， B)，点 D，E 分别是点 A 在 PC，PB 上的射影，则( )AADE 是二面角 APCB 的平面角BAED 是二面角 APBC 的平面角CDAE 是二面角 BPAC 的平面角DACB 是二面角 APCB 的平面角解析：选项 A 错误，若 DEPC，则 PC平面 ADE，所以 PCAE，又 AEPB，所以AE平面 PBC，同理可证：AD 平面 PBC，这是不可能的选项 B 正确，因为 PABC，AC BC，所以 BC平面 PAC，所以 ADBC，又ADPC，且 PCBCC，所以 AD平面 PBC，又因为 AEPB，所以 DEPB，所以
22、AED为二面角 APBC 的平面角选项 C 错误，因为 PA平面 ，所以 PA AC 且 PAAB，所以 CAB 为二面角 BPAC的平面角，因此，DAE 不是二面角 BPAC 的平面角选项 D 错误，在PAC 中，PAC90，所以 AC 与 PC 不垂直，因此，ACB 不是二面角 APCB 的平面角答案：B二、填空题5如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，D 是A1C1 的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 夹角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A ( ，1,0)，B 1( ，1,
23、2)，D ，3 3 (32， 12，2)则 ， ( ，1,2) ，CD ( 32， 12，2) CB1 3设平面 B1DC 的法向量为n(x， y,1)，由解得 n( ，1,1)3又 ，DA ( 32， 12， 2)sin |cos ，n| .DA 45答案：456正ABC 与正BCD 所在平面垂直，则二面角 ABDC 的正弦值为_解析：取 BC 中点 O，连接 AO，DO.建立如图所示空间直角坐标系，设 BC1，则 A ， B ，(0，0，32) (0， 12，0)D .(32，0，0) ， ， .OA (0，0，32) BA (0，12，32) BD ( 32，12，0)由于 为平面 BC
24、D 的法向量，可进一步求出平面 ABD 的一个法向量OA (0，0，32)n ，(1， 3，1)cosn， ，sinn， .OA 55 OA 255二面角 ABDC 的正弦值为 .255答案：2557已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC，SA3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 _解析：建立如图所示空间直角坐标系，则 S(0,0,3)，A(0,0,0)，B( ，1,0)，C (0,2,0)3 ( ，1,0)， ( ，1，3)， (0,2 ，3)AB 3 SB 3 SC 设平面 SBC 的法向量为 n(x，y ，z )则令
25、y3，则 z2，x ，n( ，3,2)3 3设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ，则 sin |cos n， | .AB 3 342 34答案：348在体积为 1 的直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB 90 ，ACBC 1，求直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为_解析：由题意，可得体积 VCC 1SABCCC 1 ACBC CC11，12 12CC1 2.建立如图所示空间直角坐标系，得点 B(0,1,0)， .A11，0，2则 (1,1，2)，A1B 又平面 BB1C1C 的法向量为 n(1,0,0)设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为 ， 与 n 的夹角为
26、 ，A1B 则 cos ，66sin |cos | ，66即直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .66答案：66三、解答题9.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB16，BC10，AA 18，点 E，F 分别在A1B1，D 1C1 上，A 1ED 1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由 )；(2)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA 1E4，EM AA 18.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEF
27、BC10.于是 MH 6，所以 AH10.EH2 EM2以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系DA Dxyz，则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， (10,0,0) ， FE (0 ，6，8)设 n( x，y，z)是平面 EHGF 的法向量，则 即Error!HE 所以可取 n(0,4,3)又 (10,4,8)，AF 故|cosn， | .AF 4515所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 .451510(2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，
28、ABBC AD，BAD ABC 90，E 是12PD 的中点(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值解：(1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，EF AD.12由BADABC90 ，得 BCAD，又 BC AD，所以 EF 綊 BC，12所以四边形 BCEF 是平行四边形，CE BF，又 BF平面 PAB，CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)由已知得 BAAD，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴AB 正方向，| |为单位长度
29、，建立如图所示的空间直角坐标系AB Axyz，则 A(0,0,0)，B(1，0,0) ，C(1,1,0)，P(0，1， )，3(1,0 ， )， (1,0,0)PC 3 AB 设 M(x，y，z )(0x1)，则 (x1，y，z)， ( x，y 1，z )BM PM 3因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD 的法向量，所以|cos ，n|sin 45， ，BM |z|x 12 y2 z2 22即(x1) 2y 2 z20. 又 M 在棱 PC 上，设 ，PM PC 则 x，y1，z . 3 3由解得Error!(舍去)，或Error!所以 M ，从而 .(1 22，1，62) AM (1 22，1，62)设 m(x 0，y 0，z 0)是平面 ABM 的法向量，则 即Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cosm，n .mn|m|n| 105由图知二面角 MABD 为锐角，因此二面角 MABD 的余弦值为 .105