1、2018 年湖北省荆门市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.每小题给出 4 个选项，只有一个是正确的）1 （3 分）下列各数中，没有平方根的是（ ）A3 2 B| 3| C （3） 2 D（3）2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A 3 Ba 2a4a 6C （2a 2） 32a 6 D （a+2） 2a 2+43 （3 分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.000 000 001s把 0.000 000 001s 用科学记数法可表示为（ ）A0.110 8 s B0.110 9 s C110 8 s D1
2、10 9 s4 （3 分）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ）A主视图的面积最大 B左视图的面积最大C俯视图的面积最大 D三个视图的面积一样大5 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上如果260，那么1 的度数为（ ）A60 B50 C40 D306 （3 分）若整数 k 满足 k k +1，则 k 的值是（ ）A6 B7 C8 D97 （3 分）已知关于 x 的方程 x22x +3k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）第 2 页（共 27 页）
3、Ak Bk Ck 且 k0 Dk 且 k08 （3 分）如果关于 x 的不等式组 的解集为 x7，则 m 的取值范围为（ ）Am7 Bm7 Cm7 Dm 79 （3 分）小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为 t 分钟，所走的路程为 s 米，s 与 t 之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（ ）A小李中途休息了 20 分钟B小李休息前爬山的速度为每分钟 70 米C小李在上述过程中所走的路程为 6600 米D小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度10 （3 分）已知 2 是关于 x 的方程 x2（5+m
4、）x+5m 0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，则 ABC 的周长为（ ）A9 B12 C9 或 12 D6 或 12 或 1511 （3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交BC 于点 E，若 BF6，AB5，则AEB 的正切值为（ ）A B C D12 （3 分）如图，O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是O 上任意一点，过点 P 作 PMAB 于点 M，PN CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 从点第 3 页（共 27 页）A 运动到点 D 时，点
5、Q 所经过的路径长为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）13 （3 分）分解因式（ab） （a4b）+ab 的结果是 14 （3 分）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有 100 幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的 2 倍多 7 幅，则展出的油画作品有 幅15 （3 分）如图，双曲线 y 于直线 y x 交于 A、 B 两点，且 A（2，m） ，则点B 的坐标是 16 （3 分）当 xm 或 xn（mn）时，代数式 x22
6、x+4 的值相等，则当 xm+n 时，代数式 x22x+4 的值为 17 （3 分）如图，菱形 ABCD 边长为 4，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到A 1MN，连接 A1C，则 A1C 的最小值是 三、解答题（本大题共 7 小题，共计 69 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第 4 页（共 27 页）18 （8 分） （1）计算：|2 |+2sin60+（ ） 1 （ ） 0；（2）解二元一次方程组19 （9 分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢
7、的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为 A） 、音乐类（记为 B） 、球类（记为 C） 、其它类（记为 D） 根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为 人，扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为 度，请补全条形统计图；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类 4 名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画班主任现从 A 类 4 名学生中随
8、机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率20 （10 分）在ABC 中，B90，ABBC ，点 D 是 BC 边上的一点，连接 AD，将AD 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DE，作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）求证：EFCF第 5 页（共 27 页）21 （10 分）某市一种出租车起步价是 5 元（路程在 3km 以内均付 5 元） ，达到或超过3km，每增加 0.5km 加价 0.7 元（不足 0.5km 按 0.5km 计） 某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费 14.8 元，
9、那么甲地到乙地的路程是多少？22 （10 分）如图，在某海上观测点 B 处观测到位于北偏东 30方向有一艘救船 A，搜救船 A 最大航速 50 海里/时，AB 52 海里，在位于观测点 B 的正东方向，搜救船 A 的东南方向有一失事渔船 C，由于当天正值东南风，失事渔船 C 以 2 海里/时的速度向西北方向漂移，若不考虑大风对搜救船 A 的航线和航速的影响，求失事渔船获救的最快时间23 （10 分）如图，半圆 O 的直径 AB20，弦 CDAB，动点 M 在半径 OD 上，射线 BM与弦 CD 相交于点 E（点 E 与点 C、D 不重合） ，设 OMm （1）求 DE 的长（用含 m 的代数式
10、表示） ；（2）令弦 CD 所对的圆心角为 ，且 sin 若 DEM 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围；若动点 N 在 CD 上，且 CNOM，射线 BM 与射线 ON 相交于点 F，当OMF90 时，求 DE 的长24 （12 分）如图，抛物线 yx 2mx（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x 1，0） ，与 x 轴正半轴交于点 B（x 2，0） （OAOB） ，与 y 轴交于点 C，且满足 x12+x22x 1x213（1）求抛物线的解析式；（2）以点 B 为直角顶点，BC 为直角边作 RtBCD，CD 交抛物线于第四象限的点E，若 ECED，求点
11、E 的坐标；第 6 页（共 27 页）（3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 SACQ 2S AOC ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由第 7 页（共 27 页）2018 年湖北省荆门市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.每小题给出 4 个选项，只有一个是正确的）1 （3 分）下列各数中，没有平方根的是（ ）A3 2 B| 3| C （3） 2 D（3）【分析】由于负数没有平方根，那么只要找出 A、B、C 、D 中的负数即可【解答】解：A、3 290，故本选项正确；B、| 3|30，故本选项错误；C、 （3）
12、 290，故本选项错误；D、（3）30，故本选项错误故选：A【点评】本题主要考查了平方根的定义及性质定义：如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A 3 Ba 2a4a 6C （2a 2） 32a 6 D （a+2） 2a 2+4【分析】根据同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，二次根式的性质，完全平分公式，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、 3，故错误：B、正确；C、 （2a 2） 38a 6，故正确；D、 （a+2）
13、 2 a2+4a+4，故错误；故选：B【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键3 （3 分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.000 000 001s把 0.000 000 001s 用科学记数法可表示为（ ）第 8 页（共 27 页）A0.110 8 s B0.110 9 s C110 8 s D110 9 s【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000 000 001
14、110 9 ，故选：D【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4 （3 分）由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ）A主视图的面积最大 B左视图的面积最大C俯视图的面积最大 D三个视图的面积一样大【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案【解答】解：主视图有 4 个小正方形，左视图有 4 个小正方形，俯视图有 5 个小正方形，因此俯视图的面积最大，故选：C【点评】此题主要
15、考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中5 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上如果260，那么1 的度数为（ ）A60 B50 C40 D30第 9 页（共 27 页）【分析】根据三角形外角性质可得330+1，由于平行线的性质即可得到2360，即可解答【解答】解：如图，31+30，ABCD，2360，1330603030故选：D【点评】本题考查了平行线的性质，关键是根据：两直线平行，内错角相等也利用了三角形外角性质6 （3 分）若整数 k 满足 k k +1，则 k 的值是（ ）A6 B7 C8 D9
16、【分析】先估算出 的范围，即可得出选项【解答】解：9 10，k9，k+1 10，故选：D【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出 的范围是解此题的关键7 （3 分）已知关于 x 的方程 x22x +3k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk Ck 且 k0 Dk 且 k0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，即可求出 k 的范围【解答】解：方程 x22x +3k0 有两个不相等的实数根，412k0，解得：k 故选：A第 10 页（共 27 页）【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键8 （3 分）
17、如果关于 x 的不等式组 的解集为 x7，则 m 的取值范围为（ ）Am7 Bm7 Cm7 Dm 7【分析】不等式整理后，由已知解集确定出 m 的范围即可【解答】解：不等式组整理得： ，由已知解集为 x7，得到 m 的范围是 m7，故选：D【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键9 （3 分）小李双休日爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为 t 分钟，所走的路程为 s 米，s 与 t 之间的函数关系式如图所示，下列说法错误的是（ ）A小李中途休息了 20 分钟B小李休息前爬山的速度为每分钟 70 米C
18、小李在上述过程中所走的路程为 6600 米D小李休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度【分析】根据函数图象可知，小明 40 分钟爬山 2800 米，4060 分钟休息，60100 分钟爬山（38002800）米，爬山的总路程为 3800 米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可【解答】解：A、根据图象可知，在 4060 分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：604020 分钟，故正确；B、根据图象可知，当 t40 时，s 2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：第 11 页（共 27 页）28004070（米/分钟） ，故 B 正确；C、根据图象可知，小明在上述过程中所走
19、的路程为 3800 米，故错误；D、小明休息后的爬山的平均速度为：（ 38002800）（10060）25（米/分） ，小明休息前爬山的平均速度为：28004070（米/分钟） ，7025，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；故选：C【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题10 （3 分）已知 2 是关于 x 的方程 x2（5+m ）x+5m 0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，则 ABC 的周长为（ ）A9 B12 C9 或 12 D6 或 12 或 15【分析】先把 x2 代入 x2
20、（5+m ）x+5m 0 中得 42（5+m）+5m0，解得 m2，再解方程得到 x12，x 25，然后根据三角形三边的关系得到等腰ABC 的腰长为 5，底边长为 2，再计算三角形的周长【解答】解：把 x2 代入方程 x2（5+m ）x+5m 0 得 42（5+m）+5m0，解得m2，方程化为 x27x +100，解得 x12，x 25，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，所以等腰ABC 的腰长为 5，底边长为 2，所以ABC 的周长为 5+5+2 12故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了等腰三角形的性质和
21、三角形三边的关系11 （3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交BC 于点 E，若 BF6，AB5，则AEB 的正切值为（ ）第 12 页（共 27 页）A B C D【分析】BF 交 AG 于 H，如图，由作法得 AFAB，由于 AG 平分BAD，根据等腰三角形的性质得到 AEBF ，BHFH BF3，再利用平行四边形的性质证明23，接着证明 BEBA5，然后利用勾股定理计算出 EH 后根据正切的定义求解【解答】解：BF 交 AG 于 H，如图，由作法得 AFAB ，AG 平分BAD，12，AEBF，BHFH BF3，四边形 ABCD
22、 是平行四边形，ADBC，23，13，BEBA5，在 Rt BEH 中，HE 4，tan3 ，即AEB 的正切值为 故选：A【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了平行四边形的性质和解直角三角形12 （3 分）如图，O 的半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是O 上任意一点，过点 P 作 PMAB 于点 M，PN CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 从点第 13 页（共 27 页）A 运动到点 D 时，点 Q 所经过的路径长为（ &n
23、bsp;）A B C D【分析】OP 的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得 OQ1，再由走过的角度代入弧长公式即可【解答】解：如图所示：PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N，四边形 ONPM 是矩形，又点 Q 为 MN 的中点，点 Q 为 OP 的中点，则 OQ1，点 Q 走过的路径长 故选：C【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点 Q 运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）13 （3 分）分解因式（ab） （a4b）+ab 的结果是 （a2b） 2 【分析】首先去括号，
24、进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：（ab） （a4b）+aba 25ab+4b 2+aba 24ab+4b 2（a2b） 2故答案为：（a2b） 2【点评】此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键第 14 页（共 27 页）14 （3 分）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有 100 幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的 2 倍多 7 幅，则展出的油画作品有 69 幅【分析】设展出的油画作品的数量是 x 幅，展出的国画作品是 y 幅，则根据“展出的油画作品和国画作品共有 100 幅，其中油画作品的数量是国画作品数量
25、的 2 倍多 7 幅”列出方程组并解答【解答】解：设展出的油画作品的数量是 x 幅，展出的国画作品是 y 幅，依题意得，解得 ，故答案是：69【点评】本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键15 （3 分）如图，双曲线 y 于直线 y x 交于 A、 B 两点，且 A（2，m） ，则点B 的坐标是 （2，1） 【分析】根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根
26、据解方程组，可得答案【解答】解：当 x2 时，y （2）1，即 A（2，1） 将 A 点坐标代入 y ，得 k212，反比例函数的解析式为 y ，第 15 页（共 27 页）联立双曲线、直线，得 ，解得 ， ，B（2，1） ，故答案为：（2，1） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点16 （3 分）当 xm 或 xn（mn）时，代数式 x22x+4 的值相等，则当 xm+n 时，代数式 x22x+4 的值为 4 【分析】根据已知条件，列出等式 m22m +4n 22n+4，化简能得出 m+n 的值为 2，将 x2 代入
27、代数式即可求值【解答】解：由题意，得m22m+4n 22n+4 ，移项，得m2n 22m2n+44，化简，得（m+ n） （mn）2（mn ） ，等式两边同时除以（mn） ，得m+n2 当 xm+n2 时，x22x+42 2 22+44故答案为 4【点评】本题考查因式分解的知识，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解决本题的关键17 （3 分）如图，菱形 ABCD 边长为 4，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到A 1MN，连接 A1C，则 A1C 的最小值是 2 2 第 16 页（共 27 页）【分析】根据题意得
28、出 A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 AC 的长即可；【解答】解：如图所示：MA是定值，AC 长度取最小值时，即 A在 MC 上时，过点 M 作 MHDC 于点 F，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A60，M 为 AD 中点，2MD AD CD4，HDM60，HMD 30，HD MD 1，HM DMcos30 ，MC 2 ，ACMCMA 2 2；故答案为 2 2【点评】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，不同的突破点是正确寻找点A的位置三、解答题（本大题共 7 小题，共计 69 分。解答应写出文字说明
29、，证明过程或演算步骤）18 （8 分） （1）计算：|2 |+2sin60+（ ） 1 （ ） 0；（2）解二元一次方程组【分析】 （1）根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本第 17 页（共 27 页）题；（2）根据解二元一次方程组的方法可以解答本题【解答】解：（1）|2 |+2sin60+（ ） 1 （ ） 02 +2 +212 +213；（2） ，得5y5，解得，y1，将 y1 代入，得x3故元方程组的解是 【点评】本题考查绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法19 （9 分）某校七年级（1）
30、班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为 A） 、音乐类（记为 B） 、球类（记为 C） 、其它类（记为 D） 根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为 48 人，扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为 第 18 页（共 27 页）105 度，请补全条形统计图；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类 4 名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画班
31、主任现从 A 类 4 名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率【分析】 （1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：1225%48（人） ，继而可得扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为为： 360105；然后求得 C 类的人数，则可补全统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）七年级（1）班学生总人数为：1225%48（人） ，扇形统计图中 D 类所对应扇形的圆心角为
32、为： 360 105；故答案为：48，105；C 类人数：4841214 18（人） ，如图：（2）分别用 A，B 表示两名擅长书法的学生，用 C，D 表示两名擅长绘画的学生，画树状图得：共有 12 种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有 8 种情况，第 19 页（共 27 页）抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20 （10 分）在ABC 中，B90，ABBC ，点 D 是 BC 边上的一点，连接 AD，将AD 绕点 D 顺时针旋
33、转 90得到 DE，作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）求证：EFCF【分析】 （1）依据 AD 绕点 D 顺时针旋转 90得到 DE，作 EFBC 交 BC 的延长线于点 F 进行作图（2）依据 AAS 判定ABD DFE ，即可得到 BDEF，ABDF，再根据 ABBC，可得 BCDF，进而得出 BDCF，等量代换可得 EFCF【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：由题可得，ADEB90，ADED，BAD+ADB ADB +EDF 90，BADEDF，在ABD 和DFE 中，ABDDFE（AAS ） ，第 20 页（共 27 页）BDEF，ABDF，又AB
34、BC，BCDF，BCCDDFCD，即 BDCF，EFCF【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质21 （10 分）某市一种出租车起步价是 5 元（路程在 3km 以内均付 5 元） ，达到或超过3km，每增加 0.5km 加价 0.7 元（不足 0.5km 按 0.5km 计） 某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费 14.8 元，那么甲地到乙地的路程是多少？【分析】根据起步价与超过 3 千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出不等式组解答即可
35、【解答】解：设从甲地到乙地的路程是 xkm，根据题意，得：14.80.75+1.4（x3）14.8，解得：9.5x10，答：甲地到乙地的路程大于 9.5km 且不超过 10km【点评】此题主要考查了一元一次不等式在实际中的应用，注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；理清题意是采用分段函数解决问题的关键22 （10 分）如图，在某海上观测点 B 处观测到位于北偏东 30方向有一艘救船 A，搜救船 A 最大航速 50 海里/时，AB 52 海里，在位于观测点 B 的正东方向，搜救船 A 的东南方向有一失事渔船 C，由于当天正值东南风，失事渔船 C 以 2 海里/时的速度向西北方向漂
36、移，若不考虑大风对搜救船 A 的航线和航速的影响，求失事渔船获救的最快时间【分析】作 ADBC 于点 D，在直角三角形 ABD 中，根据三角函数求得 AD 的长；再第 21 页（共 27 页）在直角三角形 ACD 中，根据三角函数求得 AC 的长；先求出 BC 的长，再根据搜救船行驶路程+失事船只漂移路程AC 的长列方程求解可得【解答】解：过点 A 作 AD BC 于点 D，在 Rt ABD 中，AB 52 、B60，ADABsin B52 78 ，在 Rt ADC 中， AD78 ，C45，AC AD156，设失事渔船获救的最快时间为 t，根据题意，得：2t+50 t156，t3，答：失事渔
37、船获救的最快时间为 3 小时【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解23 （10 分）如图，半圆 O 的直径 AB20，弦 CDAB，动点 M 在半径 OD 上，射线 BM与弦 CD 相交于点 E（点 E 与点 C、D 不重合） ，设 OMm （1）求 DE 的长（用含 m 的代数式表示） ；（2）令弦 CD 所对的圆心角为 ，且 sin 若 DEM 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围；若动点 N 在 CD 上，且 CNOM，射线 BM 与射线 ON 相交于点 F，当OMF90 时，求 DE 的长第 22 页（共 2
38、7 页）【分析】 （1）由 CDAB 知DEMOBM，可得 ，据此可得；（2） 连接 OC、作 OPCD、MQCD，由 OCOD、OPCD 知DOP COD，据此可得 sinDOPsin DMQ 、sinODP ，继而由OMm 、OD10 得 QMDMsinODP （10m） ，根据三角形的面积公式即可得；如图 2，先求得 PD8、CD 16，证CDM BOM 得 ，求得 OM ，据此可得 m 的取值范围；如图 3，由 BMOBsinBOM10 6，可得 OM8，根据（1）所求结果可得答案【解答】解：（1）CDAB，DEMOBM ， ，即 ，DE ；（2） 如图 1，连接 OC、作 OPCD
39、于点 P，作 MQ CD 于点 Q，OCOD、OPCD，DOP COD，sin ，sinDOPsinDMQ ，sinODP ，OM m、OD10，DM 10m，QM DMsinODP （ 10m） ，第 23 页（共 27 页）则 SDEM DEMQ （10m） ，如图 2，PDOD sinDOP10 8，CD16，CDAB ，CDMBOM ， ，即 ，解得：OM ， m10，S ， （ m 10） 当 OMF90时，如图 3，则BMO90，在 Rt BOM 中，BM OBsinBOM10 6，则 OM 8，由（1）得 DE 【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相
40、似三角形第 24 页（共 27 页）的判定与性质及解直角三角形的能力24 （12 分）如图，抛物线 yx 2mx（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x 1，0） ，与 x 轴正半轴交于点 B（x 2，0） （OAOB） ，与 y 轴交于点 C，且满足 x12+x22x 1x213（1）求抛物线的解析式；（2）以点 B 为直角顶点，BC 为直角边作 RtBCD，CD 交抛物线于第四象限的点E，若 ECED，求点 E 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 SACQ 2S AOC ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由【分析】 （1）由根与系数的关系可得 x1+x2m ，x 1x
41、2 （m+1） ，代入x12+x22x 1x213，求出 m1 2，m 25根据 OAOB ，得出抛物线的对称轴在 y 轴右侧，那么 m2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接 BE、OE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE CDCE利用 SSS 证明OBEOCE，得出BOECOE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点坐标为（m ，m ） ，代入 yx 22x3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标；（3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 SACQS ACF 由 SACQ 2S AOC ，得出 SACF 2S AOC ，那
42、么AF2OA 2，F（1，0） 利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y3x3根据ACFQ，可设直线 FQ 的解析式为 y3x+b，将 F（1 ，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组，求解即可得出点 Q 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yx 2mx（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x 1，0） ，与第 25 页（共 27 页）x 轴正半轴交于点 B（x 2，0） ，x 1+x2m，x 1x2（m+1） ，x 12+x22x 1x213，（x 1+x2） 2 3x1x213，m 2+3（m+1 ） 13，即 m2+3m100
43、，解得 m12，m 25OAOB ，抛物线的对称轴在 y 轴右侧，m2，抛物线的解析式为 yx 22x 3；（2）连接 BE、OE 在 RtBCD 中，CBD 90，EC ED ，BE CDCE令 yx 22x 30，解得 x11，x 23，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，OBOC，又BECE， OEOE，OBEOCE（SSS） ，BOECOE，点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点坐标为（m，m） ，将 E（m，m）代入 yx 2 2x3，得 mm 22m3，解得 m ，点 E 在第四象限，E 点坐标为（ ， ） ；第 26 页（共 27 页）（3）过点 Q 作 AC 的
44、平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，则 SACQ S ACF S ACQ 2S AOC ，S ACF 2S AOC ，AF2OA 2，F（1，0） A（1，0） ，C（0，3） ，直线 AC 的解析式为 y3x3ACFQ，设直线 FQ 的解析式为 y3x+b，将 F（1，0）代入，得 03+b，解得 b3，直线 FQ 的解析式为 y3x+3联立 ，解得 ， ，点 Q 的坐标为（3，12）或（ 2，3） 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线第 27 页（共 27 页）与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键