1、2018 年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 ，Bx|1x2 ，则 AB（ ）A1，2 B1，2 C （1，2 D 1，122 （5 分）已知复数 z 满足 ， （ 为 z 的共轭复数） 下列选项（选项中的i 为虚数单位）中 z（ ）A1+ i B1i C1+i 或 1i D1+i 或1i3 （5 分）当 5 个正整数从小到大排列时，其中位数为 4，若这 5 个数的唯一众数为 6，则这 5 个数的均值不可能为（ &n
2、bsp;）A3.6 B3.8 C4 D4.24 （5 分）一给定函数 yf（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意 a1（0，1） ，由关系式 an+1f（a n）得到的数列 an满足 an+1a n则该函数的图象可能是（ ）A BC D5 （5 分）按如图所示的算法框图，某同学在区间0，9上随机地取一个数作为 x 输入，则该同学能得到“OK”的概率（ ）第 2 页（共 26 页）A B C D6 （5 分）已知直线 与直线 互相平行且距离为 m等差数列an的公差为 d，且 a7a835，a 4+a100，令 Sn|a 1|+|a2|+|a3|+|an|，则 Sm 的值
3、为（ ）A36 B44 C52 D607 （5 分）函数 f（x ）cos x+2|cosx|m，x0 ，2 恰有两个零点，则 m 的取值范围为（ ）A （0，1 B1 C0（ 1，3 D0 ，38 （5 分）我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经 内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为 5 步，前后相距 1000 步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行 123
4、步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行 127 步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？） （丈、步为古时计量单位，三丈5 步） 则海岛高度为（ ）A1055 步 B1255 步 C1550 步 D2255 步第 3 页（共 26 页）9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1 的长方形，侧视图为正方形则这个几何体的体积为（ ）A B C D210 （5 分）已知椭圆 的右顶点为 A，左、右焦点分别为F1（c，0） ，F 2（c，0） ，B （a，a） ，C
5、（a，a） ，过 A，B，C 三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）已知 D，E 分别是 ABC 边 AB，AC 的中点，M 是线段 DE 上的一动点（不包含 D，E 两点） ，且满足 ，则 的最小值为（ ）A B8 C D12 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，则关于 x 的函数 F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（ ）A2 a1 B12 a Clog 2（ 1+a） Dlog 2（1a）二.填空题：本题共 4 个题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）在三棱锥 SABC 中
6、，ABAC ，ABAC SA，SA平面 ABC，D 为 BC 中点，则异面直线 AB 与 SD 所成角的余弦值为 14 （5 分）已知双曲线 上一点 P，过点 P 作双曲线两渐近线的平行线 l1，l 2，直线 l1，l 2 分别交 x 轴于 M，N 两点，则| OM|ON| 15 （5 分）实系数一元二次方程 x2+ax2b0 有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内若 ，则 z 的取值范围为 第 4 页（共 26 页）16 （5 分）下面有四个命题：在等比数列a n中
7、，首项 a10 是等比数列 an为递增数列的必要条件已知 alg2，则 将 的图象向右平移 个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 ，可得到 ytanx 的图象设 0 a3，则函数 f（x ） x3ax（0x1）有最小值无最大值其中正确命题的序号为 （填入所有正确的命题序号）三.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （）求角 B；
8、（）ABC 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ca，求 c18 （12 分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富该区有A，B ，C ，D 四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作” ，签约期两年约期完后，统计出该区 A，B，C ，D 四村的贫富情况条形图如图：（）若该区脱贫率为 80%，根据条形图，求出 B 村的总户数；（）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同求进驻 A 村的工作小组被选中的概率第 5 页（共 26 页）19
9、（12 分）如图，五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，三角形 SBC 为边长为 2的正三角形，将三角形 SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在平面 ABCD 上的射影恰好在 AD上（）当 时，证明：平面 SAB平面 SCD；（）当 AB1，求四棱锥 SABCD 的侧面积20 （12 分）已知过抛物线 ：y 22px （0p8）的焦点 F 向圆 C：（x3） 2+y21 引切线 FT（T 为切点） ，切线 FT 的长为 （）求抛物线 C 的方程；（）作圆 C：（x 3） 2+y21 的切线 l，直线 l 与抛物线 交于 A，B 两点，求|FA|FB|的最小值21 （12 分）已知
10、函数（）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间及极值；（）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数，0） 以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4cos（）当 45时，求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）已知点 C 的直角坐标为 C（2，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当ABC面积最大
11、时，求直线 l 的普通方程选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） a|x1|+|x+3|第 6 页（共 26 页）（）当 a1 时，求 f（x ）的最小值；（）若 g（x）为奇函数，且 g（2x）g（x ） ，当 x0，1时，g（x）5x若h（x）f（x）g（x）有无数多个零点，作出 g（x）图象并根据图象写出 a 的值（不要求证明） 第 7 页（共 26 页）2018 年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 ，Bx|1x2
12、 ，则 AB（ ）A1，2 B1，2 C （1，2 D 1，12【分析】求函数的定义域得出集合 A，根据交集的定义写出集合 B【解答】解：由 ，得 Ax|x10x| x11，+ ） ，B x|1x21，2；AB1 ，2故选：B【点评】本题考查了不等式与集合的简单运算问题，是基础题2 （5 分）已知复数 z 满足 ， （ 为 z 的共轭复数） 下列选项（选项中的i 为虚数单位）中 z（ ）A1+ i B1i C1+i 或 1i D1+i 或1i【分析】设 za+ bi（a，bR） ，则 ，根据复数 z 满足 ，可得，解出即可得出【解答】解：设 za+ bi（a，b R）
13、，则 ，复数 z 满足 ， ，得 ，z1+i 或 z1i故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）当 5 个正整数从小到大排列时，其中位数为 4，若这 5 个数的唯一众数为 6，则第 8 页（共 26 页）这 5 个数的均值不可能为（ ）A3.6 B3.8 C4 D4.2【分析】根据题意设出五个数，由此求出符合题意的五个数的可能取值，计算平均数即可【解答】解：设五个数从小到大为 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，依题意得 a34，a 4a 56，a1，a 2 是 1，2，3 中两个不同的数，符合
14、题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6” ， “1，3，4，6，6” ， “2，3，4，6，6” ，其平均数分别为 3.8，4，4.2，不可能的是 3.6故选：A【点评】本题考查了样本特征数的计算问题，是基础题4 （5 分）一给定函数 yf（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意 a1（0，1） ，由关系式 an+1f（a n）得到的数列 an满足 an+1a n则该函数的图象可能是（ ）A BC D【分析】利用已知条件推出 f（a n）a n，判断函数的图象，推出选项即可【解答】解：一给定函数 yf （x）的图象在下列四个选项中，并且对任意 a1（0，1） ，由关系式
15、an+1f（a n）得到的数列a n满足 an+1a n得 f（a n）a n，所以 f（a 1）a 1 在a 1（0，1）上都成立，即x（0，1） ，f（x）x，所以函数图象都在 yx 的下方故选：A【点评】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，是基本知识的考查5 （5 分）按如图所示的算法框图，某同学在区间0，9上随机地取一个数作为 x 输入，则该同学能得到“OK”的概率（ ）第 9 页（共 26 页）A B C D【分析】求出计算出 y1 的 x 的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案【解答】解：当 ，由算法可知 y2x+2 得 y1，2 ，得到“OK” ；当 ，
16、由算法可知 y2x+2 得 y（0，1） ，不能得到“OK” ；当 x1，3） ，由算法可知 y log3x 得 y0，1） ，不能得到“OK” ；当 x3，9，由算法可知 ylog 3x 得 y1，2，能得到“OK” ； 故选：C【点评】本题考查算法、分段函数的值域及几何概率的计算难度中档6 （5 分）已知直线 与直线 互相平行且距离为 m等差数列an的公差为 d，且 a7a835，a 4+a100，令 Sn|a 1|+|a2|+|a3|+|an|，则 Sm 的值为（ ）A36 B44 C52 D60【分析】根据平行线的距离求出 d2，以及 m10，再根据等差数列的定义求出通项公
17、式，即可求出和【解答】解：由两直线平行得 d2，由两平行直线间距离公式得第 10 页（共 26 页），a 7（a 72）35 得 a75 或 a77a 4+a102a 70，a 75，a n2n+9，S n|a 1|+|a2|+|a3|+|a10|7|+|5|+|3|+|1|+|1|+|3|+| 5|+|7|+|9|+|11|52故选：C【点评】考查两平行直线的距离及等差数列a n的前 n 项的绝对值的和，属于中档题7 （5 分）函数 f（x ）cos x+2|cosx|m，x0 ，2 恰有两个零点，则 m 的取值范围为（ ）A （0，1 B1 C0（ 1，3 D0 ，3【分析】画
18、出函数的 ycos x+2|cosx|的图象，ym 的图象，利用数形结合转化求解即可【解答】解：f（x ）cos x+2|cosx|m，x0，2 的零点个数就是与 ym 的交点个数作出 ycos x+2|cosx|的图象，由图象可知 m0 或 1m3故选：C第 11 页（共 26 页）【点评】考查三角函数的图象及函数零点考查数形结合以及计算能力8 （5 分）我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经 内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？”（参考
19、译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为 5 步，前后相距 1000 步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行 123 步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行 127 步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？） （丈、步为古时计量单位，三丈5 步） 则海岛高度为（ ）A1055 步 B1255 步 C1550 步 D2255 步【分析】作出示意图，根据三角形相似求出海岛高度【解答】解：如图，设岛高 x 步，与前标杆相距 y 步，则根据三角形相似可得：，解得 x1255 步故选：B【点评】考查解直角三角形，利
20、用相似成比例的关系9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1 的长方形，侧视图为正方形则这个几何体的体积为（ ）第 12 页（共 26 页）A B C D2【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可【解答】解：依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成长方体的体积为 1122，三棱锥的体积为 ，所以几何体的体积为 故选：B【点评】考查立体几何三视图及体积运算判断几何体的形状是解题的关键考查空间想象力以及计算能力10 （5 分）已知椭圆 的右顶点为 A，左、右焦点分别为F1（c，0） ，F 2（c，0） ，B （a，a）
21、 ，C（a，a） ，过 A，B，C 三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】画出图形利用射影定理转化求解离心率即可；另解：设过 A，B，C 三点的圆的圆心为 M（m，0） ，由|MA|MB |，列出方程，转化求解即可【解答】解：射影定理可得：BE 2AEED，即 ，所以 即椭圆的离心率 故选：D另解：设过 A，B，C 三点的圆的圆心为 M（m ，0） ，由|MA| MB|得：，解得： ，所以 ， 第 13 页（共 26 页）故选：D【点评】考查椭圆的性质以及应用，是基本知识的考查11 （5 分）已知 D，E 分别是 ABC 边 AB，AC 的中点，M 是线
22、段 DE 上的一动点（不包含 D，E 两点） ，且满足 ，则 的最小值为（ ）A B8 C D【分析】通过向量的基本定理，推出 2+21，利用基本不等式求解表达式的最小值【解答】解：由于 M 是 DE 上的一动点（不包含 D，E 两点） ，且满足 ，所以 ， 0 且 2+21，所以 ，（当且仅当 时取） 故选：D【点评】考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查计算能力12 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，则关于 x 的函数 F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（ ）A2 a1 B12 a Clog 2（ 1+a） Dlog 2（
23、1a）【分析】化简分段函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的零点的关系，求解即可第 14 页（共 26 页）【解答】解：当 x0 时，又 f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）0f（x ）a， （0a1） ，有 5 个零点，其中有两个零点关于 x3 对称，还有两个零点关于 x3 对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线 xa 与函数 ，x（1，0交点的横坐标，即方程 的解，xlog 2（1+a） ，故选：C【点评】本题考查函数零点与图象的对称性及指数方程的解法考查数形结合以及计算能力二.填空题：本题共 4 个题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）在三棱锥 SABC 中，AB
24、AC ，ABAC SA，SA平面 ABC，D 为 BC 中点，则异面直线 AB 与 SD 所成角的余弦值为 【分析】取 AC 中点为 E，连结 DE，SE，则 DEAC，从而SDE 就是异面直线 AB 与SD 所成角，由此能求出异面直线 AB 与 SD 所成角的余弦值【解答】解：如图，取 AC 中点为 E，连结 DE，SE，D，E 分别为 BC，AC 的中点，DE AC，SDE 就是异面直线 AB 与 SD 所成角，令 ABACSA2，由勾股定理得 ，又 DE1由题意 BA平面 SAC，DE平面 SAC，DE SE，在 Rt SDE 中， 故答案为： 第 15 页（
25、共 26 页）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14 （5 分）已知双曲线 上一点 P，过点 P 作双曲线两渐近线的平行线 l1，l 2，直线 l1，l 2 分别交 x 轴于 M，N 两点，则| OM|ON| 4 【分析】求出渐近线的斜率，设出 P 的坐标，推出 MN 的坐标，然后转化求解即可【解答】解：双曲线 两渐近线的斜率为 ，设点 P（x ，y ） ，则 l1，l 2 的方程分别为 ， ，所以 M，N 坐标为 M（x 2y ，0） ，N（x +2y，0） ， ，又点 P
26、 在双曲线上，则，所以|OM| ON|4故答案为：4【点评】考查双曲线的渐近线的性质考查分析问题解决问题的能力15 （5 分）实系数一元二次方程 x2+ax2b0 有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内若 ，则 z 的取值范围为 【分析】令 f（x ）x 2+ax2b，依题意得关于 a，b 的不等式组，作出可行域如图，再由 表示的几何意义，即过可行域内一点与点 P（1，0）的直线的斜率求解【解答】解：令 f（x ）x 2+ax2b，依题意得， ，第 16 页（共 26 页）即 ，作出可行域如图，可行域是ABC 内部的部分表示的几何意义是过可行域内一
27、点与点 P（1，0）的直线的斜率，由 ，得 A（3，1） ，B（1，0） ，C （2，0） ， 故答案为： 【点评】本题考查一元二次方程根的分布，考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16 （5 分）下面有四个命题：在等比数列a n中，首项 a10 是等比数列 an为递增数列的必要条件已知 alg2，则 将 的图象向右平移 个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 ，可得到 ytanx 的图象设 0 a3，则函数 f（x ） x3ax（0x1）有最小值无最大值其中正确命题的序号为 （填入所有正确的命题序号）【分析】 举例说明命题错误；根据指数函数的单调性判断命题错
28、误；由变换规律判断命题正确；利用函数的导数判断 f（x ）的单调性，再判断命题正确第 17 页（共 26 页）【解答】解：对于，如首项 a11，公比 的等比数列为递增数列，所以首项 a10 不是等比数列a n为递增数列的必要条件， 错误；对于 ，可知 0a1 时，a 0a aa 1，即 1a aa，所以 ，错误；对于 ，将 的图象向右平移 个单位，得 y2tan（x ）+ 2tanx；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 ，得 y2 tanxtanx ，即 ytanx，正确；对于 ，0x1 时，令 f （x ）3x 2a0，解得 ，又 0a3， ，可知 f（x）在 上单调递减，在 单调
29、递增，所以 正确；综上，正确的命题是 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的性质，用指数函数的单调性比较大小，图象变换及函数的最值求解问题三.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （）求角 B；（）ABC 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ca，求 c【分析】 （）利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，结合三角形内角和定理求得 B的值；第 18 页（共 26 页）（）根据
30、正弦定理与三角形面积公式，结合余弦定理，列方程组求得 a、c 的值【解答】解：（）ABC 中，由余弦定理得 ，1 分 ， ；3 分由正弦定理得 ，又 A+CB，2cosBsinB sinB，又 sinB0， ；5 分B（0，） ，所以 ；6 分（） ，b3，7 分由面积公式得 ，即 ac6；9 分由余弦定理 b2a 2+c22ac cosB，得 b2a 2+c269，即 a2+c215；11 分由解得： 或 ，又 ca，所以 a ，c 2 12 分【点评】本题考查了三角形的内角和定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题18 （12 分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请
31、报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富该区有A，B ，C ，D 四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作” ，签约期两年约期完后，统计出该区 A，B，C ，D 四村的贫富情况条形图如图：（）若该区脱贫率为 80%，根据条形图，求出 B 村的总户数；（）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个第 19 页（共 26 页）小组被选中的可能性相同求进驻 A 村的工作小组被选中的概率【分析】 （）设 B 村户数为 x 户利用条形图列出方程，能求出 x 的值（）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，利用列举法能求
32、出进驻 A 村的工作小组被选中的概率【解答】解：（）设 B 村户数为 x 户，则：80% ，3 分解得：x80（户） 5 分（）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：（A，B） ， （A， C） ， （A ，D） ， （B，A） ， （B ，C） ， （B，D） ，（C，A） ， （C，B） ， （C，D） ， （D ，A） ， （D，B） ， （D ，C） ，共 12 种等可能性结果9 分其中（A，B ） ， （A ，C ） ， （A ，D） ， （B，A） ， （C ，A） ， （D，A）符合题意，共 6 种所以进驻 A 村的工作小组被选中的概率为 p 12 分
33、【点评】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型、条形图等基础知识，考第 20 页（共 26 页）查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19 （12 分）如图，五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，三角形 SBC 为边长为 2的正三角形，将三角形 SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在平面 ABCD 上的射影恰好在 AD上（）当 时，证明：平面 SAB平面 SCD；（）当 AB1，求四棱锥 SABCD 的侧面积【分析】 （）作 SOAD，则 SOAB，SOCD，再由 ABAD ，得 AB平面SAD，ABSA，ABSD，推导出 SASD，从而 SD平面 SAB，由此能证
34、明平面SAB平面 SCD（）推导出 ABSA ，CD SD ，由勾股定理可得 ，四棱锥 SABCD 的侧面积 SS SAB +SSBC +SSCD +SSAD ，由此能求出四棱锥 SABCD 的侧面积【解答】证明：（）作 SOAD ，垂足为 O，依题意得 SO平面 ABCD，SOAB，SOCD，又 ABAD ，AB平面 SAD，ABSA，ABSD 2 分利用勾股定理得 ，同理可得 在SAD 中， ，SASD 4 分SD平面 SAB，又 SD平面 SCD，平面 SAB平面 SCD6 分解：（）由（）中可知 ABSA，同理 CDSD ，7 分ABCD1，SBSC2，则由勾股定理可得 ，8 分第 2
35、1 页（共 26 页），SAD 中， ，AD 边上高 h ， ，11 分四棱锥 SABCD 的侧面积 ，四棱锥 SABCD 的侧面积 12 分【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知过抛物线 ：y 22px （0p8）的焦点 F 向圆 C：（x3） 2+y21 引切线 FT（T 为切点） ，切线 FT 的长为 （）求抛物线 C 的方程；（）作圆 C：（x 3） 2+y21 的切线 l，直线 l 与抛物线 交于 A，B 两点，求|FA|FB|的最小值【分析】 （）求出圆的
36、圆心与抛物线的焦点坐标，利用勾股定理求出 p，即可求抛物线C 的方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 l 方程为 xny+m ，代入 y24x 利用韦达定理以及抛物线的性质得：|FA|x 1+1，|FB| x 2+1，求出|FA| |FB|的表达式，然后求解最小值即可【解答】解；（）因为圆 C：（x 3） 2+y21 的圆心为 C（3，0） ，1 分第 22 页（共 26 页）由切线长定理可得|FC| 2|FT| 2+r2，即 ，3 分解得：p2 或 p10，又 0p8，p2，所以抛物线 C 的方程为 y24x4 分（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
37、2） ，直线 l 方程为 xny+m ，代入 y24x 得 y24ny4m 0，y 1+y24n，y 1y24m，得 ， ，5 分由抛物线的性质得：|FA|x 1+1，|FB| x 2+1，8 分又直线 l 与圆 C 相切，则有 ，即 ，（m 3） 21+n 2，因为圆 C 在抛物线内部，所以 nR 得：m （，24，+） ，10 分此时|FA|FB | m2+4（m3） 24+2 m+15m 222m+33 由二次函数的性质可知当 m 2 时，|FA|FB|取最小值，即|FA|FB| 的最小值为 912 分【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查发现问题解决问题
38、的能力21 （12 分）已知函数（）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间及极值；（）若 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （）当 a1 时，求出 f（x ）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调区间及极值；（）利用导函数判断函数的单调性，求出函数的最小值，通过最小值小于 0，列出不等式求解即可【解答】解：（）当 a1 时，x0. ，x01 分当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f （x）03 分所以 f（x）的单调减区间为（0，1） ；单调增区间为（1，+） 第 23 页（共 26 页）f（x）的极小值为 ；无极大值5 分（） 7 分x0，a0，x 2+x+a0，当
39、xa 时，f （x）0；当 0xa 时，f （x）0f（x）在（0，a）上单调递减；在（a，+）上单调递增8 分所以若 f（x）有两个零点，必有 ，得 a310 分又，综上所述，当 a3 时 f（x ）有两个零点，所以符合题意的 a 的取值范围为（3，+） 12 分【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最小值的求法，函数的领导的应用，考查计算能力（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数，0） 以平面直角
40、坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4cos（）当 45时，求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）已知点 C 的直角坐标为 C（2，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当ABC面积最大时，求直线 l 的普通方程【分析】 （）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（）利用三角形的面积的最大值求出直线的方程第 24 页（共 26 页）【解答】解：（）当 45 时，直线 l 的参数方程为 ，消去 t 得直线 l 的普通方程为 xy50曲线 C 的极坐标方程是 4cos，两边乘以 为 24cos，由
41、得：x 2+y24x 0，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x0（）曲线 C 是以 C（2，0）为圆心，2 为半径的圆，当ACB90时面积最大此时点 C 到直线 l：yk （ x5）的距离为 ，所以 ，解得： ，所以直线 l 的普通方程为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线方程的求法选修 4-5：不等式选讲23设 f（x） a|x1|+|x+3|（）当 a1 时，求 f（x ）的最小值；（）若 g（x）为奇函数，且 g（2x）g（x ） ，当 x0，1时，g（x）5x若h（x）f（x）g（x）有无数多个零点，作出 g（x）图象并根据图象写出 a
42、 的值（不要求证明） 第 25 页（共 26 页）【分析】 （）当 a1 时，化简 f（x ）的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值；（）画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可【解答】解：（）当 a1 时，f（x ）|x1|+| x+3|（x1）（x+3）|4，当且仅当（x1） （x +3）0，即3x 1 时等号成立 f（x）的最小值为44 分（）g（x）为奇函数，且 g（2x）g（x ） ，当 x0， 1时，g（x）5x则 g（x）的图象是夹在 y5 与 y5 之间的周期为 4 的折线，如图， 6 分又 ，f（x ）的图象是两条射线与中间一段线段组成8 分若 h（x）f（ x）g（x）有无数多个零点，则 f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于 x 轴的，所以（a+1）0 或（a+1 ）0 得 a1第 26 页（共 26 页）此时 ，经验证符合题意，a110 分【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的零点，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力