1、38 共面与平行读教材填要点1共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面(2)A，B，C ，D 共面直线 AD 在平面 ABC 内 n (其中 n 为平面 ABC 的法向量)AD 2直线与平面共面或平行的判定一般地，设 n 是平面 的一个法向量，v 是直线 l 的方向向量，则 vnl 或 l.如果 vn 且 l 上至少有一点 A，则 l.如果 vn 且 l 上至少有一点 A，则 l.小问题大思维若直线 l 的方向向量为 u(3,4,2)，平面 的一个法向量为 v(2,2，1) ，那 l 与 的位置关系是什么？提示：uv(3,4,2)(2,2，1)6820，uv.l 或 l.四点共
2、面问题判断 A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由自主解答 A(1,0,1) ，B(4,4,6)，C (2,2,3)， (3,4,5)， (1,2,2)AB AC 设平面 ABC 的法向量 n(x ，y ，z) ，则 n 0，且 n 0，AB AC 即Error!xz 0.令 x1，则 z1，y ，12n .(1，12， 1)又 D(10,14,17)， (9,14,16)，AD n(9,14,16)AD (1，12， 1)9114 160，12n .AD 又 A平面 ABC，AD平面 ABC，A ，B，C，D 四点共面(1)A，B
3、，C ，D 共面直线 AD 在平面 ABC 内 n .AD (2)(共面向量定理)如果 A，B，C 三点不共线，则点 M 在平面 ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数 x，y ，使向量表达式 x y 成立AM AB AC 1空间直角坐标系中，已知 A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y ，z )是平面 ABC 内任意一点，试求 x，y ，z 满足的方程解： A(3,0,0)， B(0,4,0)，C(0,0,2)， (3,4,0)， (3,0,2)AB AC 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的一个法向量，则 n 0，且 n 0，AB AC Error!令 x14
4、 ，则 y13，z 16，即 n(4,3,6)又 P(x， y，z)在平面 ABC 内， n0，即(x3，y，z)(4,3,6) 0，AP 4x 123y6z0，即 4x3y6z12.证明线面平行、面面平行已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD 1 的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.自主解答 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)， A(2,0,0)，E(2,2,1)，C 1(0,2,2)，F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以 (0,2,1)， (2,0,0)， (0,2,1) F
5、C1 DA AE (1)设 n1(x 1，y 1，z 1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 ，n 1 ，DA AE 即得Error!令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为 n1220，所以 n1.FC1 FC1 又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2) (2,0,0)，C1B1 设 n2(x 2，y 2，z 2)是平面 B1C1F 的一个法向量则 n2 ，n 2 ，FC1 C1B1 即得Error!令 z22 得 y21，所以 n2(0，1,2)因为 n1n 2，所以平面 ADE平面 B1C1F.(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某
6、一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行2.如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF 1，M 是线段 EF 的中点2求证：AM平面 BDE.证明：建立如图所示的空间直角坐标系设 ACBDN，连接 NE，则点 N，E 的坐标分别是 ，(0,0,1)(22，22，0) .NE ( 22， 22，1)又点 A，M 的坐标分别是 ( ， ，0)， ，2 2 (22，22，1) .AM
7、 ( 22， 22，1) ，且 ANE，NE AM NEAM.又 NE平面 BDE，AM平面 BDE，AM平面 BDE.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别是 C1C，B 1C1 的中点求证：MN平面 A1BD.证明 法一：如图，以 D 为原点，DA ，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M ，N ，D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，(0，1，12) (12，1，1)于是 ，MN (12，0，12)(1,0,1)DA1 得 2 ，DA1 MN
8、 又 MDA1，DA 1MN.而 MN平面 A1BD，MN平面 A1BD.法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0)设平面 A1BD 的法向量是 n (x，y，z) ，则 n 0，且 n 0，得Error!DA1 DB 取 x1，得 y1，z1.n (1，1，1)又 n (1，1，1)0，MN (12，0，12) n.又 MN平面 A1BD.MN MN平面 A1BD.法三： MN C1N C1M 12C1B1 12C1C ( ) ，12D1A1 D1D 12DA1 .而 MN平面 A1BD，MN DA1 MN平面 A1BD.点评 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两
9、种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线) ；思路二是证明直线与平面的法向量垂直( 向量垂直)1设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 b，若 ab0，则( )Al Bl Cl Dl 或 l解析：当 ab0 时，l 或 l.答案：D2已知直线 l 的方向向量为 a，平面 内两共点向量 ， ，下列关系中能表示OA OB l 的是 ( )Aa BakOA OB Cap D以上均不能OA OB 解析：A、B、C 均能表示 l 或 l.答案：D3已知线段 AB 的两端点的坐标为 A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标平面( )AxOy 平行 BxOz 平行CyOz 平
10、行 DxOy 和 yOz 都平行解析：A，B 两点横坐标相同，AB 与 yOz 平面平行答案：C4已知直线 l 的方向向量为 (1 ，1,2)，平面 的法向量为 n(2,4,1)，且 l，则 l 与 的位置关系是_ 解析：因为 n2420，所以 n.又 l，所以 l.答案：l5已知 l，且 l 的方向向量为(2，m, 1)，平面 的法向量为 (2,1,4)，则m_.解析：l，22m1140.m8.答案：86已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，M，N 分别是 BC，AE，CD 1 的中点，ADAA 1a， AB2a.求证：MN平面 ADD1A1.证明：以 D 为原点，建立如图所示的空
11、间直角坐标系，则 A(a，0,0)，B(a,2a,0) ，C(0，2a,0) ，D 1(0,0，a) ，E .(12a，2a，0)M，N 分别为 AE，CD 1 的中点，M ，N .(34a，a，0) (0，a，a2) .MN ( 34a，0，a2)取 n(0,1,0)，显然 n平面 ADD1A1，且 n0，MN n.MN 又 MN平面 ADD1A1，MN平面 ADD1A1.一、选择题1下面关于空间向量的说法正确的是( )A若向量 a，b 平行，则 a， b 所在直线平行B若向量 a，b 所在直线是异面直线，则 a，b 不共面C若 A，B，C，D 四点不共面，则 ， 不共面AB CD D若 A
12、，B ， C，D 四点不共面，则 ， ， 不共面AB AC AD 解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故 B、C 都不正确注意向量平行与直线平行的区别，可知 A 不正确，可用反证法证明 D 是正确的答案：D2已知直线 l 的一个方向向量为 a(2,0,1)，平面 的一个法向量为 b(2，1,4) ，则直线 l 与平面 的位置关系是 ( )Al Bl Cl 与 相交 Dl 或 l解析：ab(2,0,1)(2，1,4)4040，ab，l 或 l.答案：D3若平面 ， 的法向量分别为 a(1,2,4)，b( x，1，2)，并且 ，则 x 的值为( )A1
13、0 B10C. D12 12解析：，ab， ，x .x 1 12 24 12答案：C4.如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为A1B 和 AC 上的点， A1MAN a，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )23A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，|A 1B|AC| a，2所以 ， ，A1M 13A1B AN 13AC 所以 MN M A1 A1A AN 13A1B A1A 13AC 13A1A 13AB A1A 13AD 13AB ，23A1A 13AD 23B1B 13B1C1 所以 ， ， 共面
14、，MN B1B B1C1 因为 MN平面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C.答案：B二、填空题5直线 l 不在平面 ABC 内，且 l 上两点 C，D 满足 1 2 ，则直线 lCD AB AC 与平面 ABC 的位置关系是_答案：平行6若两个不同平面 ， 的法向量分别为 u(1,2，1)，(2,3,8) ，则平面 ， 的位置关系是_(填“平行 ”、 “垂直”或“相交但不垂直 ”)解析：u(1,2，1)(2,3,8)1223180，u， .答案：垂直7已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 a(1,3，z) ，向量b(3， 2,1)与平面 平行，则 z_.解析：l，b
15、，ab，ab(1,3 ，z )(3，2,1)0 ，即 36z0，则 z3.答案：38已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G，H，M，N 分别是正方体六个面的中心则平面 EFG 与平面 HMN 的位置关系为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则 E(1,1,0)， F(1,0,1)，G(2 ，1,1) ，H(1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1) (0，1,1)，EF (1,0,1)，EG (0,1，1)， (1,0，1) HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)，n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG 和 HMN 的法向量由 得E
16、rror!令 x11，得 m(1，1， 1)；由 得Error!令 x21，得 n(1 ，1，1) m n.即 mn.平面 EFG平面 HMN.答案：平行三、解答题9在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD， PDDC，E 是 PC 的中点证明：PA平面 EDB.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接 AC 交 BD 于 G，连接EG.设 DCa，依题意得 A(a,0,0)，P(0,0，a)，E .(0，a2，a2)底面 ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为 .(a2，a2，0) (a,0，a)， .PA EG (a2，0， a2)故
17、 2 ，这表明 PAEG.PA EG 而 EG平面 EDB 且 PA平面 EDB，PA平面 EDB.10.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为 2，则 O(1,1,0)，A(2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)， D1(0,0,2)再设 Q(0,2，c ) (1，1,0)，OA (1，1，1)，OP (2,0，c)，BQ (2，2,2)BD1 设平面 PAO 的法向量为 n1(x，y，z)，则 Error!令 x1，则 y1，z2，平面 PAO 的一个法向量为 n1(1,1,2) 若平面 D1BQ平面 PAO，那么 n1 也是平面 D1BQ 的一个法向量n1 0，即22c 0.BQ c 1，这时 n1 2240 ，BD1 故当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.