1、22.2 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质读教材填要点双曲线的简单几何性质标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0，c )焦距 2c 2c范围 x a 或 xa，y R ya 或 ya，xR对称性 对称轴：x 轴和 y 轴，中心：(0,0)顶点 (a,0) (0，a)轴长 实轴长2a，虚轴长2b离心率 e (1 ，)ca性质渐近线 y xbay xab小问题大思维1你能求出双曲线 1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？x24 y23提示：由题意得 a24，b 23，解得 a2，b ，则 c .3 a2 b
2、2 7因此，实轴长 2a4，虚轴长 2b2 .3离心率 e .ca 72渐近线方程为 y x.322如何用 a，b 表示双曲线的离心率？提示： e .ca a2 b2a2 1 b2a23双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：e ，当 e 越大时，双曲线开口越大，当 e 越小接近于 1 时，双曲线ca 1 b2a2开口越小4双曲线 1 与 1 的渐近线有什么关系？x2a2 y2b2 y2b2 x2a2提示：双曲线 1 与 1 的渐近线相同x2a2 y2b2 y2b2 x2a2由双曲线的标准方程研究其几何性质求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离
3、心率和渐近线方程自主解答 将 9y24x 236 变形为 1，x29 y24即 1，a3，b2， c .x232 y222 13因此顶点为 A1(3,0) ，A 2(3,0)，焦点坐标 F1( ，0)，F 2( ，0) ，13 13实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率 e ，ca 133渐近线方程 y x x.ba 23若将“36”改换为“36”呢？解：把方程 9y24x 236 化为标准形式为 1，y24 x29a 2，b3，c .13顶点为(0，2)，(0,2) ，焦点坐标为(0， )，(0 ， )，13 13实轴长是 2a4，虚轴长是 2b6，离心率 e .ca 132渐近线方程为
4、 y x.23已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b 的对应值，利用 c2a 2b 2 得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1已知双曲线 1 与 1，下列说法正确的是( )x29 y216 y216 x29A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：双曲线 1 的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线 1 的焦点和顶点x29 y216 y216 x29都在 y 轴上，因此可排除选项 A、B；双曲线 1 的离心率 e1 ，而双曲x29 y216 9 169 53线 1 的离心率 e
5、2 ，因此可排除选项 D；易得 C 正确y216 x29 16 916 54答案：C2(2017北京高考)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，则实数 m_.y2m 3解析：由双曲线的标准方程可知 a21，b 2m ，所以 e ，解得 m2.1 b2a2 1 m 3答案：2由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13) ，且离心率为 ；135(2)与双曲线 x22y 22 有公共渐近线，且过点 M(2，2) 自主解答 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又 ，ca 135所以 a5，b 12，c2 a2故其标准方程为 1.y225 x2
6、144(2)所求双曲线与双曲线 x22y 22 有公共渐近线，设所求双曲线方程为 x22y 2.又双曲线过点 M(2，2) ，则222(2) 2 ，即 4.所求双曲线方程为 1.y22 x24(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；由已知条件求出待定系数 a，b；将求得的系数 a，b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y x，那么此双曲线方程可设为ba ( 0)x2a2 y2b23根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为 y x，焦距为 10；12(2)已知双曲线与曲线 1 共焦点，与曲线
7、 1 共渐近线x224 y249 x236 y264解：(1)当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为 1( a0，b0)x2a2 y2b2由渐近线方程为 y x，得12 ，2c10.ba 12又 c2a 2b 2，得 a220，b 25，双曲线的标准方程为 1；x220 y25当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为 1，y25 x220所求双曲线的方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x220(2)由 1 得双曲线的焦点为(0 ，5) x224 y249又双曲线 1 的渐近线为 y x，x236 y264 43设所求双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2则：Er
8、ror!解得 b29，a 216.所求双曲线方程为 1.y216 x29求双曲线的离心率过双曲线 C： 1( a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，x2a2 y2b2交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_ 自主解答 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ，ba又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y (xc) 因为点 P 的横坐标为 2a，代入双ba曲线方程得 1，化简得 y b 或 y b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的4a2a2 y2b2 3 3坐标为(2 a， b)，代入直线方程得 b (2ac)，化简
9、可得离心率 e 2 .3 3ba ca 3答案 2 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e 求解，若已知 a，b，可利用 e 求ca 1 (ba)2解(2)方程法：若无法求出 a，b，c 的具体值，但根据条件可确定 a，b，c 之间的关系，可通过 b2c 2 a2，将关系式转化为关于 a，c 的齐次方程，借助于 e ，转化为关于 e 的can 次方程求解注意 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 a，b，c 的不等关系4(1)已知双曲线 1( a0，b0)若 2，求双曲线的离心率；x2a2 y2b2 ba(2)设点 P 在双曲线 1( a0，b0)的右支上，
10、双曲线两焦点x2a2 y2b2F1，F 2，| PF1|4| PF2|，求双曲线离心率的取值范围解：(1)c ，a2 b2e .ca a2 b2a2 1 (ba)2 1 22 5(2)由双曲线定义得：| PF1|PF 2|2a，与已知|PF 1|4|PF 2|联立解得：|PF1| a，| PF2| a.83 23由|PF 1| |PF2| |F1F2 |得：a a2c，解得 10，b0) ，依题意，得x2a2 y2b2Error!解得Error!所求双曲线方程为 1.x2359 y235法二：由渐近线方程 3xy0 ，可设所求双曲线方程为 y 2 (0)(*)x219将点 P(2，1)的坐标代
11、入(*)，得 35，所求的双曲线方程为 1.x2359 y2351双曲线 1 的渐近线方程是( )x225 y24Ay x By x25 52Cy x Dy x425 254解析：由 0，得 y2 x2，即 y x.x225 y24 425 25答案：A2双曲线 1 的离心率是( )x225 y216A. B.35 53C. D.415 541解析：a 225，b 216，c 2a 2b 241，e .ca 415答案：C3已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的x2a2 y2b2 54方程为( )A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C
12、. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析：e ，F 2(5,0)，ca 54c 5， a4， b2c 2a 29，双曲线 C 的标准方程为 1.x216 y29答案：C4已知双曲线 x2 1( b0)的一条渐近线的方程为 y2x，则 b_.y2b2解析：双曲线 x2 1( b0)的渐近线方程为 ybx，比较系数得 b2.y2b2答案：25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为_解析：画图可得相似直角三角形，因此有OAAOFF， 3，ca 62即 e3.答案：36求中心在原点，两顶点间距离为 6，渐近线为 y3x 的双曲线的标准方程解：因
13、为两顶点间的距离为 6，即 2a6，a3.当焦点在 x 轴上时，则有 3， b9.ba双曲线方程为 1.x29 y281当焦点在 y 轴上时，则有 3，b1.ab双曲线方程为 x 21.y29一、选择题1若双曲线 1( a0) 的离心率为 2，则 a 等于( )x2a2 y23A2 B. 3C. D132解析：很明显，双曲线的焦点在 x 轴上，则离心率 e 2，解得 a1.a2 3a答案：D2(2017全国卷)若 a1，则双曲线 y 21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ，) B( ，2)2 2C(1， ) D(1,2)2解析：由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a即 e2 1 .a
14、2 1a2 1a2a 1， 0 1，1a21 1 2，1e .1a2 2答案：C3已知双曲线 1(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆x2a2 y2b2(x2) 2y 23 相切，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x29 y213 x213 y29C. y 21 Dx 2 1x23 y23解析：由双曲线的渐近线 y x 与圆( x2) 2y 23 相切可知 ，ba|(ba) 2|1 (ba)2 3又Error!解得Error!故所求双曲线的方程为 x2 1.y23答案：D4设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，
15、那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 12解析：设双曲线方程为 1(a，b0) ，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为x2a2 y2b2B(0， b)，则 kFB .又渐近线的斜率为 ，所以由直线垂直关系得 1bc ba bcba，即 b2ac ，( ba显 然 不 符 合 )又 c2a 2b 2，故 c2a 2ac，两边同除以 a2，得方程 e2e 10，解得e (舍负值 )5 12答案：D二、填空题5已知双曲线 y 21( a0)的一条渐近线为 xy 0，则 a_.x2a2 3解析：双曲线 y 21 的渐近线为 y ，已知一条渐近线为 xy0，即 yx2
16、a2 xa 3x，因为 a0，所以 ，所以 a .31a 3 33答案：336已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为 x24y 2(0)双曲线过点(4， )，3164( )24，3双曲线的标准方程为 y 21.x24法二：渐近线 y x 过点(4,2)，而 0，b0)x2a2 y2b2由已知条件可得Error!解得Error!双曲线的标准方程为 y 21.x24答案： y 21x247已知双曲线 1(a0，b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线的离心x2a2 y2b2 x216 y29率
17、是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是( ，0) ，离心率是 .故在双曲线中 c ，e774 7 ，故 a2，b 2c 2a 23，故所求双曲线的方程是 1.72 ca x24 y23答案： 1.x24 y238已知双曲线 1 的离心率 e( ，2) ，则 m 的取值范围是 _x2m y24 2解析：由双曲线方程知 a2，b ，m 0)，ca 54则 a4k，由 b2c 2a 29k 24 得 k2 ，49a2 16k2 .由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1649 x2649 y24或 1.y2649 x24(3)由两顶点间的距离是 6 得
18、 2a6，即 a3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即 c6，于是有 b2c 2a 26 23 227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x29 y227 y29 x22710.如图所示，已知 F1，F 2 是双曲线 1(a0，b0) 的两焦x2a2 y2b2点，以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1 与双曲线的交点 P 满足 3 ，MP PF1 试求双曲线的离心率解：连接 PF2，设|F 1F2|2c ，由 3 知MP PF1 |PF1| |MF1|.14又MF 1F2 为正三角形，|PF1| 2c c，14 12PF1F
19、260，由余弦定理可得：|PF2| 2c2 (12c)2 22c12ccos 60 c.4c2 14c2 c2 132根据双曲线定义有2a|PF 2| PF1| c，13 12离心率 e .ca 413 1 13 13第二课时 直线与双曲线的位置关系读教材填要点1直线与双曲线的位置关系一般地，设直线 l：y kxm(m0)双曲线 C： 1(a0，b0)x2a2 y2b2把代入得(b 2a 2k2)x22a 2mkxa 2m2a 2b20.(1)当 b2a 2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交ba于一点(2)当 b2a 2k20，即 k 时， (2a 2m
20、k)24( b2a 2k2)(a 2m2a 2b2)ba0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0 且 x20，点 A，B 都在双曲线的右支上对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解决另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关的问题，这种问题经常用点差法解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决2直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求直线 l 在 y 轴上的截x23 y22距 m.解：设直线 l 的方程为 y2xm，由Error!得 10
21、x212mx3(m 22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得 x1x 2 m，x 1x2 (m22) 65 310|AB| |x1x 2|1 22 5x1 x22 4x1x2 4.5( 65m)2 4310m2 2解得 m .2103由(*)式得 24m 2240，把 m 代入上式，得 0，符合题意2103故 m 的值为 .2103解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知直线 yax1 与双曲线 3x2y 21 交于 A，B 两点若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值巧思 以 AB 为直径的圆
22、过坐标原点，即 OAOB.因此可联立直线与双曲线方程，设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则问题可转化为 x1x2y 1y20 求解妙解 由Error!消去 y，得(3a 2)x22ax 20.依题意Error!即 0 ，b0)，由题意知 c3，a 2b 29.设x2a2 y2b2A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则Error! ，两式作差得 .又直线 ABy1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 12b2 15a2 4b25a2的斜率是 1，所以 4b25a 2. 15 0 12 3代入 a2b 29 得 a24，b 25，所以双曲线的标准方程是 1.x24 y25
23、答案：B4过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，x2a2 y2b2与另一条渐近线交于点 B，若 2 ， 则此双曲线的渐近线的斜率是( )FB FA A B2 3C2 D 5解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程是 y x，不妨设过右焦点 F(c,0)(c0)的直ba线 l 与渐近线 y x 垂直，A( x1，y 1)，B( x2，y 2)，则直线 l 的方程为 y (xc)，两直线ba ab方程联立解得 y1 ；把方程 y (xc )与方程 y x 联立，解得 y2 ，因为abc ab ba abcb2 a22 ，所以(x 2c，y 2)2(x 1c，y 1
24、)，由此得 y22y 1，故 ，即FB FA abcb2 a2 2abc2(b2a 2)c 2a 2b 2，即 b a，故此双曲线的渐近线斜率是 .3 3答案：B二、填空题5过双曲线 1(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于x2a2 y2b2M，N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac ，即 a2acc 2a 2，b2ac2 ac2a 20，e 2e20，解得 e2 或 e1(舍去)答案：26已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F( ，0)，直线 yx1 与其相交于 M，N7两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
25、_23解析：设双曲线方程为 1(a0，b0) ，x2a2 y2b2依题意 c .方程可化为 1.7x2a2 y27 a2由Error!得(72a 2)x22a 2x8a 2a 40.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 x1x 2 . 2a27 2a2 ，x1 x22 23 ，解得 a22.a27 2a2 23双曲线的方程为 1.x22 y25答案： 1x22 y257设一个圆的圆心在双曲线 1 的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦y29 x216点，则原点 O 到该圆圆心的距离是 _解析：由已知得双曲线的上顶点为 A(0,3)，上焦点为 F(0，5)，设圆心为 P(x0，y
26、0)，则y0 4.代入双曲线方程得 1，所以 x ，故|PO| 3 52 169 x2016 20 7169 x20 y20 .7169 16 163答案：1638设 F1，F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存x2a2 y2b2在点 P，满足| PF2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 PF1 的中点为 M，由|PF 2|F 1F2|，故 F2MPF1，即|F 2M|2a，在 RtF1F2M 中，|F 1M| 2b，故2c2 2a2|PF1|4 b，根据双曲线定义得 4b2c2a，即 2bac，
27、即(2 ba) 2a 2b 2，即 3b24ab0，即 3b4a，又双曲线的渐近线方程是 y x，ba所以 y x，即 4x3y0.43答案：4x3y0三、解答题9设双曲线 C： y 21(a0)与直线 l：xy1 交于两个不同的点 A，B，求双曲x2a2线 C 的离心率 e 的取值范围解：由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点，可知方程 Error!有两组不同的解，消去y，并整理得(1a 2)x22a 2x2a 20，Error!解得 0 ，且 e ，62 2故双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为( ，)(62，2) 210已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，且过点 P(
28、 ，1)x2a2 y2b2 233 6(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 与双曲线交于两个不同点 A，B，且 2(O 为坐标原点)，2 OA OB 求 k 的取值范围解：(1)由已知 e ，c a，ca 233 233b2c 2a 2 a2a 2 a2，即 a23b 2.43 13又 P( ，1) 在双曲线上，6 1，b 21，a 23.63b2 1b2故所求双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)联立Error!消去 y 并整理得：(13k 2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线 C 交于不同两点 A(x1，y 1)和 B(x2，y 2)得：Error!k22.93k2 1 2 62k3k2 1 0.k2 33k2 1 k23.13由得 k21，13故 k 的取值范围是 .( 1， 33) ( 33，1)