1、2018 年湖北省随州市中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，如果 AC3，AB5，那么 sinB 等于（ ）A B C D2 （3 分）下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，如果添加一个条件后可以得到ABP ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）AABP C BAPBABC CAB 2APAC D4 （3 分）下列函数中，其中是以 x 为自变量的二次函数是（ ）Ay x（x3） By（x+2）
2、（x2）（x1） 2Cy x2+ Dy5 （3 分）将二次函数 yx 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）Ay（x1） 2+2 By（x+1） 2+2 Cy（x1） 22 Dy （x+1） 226 （3 分）如图，已知 RtABC 中，BAC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 D落在射线 CA 上，DE 的延长线交 BC 于 F，则CFD 的度数为（ ）第 2 页（共 26 页）A80 B90 C100 D1207 （3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概
3、率是（ ）A B C D8 （3 分）若O 的半径为 5cm，OA 4cm，则点 A 与O 的位置关系是（ ）A点 A 在 O 内 B点 A 在O 上 C点 A 在O 外 D内含9 （3 分）下列说法中，正确的是（ ）A长度相等的弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线D在同圆或等圆中 90的圆周角所对的弦是这个圆的直径10 （3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（） ，下列结论：ac 0；a+ b0；4acb 2 4a； a+b+c0其中正确结论的个
4、数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 第 3 页（共 26 页）12 （3 分）如图，半圆 O 的直径 AB7，两弦 AC、BD 相交于点 E，弦 CD ，且BD5，则 DE 13 （3 分）PA、PB 分别切O 于点 A、B，PAB60 ，点 C 在O 上，则ACB 的度数为 14 （3 分）关于 x 的方程（m 5）x 23x10 有两个实数根，则 m 满足 15
5、（3 分）新定义：a，b为一次函数 yax +b（a0，a，b 为实数）的“关联数” 若“关联数”3，m+2所对应的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 的解为 16 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC 15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合） ，ADE B ，DE 交 AB 于点 E，且 tan ，有以下的结论：ADEACD； 当 CD9 时，ACD 与DBE 全等；BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或 ； 0BE5，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）三、解答题（共计 72 分）17 （8 分）先化
6、简，再求值：（ ） ，其中 m 118 （8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2m0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+2x+2m0 的两个根，且 x12+x22x 1x28，求 m 的值19 （8 分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：第 4 页（共 26 页）（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比
7、，并将两个统计图补充完整（3）若调查到喜欢“跳绳”的 5 名学生中有 2 名男生，3 名女生，现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率20 （8 分）楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC30 米，与亭子距离 CE18 米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）21 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC 上，AB AD，BFCBAD 2DFC
8、求证：（1）CDDF；（2）BC2CD第 5 页（共 26 页）22 （10 分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 yA（万元）与投资金额 x（万元）之间存在正比例函数关系：y Akx，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元；信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 yB（万元）与投资金额 x（万元）之间存在二次函数关系：y Bax 2+bx，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元，可获利润 3.2 万元（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元，请
9、你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？23 （10 分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 （1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b （m+ n ） 2（其中 a、b、m 、n 均为整数） ，则有a+b m 2+2n2+2 mnam 2+2n2， b2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b （m +n ） 2，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a
10、，b ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m 、n 填空： + （ + ） 2；（3）若 a+6 （m+ n ） 2，且 a、m 、n 均为正整数，求 a 的值？24 （12 分）如图，对称轴为直线 x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标；第 6 页（共 26 页）（2）设点 E（x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 O
11、A 为对角线的平行四边形，求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 页（共 26 页）2018 年湖北省随州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，如果 AC3，AB5，那么 sinB 等于（ ）A B C D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 sinB
12、的值【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC3，AB5，sinB 故选：A【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键2 （3 分）下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解即可【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合3 （3 分）如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，如果添加一个条件后可以得到ABP ACB
13、，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）第 8 页（共 26 页）AABP C BAPBABC CAB 2APAC D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可【解答】解：A、当ABPC 时，又AA ，ABPACB ，故此选项错误；B、当APBABC 时，又AA，ABPACB，故此选项错误；C、当 AB2AP AC 即 时，又AA，ABPACB ，故此选项错误；D、无法得到ABPACB，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键4 （3 分）下列函数中，其中是以 x 为自变量的二次函数是（ ）Ay x（x3） By（x
14、+2） （x2）（x1） 2Cy x2+ Dy【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、y x（x3） x2 x，是以 x 为自变量的二次函数，故本选项正确；B、y（ x+2） （x 2）（x1） 2x 24x 2+2x12x5，是以 x 为自变量的一次函数，故本选项错误；C、分母上有自变量 x，不是以 x 为自变量的二次函数，故本选项错误；D、二次三项式是被开方数，不是以 x 为自变量的二次函数，故本选项错误故选：A【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键5 （3 分）将二次函数 yx 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后
15、，所得图象的函数表达式是（ ）Ay（x1） 2+2 By（x+1） 2+2 Cy（x1） 22 Dy （x+1） 22第 9 页（共 26 页）【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案【解答】解：将二次函数 yx 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得图象的函数表达式是 y（x1） 2+2，故选：A【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键6 （3 分）如图，已知 RtABC 中，BAC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 D落在射线 CA 上，DE 的延长线交 BC 于 F，则CFD
16、 的度数为（ ）A80 B90 C100 D120【分析】根据旋转的性质得出全等，推出BD ，求出B+ BEF D+AED 90，根据三角形外角性质得出CFDB+BEF，代入求出即可【解答】解：将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，ABCADE，BD，CABBAD90，BEFAED，B+BEF+BFE180，D+ BAD+ AED180 ，B+BEF D+AED1809090，CFDB+BEF 90，故选：B【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，掌握旋转变换的性质是解题的关键7 （3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大
17、圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）第 10 页（共 26 页）A B C D【分析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，所以 P（飞镖落在黑色区域） 故选：D【点评】此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为 n，随机事件 A 所包含的基本事件数为 m，我们就用来描述事件 A 出现的可能性大小，称它为事件 A 的概率，记作 P（A） ，即
18、有 P（A） 8 （3 分）若O 的半径为 5cm，OA 4cm，则点 A 与O 的位置关系是（ ）A点 A 在 O 内 B点 A 在O 上 C点 A 在O 外 D内含【分析】直接利用点与圆的位置关系进而得出答案【解答】解：O 的半径为 5cm，OA 4cm，点 A 与 O 的位置关系是：点 A 在O 内故选：A【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确点 P 在圆外 dr，点 P 在圆上dr ， 点 P 在圆内dr 是解题关键9 （3 分）下列说法中，正确的是（ ）A长度相等的弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C经过半径并且垂直于这条半径的直线是
19、圆的切线D在同圆或等圆中 90的圆周角所对的弦是这个圆的直径【分析】根据切线的判定，圆的知识，可得答案【解答】解：A、在等圆或同圆中，长度相等的弧是等弧，故 A 错误；第 11 页（共 26 页）B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故 B 错误；C、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故 C 错误；D、在同圆或等圆中 90的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了切线的判定及圆的知识，利用圆的知识及切线的判定是解题关键10 （3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（） ，下列结
20、论：ac 0；a+ b0；4acb 2 4a； a+b+c0其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性【解答】解：根据图象可知：a0 ，c0ac0，正确；顶点坐标横坐标等于 ， ，a+b0 正确；顶点坐标纵坐标为 1， 1；4acb 24a，正确；当 x1 时，ya+b+ c0，错误正确的有 3 个故选：C【点评】本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息掌握函数性质灵活运用第 12 页（共 26 页）二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x &n
21、bsp; 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于 0，故分母 x10，解得 x的范围【解答】解：根据分式有意义的条件得：2x+30解得：x 故答案为：x 【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于 012 （3 分）如图，半圆 O 的直径 AB7，两弦 AC、BD 相交于点 E，弦 CD ，且BD5，则 DE 2 【分析】连接 OD，OC，AD，由O 的直径 AB7 可得出 ODOC，故可得出ODCDOC，所以DOC60，DAC30，根据勾股定理可求出 AD 的长，在RtADE 中，利用DAC 的正切值求解即可【解答】解：连
22、接 OD，OC，AD，半圆 O 的直径 AB7，ODOC ，CD ，ODCDOCDOC60，DAC30又AB7，BD5，AD 2 ，在 Rt ADE 中，第 13 页（共 26 页）DAC30，DEAD tan302 2 故答案为：2 【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；本题要特别注意的是 BE、DE 不是相似三角形的对应边，它们的比不等于相似比，以免造成错解13 （3 分）PA、PB 分别切O 于点 A、B，PAB60 ，点 C 在O 上，则ACB 的度数为 60或 120 【分析】连接 OA、OB，根据切线的性质得出OAP 的度数，OBP 的度数；再
23、根据四边形的内角和是 360，求出AOB 的度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出ACB 的度数即可【解答】解：连接 OA、OBPA，PB 分别切 O 于点 A，B，OAPA，OBPB；PAOPBO90；又APB 60，在四边形 AOBP 中，AOB360909060120，ADB AOB 12060，即当 C 在 D 处时，ACB 60在四边形 ADBC 中，ACB180ADB18060120于是ACB 的度数为 60或 120，故答案为：60或 120第 14 页（共 26 页）【点评】本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题14 （3 分）关于 x 的方程（m
24、5）x 23x10 有两个实数根，则 m 满足 m 且m5 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m50 且（3）24（m5）（1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 m 50 且（3） 24（m 5）（1）0，解得 m 且 m5故答案为 m 且 m5【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根15 （3 分）新定义：a，b为一次函数 yax +b（a0，a，b 为实数）的“关联数” 若“关联数”3，m+2所对
25、应的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 的解为 x 【分析】根据题中的新定义求出 m 的值，确定出分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：根据“关联数”3，m +2所对应的一次函数是正比例函数，得到 y3x+m+2 为正比例函数，即 m+20，解得：m2，则分式方程为 1，去分母得：2（x1）2（x1） ，去括号得：2x+12x 2，解得：x ，第 15 页（共 26 页）经检验 x 是分式方程的解故答案为：x【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方
26、程一定注意要验根熟练掌握题中的新定义是解本题的关键16 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC 15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合） ，ADE B ，DE 交 AB 于点 E，且 tan ，有以下的结论：ADEACD； 当 CD9 时，ACD 与DBE 全等；BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或 ； 0BE5，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）【分析】 根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由 CD9，则 BD15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】
27、解：ADEB，DAEBAD，ADEABD；故错误；作 AGBC 于 G，ADEB，tan ， ， ，cos ，ABAC15 ，BG12，第 16 页（共 26 页）BC24，CD9，BD15，ACBDADE+BDE C +DAC ，ADE C ，EDBDAC，在ACD 与DBE 中，ACDBDE（ASA ） 故正确；当 BED90时，由可知：ADEABD，ADBAED，BED90，ADB90，即 ADBC，ABAC，BDCD，ADEB 且 tan ，AB 15， BD12当BDE90时，易证BDECAD，BDE90，CAD90，C 且 cos ，AC15，cosC ，CD BC24，第 17
28、页（共 26 页）BD24 即当DCE 为直角三角形时，BD12 或 故正确；易证得 BDECAD，由可知 BC24，设 CDy，BEx ， ， ，整理得：y 224y +14414415x ，即（y12） 214415x ，0x ，0BE 故错误故正确的结论为： 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质进行分类讨论是解决的关键三、解答题（共计 72 分）17 （8 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 m 1【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得【解答】解：原式 第 18 页（共 26 页
29、） ，当 m 1 时，原式 1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则18 （8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2m0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+2x+2m0 的两个根，且 x12+x22x 1x28，求 m 的值【分析】 （1）根据已知和根的判别式得出2 2412m48m 0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出 x1+x22，x 1x22m ，把 x1+xx12+x22x 1x28 变形为（x 1+x2） 2 3x1x28，代入求出即可【解答】解：（1）关于 x
30、 的一元二次方程 x2+2x+2m 0 有两个不相等的实数根，2 2412m48m0，解得：m ，即 m 的取值范围是 m ；（2）x 1，x 2 是一元二次方程 x2+2x+2m0 的两个根，x 1+x22， x1x22m，x 12+x22x 1x28，（x 1+x2） 2 3x1x28，（2） 232m8，解得：m 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式的内容和根与系数的关系的内容是解此题的关键19 （8 分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将第 19 页（
31、共 26 页）调查结果绘制成如图 的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整（3）若调查到喜欢“跳绳”的 5 名学生中有 2 名男生，3 名女生，现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率【分析】 （1）用 A 类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去 A、C、D 得到 B 类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图；（3）画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的
32、结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）1510%150，所以共调查了 150 名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为 15015603045，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为 120%40% 10%30%，两个统计图补充为：第 20 页（共 26 页）（3）画树状图为：共有 20 种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为 12，所以刚好抽到不同性别学生的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20 （8 分）楼房 A
33、B 后有一假山，其坡度为 i1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC30 米，与亭子距离 CE18 米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【分析】过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EH AB 于点 H，根据 CE18 米，坡度为i1： ，分别求出 EF、CF 的长度，在 RtAEH 中求出 AH，继而可得楼房 AB 的高【解答】解：过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EH AB 于点 H，在 Rt CEF 中，i tanECF ，ECF30，EF CE 9 米，CF9 米，
34、BHEF9 米，HEBFBC +CF（30+9 ）米，第 21 页（共 26 页）在 Rt AHE 中，HAE45，AHHE （30+9 ）米，ABAH +HB（39+9 ）米答：楼房 AB 的高为（39+9 ）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键21 （8 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，F 在 AC 上，AB AD，BFCBAD 2DFC求证：（1）CDDF；（2）BC2CD【分析】 （1）利用在同圆中所对的弧相等，弦相等，所对的圆周角相等，三角形内角和可证得CDF90，则 CDDF；（2
35、）应先找到 BC 的一半，证明 BC 的一半和 CD 相等即可【解答】证明：（1）ABAD，弧 AB弧 AD，ADBABDACBADB，ACDABD，ACBADBABDACDADB（180BAD）290DFC第 22 页（共 26 页）ADB+DFC90，即ACD+DFC90，CDDF（2）过 F 作 FGBC 于点 G，ACBADB，又BFCBAD，FBCABDADBACBFBFCFG 平分 BC，G 为 BC 中点，GFC BADDFC，在FGC 和DFC 中，FGCDFC（ASA） ，CDGC BCBC2CD【点评】本题用到的知识点为：同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，注意
36、把所求角的度数进行合理分割；证两条线段相等，应证这两条线段所在的三角形全等22 （10 分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 yA（万元）与投资金额 x（万元）之间存在正比例函数关系：y Akx，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元；信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 yB（万元）与投资金额 x（万元）之间存在二次函数关系：y Bax 2+bx，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元，可获利润 3.2 万元第 23 页（共 26 页）（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对
37、A、B 两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？【分析】 （1）根据所给数据易得方程和方程组，解之得函数表达式；（2）设同时投资两种产品获利 W 万元，wy A+yB，得出利润表达式，运用函数性质求解【解答】解：（1）当 x5 时，y A2，25k，k0.4y A0.4x当 x2 时，y B2.4；当 x4 时，y B3.2 ，解得 y B0.2x 2+1.6x（2）设投资 B 种商品 x 万元，则投资 A 种商品（10x ）万元，获得利润 W 万元根据题意可得：W0.2x 2+1.6x+0.4（10x）0.2x 2+1.2x+4
38、W0.2（x3） 2+5.8当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资 A 种商品 7 万元，B 种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元【点评】此题难点在第二个问题，求出利润表达式，运用函数性质求最值，常用配方法或公式法23 （10 分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 （1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b （m+ n ） 2（其中 a、b、m 、n 均为整数） ，则有a+b m 2+2n2+2 mn第 24 页（共 26 页）am 2+2n2， b2mn这样小明就找到了一种
39、把类似 a+b 的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b （m +n ） 2，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a m 2+3n2 ，b 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m 、n 填空： 7 + 4 （ 2 + 1 ） 2；（3）若 a+6 （m+ n ） 2，且 a、m 、n 均为正整数，求 a 的值？【分析】 （1）利用完全平方公式展开得到（m +n ） 2m 2+3n2+2 mn，从而可用m、n 表示 a、b；（2）先取 m2
40、，n1，则计算对应的 a、b 的值，然后填空即可；（3）利用 am 2+3n2，2mn6 和 a、m 、n 均为正整数可先确定 m、n 的值，然后计算对应的 a 的值【解答】解：（1） （m+n ） 2m 2+3n2+2 mn，am 2+3n2， b2mn；（2）m2，n1，则 a7， b4，7+4 （2+ ） 2，（3）am 2+3n2，2mn6，a、m、n 均为正整数，m3，n1 或 m1，n3，当 m3，n1 时，a9+3 12，当 m1，n3 时，a1+3 928，a 的值为 12 或 28故答案为 m2+3n2，2mn；7，4，2，1【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式
41、化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍24 （12 分）如图，对称轴为直线 x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标；第 25 页（共 26 页）（2）设点 E（x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存
42、在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将 A、B 两点坐标代入求解即可（2）平行四边形的面积为三角形 OEA 面积的 2 倍，因此可根据 E 点的横坐标，用抛物线的解析式求出 E 点的纵坐标，那么 E 点纵坐标的绝对值即为OAE 的高，由此可根据三角形的面积公式得出AOE 的面积与 x 的函数关系式进而可得出 S 与 x 的函数关系式将 S 24 代入 S，x 的函数关系式中求出 x 的值，即可得出 E 点的坐标和 OE，OA 的长；如果平行四边形 OEAF
43、是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形 OEAF 是否为菱形如果四边形 OEAF 是正方形，那么三角形 OEA 应该是等腰直角三角形，即 E 点的坐标为（3，3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的 E 点【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是 x ，设解析式为 ya（x ） 2+k把 A，B 两点坐标代入上式，得 ，第 26 页（共 26 页）解得 a ，k 故抛物线解析式为 y （x ） 2 ，顶点为（ ， ） （2）点 E（x ，y ）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y （x ） 2 ，y0，即y0，y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是
44、OEAF 的对角线，S2S OAE 2 OA|y|6y4（x ） 2+25因为抛物线与 x 轴的两个交点是（1，0）和（6，0） ，所以自变量 x 的取值范围是 1x6根据题意，当 S24 时，即4（x ） 2+2524化简，得（x ） 2 解得 x13，x 24故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4） ，E 2（4，4） ，点 E1（3，4）满足 OEAE，所以平行四边形 OEAF 是菱形；点 E2（4，4）不满足 OE AE，所以平行四边形 OEAF 不是菱形；当 OAEF，且 OAEF 时，平行四边形 OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3） ，而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识综合性强，难度适中