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2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练:1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”(含解析)

1、12 简单的逻辑联结词12.1 逻辑联结词“非” 、 “且”和“或”读教材填要点1联结词“非”设 p 是一个命题,用联结词“非”对命题 p 作全盘否定,得到新命题,记作綈 p,读作“非 p”或“不是 p”2联结词“且”用联结词“且”把两个命题 p,q 联结起来,得到新命题,记作 pq,读作“p 且q”3联结词“或”用联结词“或”把两个命题 p,q 联结起来,得到新命题,记作 pq,读作“p 或q”4含有逻辑联结词的命题的真假判断p q pq pq 綈 p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真小问题大思维1逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同?提示:

2、有所不同日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思2 “或” “且”联结词的否定形式分别是什么?提示:“p 或 q”的否定形式是“綈 p 且綈 q”, “p 且 q”的否定形式是“綈 p 或綈q”3命题“綈 p”与命题“p 的否命题”有何不同?提示:命题“綈 p”与“否命题”完全不同,前者是对命题的结论否定,后者是既否定条件又否定结论如:若命题 p 为“若 s,则 t”,则綈 p:若 s,则綈 t,否命题:若 綈 s,则綈 t.逻辑联结词“非”写出下列命题的否定,并判断它们的真假(1)p:346;(2)p:杨振宁是数学家或物理学家;(3)p:不等式 x

3、23x20 的解集是x|1x 2 自主解答 (1)346 是一个简单命题, “”的否定即是“” ,所以“非 p”:346.由于 p 是真命题,故命题“非 p”是假命题(2)命题是一个“pq”形式的命题,其否定为“( 綈 p)(綈 q)”的形式,所以“非p”:杨振宁既不是数学家又不是物理学家由于 p 是真命题,故命题“非 p”是假命题(3)“非 p”:不等式 x23x20 的解集不是x|1x 2由于 p 是假命题,故命题“非 p”是真命题若将例 1(2)中的“或”改为“且” ,如何解答?解:綈 p:杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家,由于 p 是假命题,故命题綈 p是真命题写“非 p”应先弄清

4、 p 的条件与结论另外,要注意改变原命题的真假,一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定如“等于”的否定是“不等于” , “大于”的否定是“不大于”即“小于或等于” , “都是”的否定是“不都是” 1写出下列各命题的否定及否命题,并判断它们的真假(1)若 a,b 都是奇数,则 ab 是偶数;(2)全等的三角形是相似三角形解:原命题的否定:(1)若 a,b 都是奇数,则 ab 不是偶数,为假命题(2)全等三角形不是相似三角形,为假命题原命题的否命题:(1)若 a,b 不都是奇数,则 ab 不是偶函数,为假命题(2)不全等的三角形不是相似三角形,为假命题逻辑联结词“且”对下列各组命题,利用逻辑联结词

5、“且”构造新命题,并判断它们的真假(1)p:12 是 3 的倍数,q:12 是 4 的倍数;(2)p:3,q:4 或 44” ,其中“4 4”是真命题,所以“44”是真命题(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“pq”形式的命题,其中 p:仅有一组对边平行的四边形是梯形,q:仅有一组对边平行的四边形是平行四边形因为 p 真 q 假,所以 pq 为真,故原命题是真命题解题高手 妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题命题 p:不等式 x2(a1) x10 的解集是;命题 q:函数 f(x)(a1) x 在定义域内是增函数如果 pq 为假命题,p q 为真

6、命题,求 a 的取值范围巧思 因为 pq 为假命题, pq 为真命题,故 p 和 q 必有一真一假因此可先求出p,q 为真命题时 a 的取值范围,然后分“p 真 q 假” “p 假 q 真”两种情况即可求出 a 的取值范围妙解 对于 p:因为不等式 x2(a1)x10 的解集是 ,所以 (a1) 241,所以 a0.又 pq 为假命题,pq 为真命题,所以 p,q 必是一真一假当 p 真 q 假时有30,ln( x1)0;命题 q:若 ab,则 a2b2.下列命题为真命题的是( )Apq Bp綈 qC綈 pq D綈 p綈 q解析:当 x0 时,x 11,因此 ln(x1)0,即 p 为真命题;

7、取 a1,b2,这时满足 ab,显然 a2b2 不成立,因此 q 为假命题由复合命题的真假性,知 B 为真命题答案:B4已知命题 p:6 是 12 的约数,q:6 是 24 的约数,则 pq 是_,pq 是_,綈 p 是_解析:pq:6 是 12 和 24 的约数;pq:6 是 12 或 24 的约数;綈 p:6 不是 12 的约数答案:6 是 12 和 24 的约数 6 是 12 或 24 的约数 6 不是 12 的约数5命题 p:0 不是自然数,命题 q: 是无理数,则在命题“p 且 q”“p 或 q”“非 p”2“非 q”中真命题是_,假命题是_解析:显然 p 为假命题,q 是真命题,故

8、“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,“非 p”为真命题, “非 q”为假命题答案:p 或 q, 非 p p 且 q,非 q6对命题 p:1 是集合x| x21;若 q 为真,则 2x|x24.若“p 或 q”为真,则 a1 或 a4,即 a1;若“p 且 q”为真,则 a1 且 a4,即 a4.一、选择题1 “pq 为假命题”是“綈 p 为真命题”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:pq 为假命题,则 p, q 均为假命题,故 pq 为假命题 綈 p 为真命题,但綈 p为真命题 pq 为假命题答案:A2已知 p:点 P 在直线 y2x

9、 3 上,q:点 P 在直线 y 3x2 上,则使命题 pq为真命题的一个点 P(x,y) 是( )A(0,3) B(1,2)C(1,1) D( 1,1)解析:因为 pq 为真命题,所以 p,q 均为真命题,即点 P 为直线 y2x3 与y3x2 的交点,故有Error!解得Error!故选 C.答案:C3已知全集 UR,AU,BU,如果命题 p: ( AB),则命题“綈 p”是( )3A. A B. ( UA)( UB)3 3C. UB D. (AB)3 3解析:由 p: (AB),可知 綈 p: (AB),3 3即 U(AB),而 U(AB)( UA)( UB)3答案:B4下列各组命题中,

10、满足“p 或 q”为真,且“非 p”为真的是( )Ap:0; q:0Bp:在ABC 中,若 cos 2Acos 2B,则 AB;q:函数 ysin x 在第一象限是增函数Cp:ab2 (a,bR);q:不等式| x|x 的解集为(,0)abDp:圆(x1) 2(y2) 21 的面积被直线 x1 平分;q:过点 M(0,1)且与圆(x1)2(y 2)21 相切的直线有两条解析:A 中,p,q 均为假命题,故 “p 或 q”为假,排除 A;B 中,由在ABC 中,cos 2Acos 2B,得 12sin 2A12sin 2B,即(sin Asin B)(sin Asin B)0,所以AB 0,故

11、p 为真,从而“非 p”为假,排除 B;C 中, p 为假,从而“非 p”为真,q为真,从而“p 或 q”为真;D 中,p 为真,故“非 p”为假,排除 D.故选 C.答案:C二、填空题5命题“若 abc0,则 a,b,c 中至少有一个为零”的否定为:_,否命题为:_.解析:否定形式:若 abc0,则 a,b,c 全不为零否命题:若 abc0,则 a,b,c 全不为零答案:若 abc0,则 a,b,c 全不为零 若 abc0,则 a,b,c 全不为零6已知命题 p:x1,命题 q: 1,则綈 p 是 q 的_条件(填“充要” “充分1x不必要” “必要不充分” “既不充分也不必要”中的一个)解

12、析:p:x1綈 p:x1 1,但 1 x1.1x 1x綈 p 是 q 的充分不必要条件答案:充分不必要7若命题 p:不等式 axb0 的解集为Error!,命题 q:关于 x 的不等式( xa)(xb)0 的解集为x |ax b,则“pq” “pq” “綈 p”形式的复合命题中的真命题是_解析:因命题 p,q 均为假命题,所以“pq” “pq”为假命题, “綈 p”为真命题答案:綈 p8已知条件 p:(x1) 24,条件 q:x a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是_解析:由綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,可知綈 p綈 q,但綈 q 綈 p,又一个命题与它的逆否

13、命题等价,可知 qp,但 p q,又 p:x1 或 xax|x1,所以 a1.答案:1,)三、解答题9写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题,并判断真假(1)p:1 是质数,q:1 是方程 x22x30 的根;(2)p:平行四边形的对角线一定相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;(3)p:NZ,q:0N.解:(1)因为 p 假 q 真,所以 p 或 q:1 是质数或 1 是方程 x22x 30 的根,为真命题;p 且 q:1 是质数且 1 是方程 x22x30 的根,为假命题;非 p:1 不是质数,为真命题(2)因为 p 假 q 假,所以 p 或 q:平行

14、四边形的对角线一定相等或互相垂直,为假命题;p 且 q:平行四边形的对角线一定相等且互相垂直,为假命题;非 p:平行四边形的对角线不一定相等,为真命题(3)因为 p 真 q 真,所以 p 或 q:N Z 或 0N,为真命题;p 且 q:NZ 且 0N,为真命题;非 p:N Z,为假命题10设命题 p:函数 f(x)log ax(a0,且 a1)在(0 ,)上单调递增;q:关于 x 的方程 x22xlog a 0(a0,且 a1)的解集只有一个子集若 pq 为真,pq 为假,求实32数 a 的取值范围解:当命题 p 是真命题时,应有 a1.当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x22x log a 0 无解,32所以 44log a 0,解得 1a .32 32由于 pq 为真,则 p 和 q 中至少有一个为真,又 pq 为假,则 p 和 q 中至少有一个为假,所以 p 和 q 中一真一假,当 p 假 q 真时,有Error!不存在符合条件的实数 a;当 p 真 q 假时,有Error!解得 a ,32综上所述,实数 a 的取值范围是 .32, )