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2019年湘教版数学选修1-2讲义+精练:7.4 复数的几何表示(含解析)

1、74 复数的几何表示读教材填要点1复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x 轴叫作实轴,y 轴叫作虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数 za bi(a,bR)一一对应复平面内的点 P(a,b); (2)复数 za bi(a,bR)一一对应平面向量 ( a,b)OP 3复数的模复数 zabi(a,bR)对应的向量为 ,则 的模叫作复数 z 的模,记作|z| , OP OP 且|z | .a2 b24共轭复数(1)定义及记忆:对于任意复数 zabi(a,bR),将复数 abi 称为原来的复数 z 的共轭复数,记作: .z(2)性质:

2、z;z复平面上两点 P,Q 关于 x 轴对称 它们所代表的复数相互共轭5复数加减法的几何意义如图:设复数 z1,z 2 对应向量分别为 , ,四边形 OPSQ 为OP OQ 平行四边形,则与 z1z 2 对应的向量是 ,与 z1z 2 对应的向量是OS .小问题大思维1平面向量能够与复数一一对应的前提是什么?提示:向量的起点在原点2若复数(a1)ai( aR)在复平面内对应的点 P 在第二象限,则 a 的取值范围是什么?提示:由题意知Error!即 03.答案:(3,)5复数 zsin icos ,则 |z|_.3 6解析:z i,32 32|z| .(32)2 ( 32)2 62答案:626

3、在复平面上,复数 i,1,4 2i 的对应的点分别是 A,B,C ,求平行四边形 ABCD 的D 点所对应的复数解:法一:由已知 A(0,1),B(1,0),C(4,2),则 AC 的中点 E ,(2,32)由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点,设 D(x, y),则Error!Error!即 D(3,3),D 点对应的复数为 33i.法二:由已知: (0,1), (1,0), (4,2) OA OB OC (1,1), (3,2)BA BC (2,3)BD BA BC (3,3)OD OB BD 即点 D 对应的复数为 33i.一、选择题1.若 i 为虚数单位,如图中复平面内点 Z

4、表示复数 z,则表示复数的点是( )z1 iAE BFCG DH解析:由题图可得 z3i,所以 2i,则其在复平z1 i 3 i1 i 3 i1 i1 i1 i 4 2i2面上对应的点为 H(2,1)答案:D2已知 0a2,复数 zai(i 是虚数单位),则|z| 的取值范围是 ( )A(1, ) B(1, )3 5C(1,3) D(1,5)解析:|z| ,a2 10 a2,1 a215,| z|(1, )5答案:B3设复数 z 满足条件 z| z|2i ,那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34解析:法一:设 zxy i(x, yR),则xyi 2i.x2 y

5、2Error!解得Error!z i.34法二:|z|R,由复数相等的充要条件可知:若等式 z|z|2i 成立,则必有虚部为 1,故可设 zxi( xR),代入原等式有:x 2,x2 1解得 x ,所以 z i.34 34答案:D4若 x,yR,i 为虚数单位,且 xy( xy)i3i ,则复数 xyi 在复平面内所对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:xy(xy)i3i,Error!解得Error!复数 12i 所对应的点在第一象限答案:A二、填空题5在复平面内表示复数 z(m 3)2 i 的点在直线 yx 上,则实数 m 的值为m_解析:由表示复数 z(m3)2

6、 i 的点在直线 yx 上,m得 m32 ,解得 m9.m答案:96若 z|z|2,则复数 z_.解析:设 zabi,则 abi 2,a2 b2b 0,a|a|2,a1.z1.答案:17复数 z1cos isin (0 ,得 m5.即当 m5 时,z 的对应点在 x 轴上方(5)由(m 25m 6)(m 22m 15) 50,得 m 或 m . 3 414 3 414即当 m 或 m 时,z 的对应点在直线 xy50 上 3 414 3 41410设 zxyi(x ,yR),若 1|z| .试问复数 wx y( xy)i 的对应点的集合2表示什么图形,并求其面积解: |z| 且 1| z| ,x2 y2 21 x2 y22.又|w | x y2 x y2 ,2x2 2y2 | w|2.2令 wmni(m,nR),则 2,2 m2 n2即 2m 2n 24.故 w 对应点的集合是以原点为圆心,半径为 和 2 的圆环内点的集合 (含内外圆周),2其面积 S2 2( )22.2