1、11.3 充分条件和必要条件读教材填要点充分条件与必要条件命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题“若 p，则 q”和“若q，则 p”都是真命题推出关系 pq p q pq条件关系p 是 q 的 充分条件 q 是 p的必要条件p 不是 q 的充分条件 q不是 p 的必要条件p 是 q 的充分必要条件，p 和 q 称为互相等价小问题大思维1如果 p 是 q 的充分条件，则 p 是唯一的吗？提示：不唯一，如 x3 是 x0 的充分条件，x5，x10 等都是 x0 的充分条件2若“xA” 是“x B”的充要条件，则 A 与 B 的关系怎样？提示：AB .3p 是 q 的充要条
2、件，q 是 s 的充要条件，p 是 s 的充要条件吗？提示：是p 是 q 的充要条件， pq.又 q 是 s 的充要条件，q s.故 ps，即 p 是s 的充要条件充分条件、必要条件的理解下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件：(1)若 x1，则 x24x 30 ；(2)若 f(x)x，则 f(x)在( ，)上为增函数；(3)若 x 为无理数，则 x2 为无理数；(4)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等自主解答 (1)当 x1 时，x 24x 31430，因此命题是真命题，即 pq，故 p 是 q 的充分条件(2)易知函数 f(x)x 在(， ) 上是增函
3、数，因此命题是真命题，即 pq，故 p 是q 的充分条件(3)当 x 时，x 2( )22 不是无理数，因此命题是假命题，即 p q，故 p 不是 q2 2的充分条件(4)两条垂直于 x 轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即 p q，故 p 不是 q 的充分条件p 是 q 的充分条件是由命题“若 p，则 q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若 p，则 q”为真，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若命题“若 p，则 q”为假，则 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件1下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 q
4、 是 p 的必要条件？(1)若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列；(2)若有且只有一个实数 ，使 ab，则 ab；(3)若 l，则直线 l 与平面 所成角大小为 0；(4)若函数 f(x) ax(a0 且 a1)，则 f(x)是单调增函数解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4) 是假命题，所以命题(2)(3) 中的 q 是 p 的必要条件充分条件与必要条件的判断(1)(2017天津高考)设 xR ，则“2x0”是“|x1| 1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017北京高考)设 m，n 为非零向量，则 “存在负数 ，使得 mn”是
5、“mn0.方程一定有两不等实根设为 x1，x 2，则 x1x2 y，求证： 0.1x1y证明：(1)必要性：由 y，得 yx0.(2)充分性：由 xy0 及 xy，得 ，即 0.1x1y解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知 p：2x10，q：x 22x 1m 20(m0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围巧思 先求不等式的解集，然后根据充分条件以及必要条件的意义，将命题间的关系转化为集合间的关系即可求解妙解 p：2x 10.q：x 22x1m 20 x(1m) x(1 m )0( m0)1mx1m (m0)q 是 p 的充分不必要条件，即x|1
6、 mx1m x|2x10 故有Error!或Error!解得 m3.又 m0，所以实数 m 的取值范围为(0,31 “x1”是“x 22x 10 ”的( )A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分又不必要条件解析：因为 x22x 10 有两个相等的实数根，为 x1 ，所以“x1”是“x22x10”的充要条件答案：A2设集合 AxR| x20 ，B xR|x0，CxR|x(x2) 0，则“xA B ”是“x C”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：ABx R|x0 或 x2 ，CxR|x0 或 x2，ABC，xAB 是 xC
7、的充分必要条件答案：C3设 a，b 是实数，则“ab0”是“ab0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：特值法：当 a10，b1 时，ab0，ab0，故 ab0 ab0；当a2，b1 时，ab0，但 ab0，所以 ab0 ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分又不必要条件答案：D4 “a 和 b 都是偶数”是“ab 是偶数”的_条件解析：a 和 b 都是偶数ab 是偶数；ab 是偶数 a 和 b 都是偶数答案：充分不必要5设 ， 为平面，m，n ，l 为直线，则对于下列条件：， l，ml； m， ， ； ， ，m；n，n， m.其中为 m 的充
8、分条件的是_( 将你认为正确的所有序号都填上 )解析：由线面垂直的判定定理可知，为 m 的充分条件答案：6如果 p：x(x3)1”是“|x|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：x1| x|1，而|x|1x1 或 x1”是“| x|1”的充分而不必要条件答案：A2设 a，b 为实数，则“0ab1”是“b ”的( )1aA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件解析：一方面，若 0ab1，则当 a0 时，0b ，1ab 不成立；另一方面，若 b ，则当 a0 时，ab1，1a 1a0 ab1 不成立，故选 D.答案
9、：D3方程“ax 22x 10 至少有一个正实根”的充要条件是( )A1a1Ca1 D1a0解析：a0 时，方程 ax22x10 有一正根，排除 A、D 两项；a1 时，方程化为 x22x10，即(x 1) 20，x10.答案：C4使|x| x 成立的一个必要不充分条件是( )Ax0 Bx 2xClog 2(x1)0 D2 xa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析：p：x1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 pq，但 q p，也就是说，p 对应集合是 q 对应集合的真子集，所以 a2 且 y3”是“x y 5”的充要条件；b 24ac2 且 y3 时，x y 5
10、成立，反之不一定，如 x0，y6.所以“x 2 且y3”是“xy5 ”的充分不必要条件；不等式解集为 R 的充要条件是 a0，y0.所以“lg xlg y 0”成立， xy1 必成立，反之不然因此“xy1”是“lg x lg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：8已知“10，解得 1b2” 是“ ab”的必要条件；(3)直线 l1：axy 3，l 2：x by c0，则“ab1”是 l1l 2 的必要条件；(4)条件 p：b0，条件 q：函数 f(x)ax 2bxc 是偶函数，则 q 是 p 的充分条件解：(1)Error! m，(反例：m 可能与 平行)，“”不是“m ”的充分条件(2)ab a2b2，(反例：0 2 但 02b2”不是“ab”的必要条件(3)l1l2，l 1 的斜率为a，l2 的斜率存在且与 l1 的斜率相等 a，1bab1.即“l 1l2”ab1，“ab1”是“l 1l2”的必要条件(4)f(x)ax 2 bxc 为偶函数，由 f(x)f( x)得 b0.q 是 p 的充分条件10是否存在实数 p，使 4xp0 的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由解：由 x2x20 ，解得 x2 或 x2 或 x0，p4所以 p 的取值范围为4， )