1、1 （5 分）已知集合 ，则（ RA）B（ ）A0 ，1 B0 ，1，2 C 1，0，1 D 1，32 （5 分）若复数 z1+ i+i2+i3+i2018 ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）A B C D3 （5 分）设 a（ ） ，b（ ） ，clog 3 ，则 a，b，c 的大小顺序是（ ）Abac Bcab Cbca Dc ba4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A B C D5 （5 分）下列命题正确的个数是（ ）p1：若 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若m，n，m
2、，n ，则 p2：命题“ x0R， +10”的否定是“x R，x 3x 2+10”p3：函数 ysin（ x+ ）在 x2 处取得最大值，则正数 的最小值为第 2 页（共 30 页）p4：若随机变量 ZN （ ， 2）则 P（Z +）0.6826，P（2Z+2）0.9544已知随机变量 XN（6，4） ，则 P（2X8）0.8185A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6 （5 分）过双曲线 ：x 2y 21 上任意点 P 作双曲线 的切线，交双曲线 两条渐近线分别交于 A，B 两点，若 O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ）A4 B3 C2 D17 （5 分）函数 f（x ）
3、在 ，的图象大致为（ ）ABCD8 （5 分）大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，如图二，是求大衍数列前 n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入 m10，则输出的 S 为（ ）第 3 页（共 30 页）A100 B250 C140 D1909 （5 分）已知ABC 所在平面内有两点 P，Q，满足 ， ，若|4，| |2，S APQ ，则 2 的值为（ ）
4、A4 B84 C12 D2010 （5 分）已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB SASBSC2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A B C D11 （5 分）实数 x，y 满足约束条件 ，它表示的平面区域为 C，目标函数zx2 y 的最小值为 p1由曲线 y23x（y0） ，直线 x 3 及 x 轴围成的平面区域为D，向区域 D 内任投入一个质点，该质点落入 C 的概率为 p2，则 2p14p 2 的值为（ ）A B C D第 4 页（共 30 页）12 （5 分）若函数 f（x ）ax+lnx 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范
5、围是（ ）A （1， ） B1 ， C （ ，1） D ，1二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若（ax+1） （1 ） 6 的展开式中的常数项是11，则实数 a 的值为 14 （5 分）已知椭圆 1（ab0）的左焦点 F1，过点 F1 作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2b 2 相交的弦长为 ，则椭圆的离心率为 15 （5 分）已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn 且 S82S 46，则 a9+a10+a11+a12 的最小值为 16 （5 分）
6、在ABC 中，a+c 6，且（3cos A）tan sinA，则ABC 的面积最大值为 三.解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2（bc） 2（2）bc （1）求角 A 的大小；（2）若等差数列a n的公差不为零，且 a1sinA1，且 a2、a 4、a 8 成等比数列，求的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，侧面 SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD， CDSD，点 M 是 SA
7、的中点，ADBC ，ABC90，AB AD （）求证：平面 MBD平面 SCD；（）若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为 60，求二面角 BMD C 余弦值第 5 页（共 30 页）19 （12 分）IC 芯片堪称“国之重器” ，其制作流程异常繁琐，制作 IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的 50 片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的 30 片单晶的晶圆中有 28
8、片达标，没有使用该工艺的 20 片单晶的晶圆中有 12 片达标（1）用列联表判断：这次实验是否有 99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，
9、研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为 ，每个环节出错需要修复的费用均为 20元，第四环节生产正常的概率为 ，此环节出错需要修复的费用为 10 元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：K 2 ，na+b+c+ d参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001k0 2.072 2.7 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第 6 页（共 30 页）20 （12 分）已知抛物线 C 顶点在
10、原点，焦点在 y 轴上，抛物线 C 上一点 Q（a，2）到焦点的距离为 3，线段 AB 的两端点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在抛物线 C 上（1）求抛物线 C 的方程；（2）在抛物线 C 上存在点 D（x 3，y 3） ，满足 x3x 1x 2，若ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形，求ABD 面积的最小值21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnx，g（x） x2+xa （aR） （1）若直线 xt（t0）与曲线 yf （x）和 yg（x）分别交于 A，B 两点，且曲线yf（x）在 A 处的切线与 yg（x ）在 B 处的切线相互平行，求 a 的取值范围；（2）设
11、h（x）f（x）g（x）在其定义域内有两个不同的极值点 x1，x 2 且 x1x 2 已知 0，若不等式 e1+x 1x2恒成立，求 的取值范围四.（二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l1：x 0，直线 l2：xy 0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系（1）求曲线 C 和直线 l1，l 2 的极坐标方程；（2）若直线 l1 与曲 C 交于 O，A 两点，直线 l2 与曲线 C 交于 O，B
12、两点，求线段 AB的长选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 且 a2+b22（I）若是 + |2 x1| |x1|恒成立，求 x 的取值范围；（）证明：（ + ） （a 5+b5）4第 7 页（共 30 页）2018 年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 ，则（ RA）B（ ）A0 ，1 B0 ，1，2 C 1，0，1 D 1，3【分析】先解出集合 A，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：解 x22x 30 得，x
13、1，或 x3；Ax|x1，或 x3 ； RAx| 1x3；（ RA）B0，1，2故选：B【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集、补集的运算2 （5 分）若复数 z1+ i+i2+i3+i2018 ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）A B C D【分析】写出等比数列的前 n 项和，结合虚数单位 i 的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z1+ i+i2+i3+i2018 ， ，则 z 的共轭复数的虚部为 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位 i 得运算性质，是基础题3 （5 分）设 a（ ） ，b（ ） ，clog 3 ，则 a，b，
14、c 的大小顺序是（ 第 8 页（共 30 页）Abac Bcab Cbca Dc ba【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a（ ） b（ ） 1clog 3 ，则 cba故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） A B C D【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为： （1+2）23，底面周
15、长为：2+2+1+ 5+ ，高为：2，故四棱柱的表面积 S23+（5+ ）2 ，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键第 9 页（共 30 页）5 （5 分）下列命题正确的个数是（ ）p1：若 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若m，n，m ，n ，则 p2：命题“ x0R， +10”的否定是“x R，x 3x 2+10”p3：函数 ysin（ x+ ）在 x2 处取得最大值，则正数 的最小值为p4：若随机变量 ZN （ ， 2）则 P（Z +）0.6826，P（2Z+2）0.9544已知随机变量
16、XN（6，4） ，则 P（2X8）0.8185A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】p 1：若 m，n，m，n ，则 或 、 相交p2：命题“ x0R， +10”的否定是“x R，x 3x 2+10” p3：可得 2 2k+ ，可得正数 的最小值为 p4：P（2X 8） 0.8185【解答】解：p 1：若 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若m，n，m ，n ，则 或 、 相交，故错p2：命题“ x0R， +10”的否定是“x R，x 3x 2+10” ，故错p3：函数 ysin（ x+ ）在 x2 处取得最大值，则 2 2k+ ，可得正数 的最小值为 ，故正确p4：若
17、随机变量 ZN （ ， 2）则 P（Z +）0.6826，P（2Z +2）0.9544已知随机变量 XN （6，4） ，则P（2X 8） 0.8185故正确，故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于中档题6 （5 分）过双曲线 ：x 2y 21 上任意点 P 作双曲线 的切线，交双曲线 两条渐近线分别交于 A，B 两点，若 O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ）A4 B3 C2 D1第 10 页（共 30 页）【分析】由于 P 为双曲线的任意一点，不妨设 P（1，0） ，可得双曲线 的切线方程为x1，即可得到|AB |2，三角形的面积即可求出【解答】解：双曲线 ：x 2y
18、21 的渐近线方程为 y x，P 为双曲线的任意一点，不妨设 P（1，0） ，双曲线 的切线方程为 x1，|AB| 2，S AOB |AB|OP| 211，故选：D【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题7 （5 分）函数 f（x ） 在 ，的图象大致为（ ）AB第 11 页（共 30 页）CD【分析】根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可【解答】解：f（x ） f（x） ，则函数 f（x ）是奇函数，则图象关于原点对称，故排除 D当 x（0，）时，f（x） ，则当 x（0， ）时，f（x）0，函数 f（x）为增函数，x（ ，）时，f
19、（x）0，函数 f（x ）为减函数，则当 x 时，f（x）取得极大值同时也是最大值 f（ ） 1，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键8 （5 分）大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，如图二，是求大衍数列前 n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入 m10，则输出的 S 为（ ）
20、第 12 页（共 30 页）A100 B250 C140 D190【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，S0，m10满足条件 n 是奇数，a0，S0不满足条件 nm，n2，不满足条件 n 是奇数，a2，S2不满足条件 nm，n3，满足条件 n 是奇数，a4，S6不满足条件 nm，n4，不满足条件 n 是奇数，a8，S14不满足条件 nm，n5，满足条件 n 是奇数，a12，S26不满足条件 nm，n6，满足条件 n 是奇数，a18，S44不满足条件 nm，n7，满足条件 n 是奇数，
21、a24，S68不满足条件 nm，n8，不满足条件 n 是奇数，a32，S100不满足条件 nm，n9，满足条件 n 是奇数，a40，S140不满足条件 nm，n10，不满足条件 n 是奇数，a50，S190满足条件 nm，退出循环，输出 S 的值为 190第 13 页（共 30 页）故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答9 （5 分）已知ABC 所在平面内有两点 P，Q，满足 ， ，若|4，| |2，S APQ ，则 2 的值为（ ）A4 B84 C12 D20【分析】推导出 P 为 AC 中点， ，Q 为线段 AB 的靠
22、近 B 的三等分点从而求出 sinA ，cosA 或 cosA 由此能求出 2【解答】解：因为 ，所以 P 为 AC 中点，又因为 ，所以 ，所以 ，所以 Q 为线段 AB 的靠近 B 的三等分点所以 SAPQ SABC ，因为 SAPQ ，所以 2，所以 sinA ，cosA 或 cosA 故 | | |cosA 所以 220 故选：D【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量的数量积公式、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10 （5 分）已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB SASBSC2，则该三棱锥的外接球的体积为（
23、 ）A B C D【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的体积【解答】解：如图所示：第 14 页（共 30 页）三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且 ABSASBSC2，则：SD ，设外接球的半径为 R，则：在BOD 中，利用勾股定理：（ R） 2+12R 2，解得：R所以：S R3 （ ） 3 故选：D【点评】本题考查的知识要点：三棱锥与外接球的关系，球的体积公式的应用11 （5 分）实数 x，y 满足约束条件 ，它表示的平面区域为 C，目标函数zx2 y 的最小值为 p1由曲线 y23x（y0） ，直线 x 3 及 x
24、轴围成的平面区域为D，向区域 D 内任投入一个质点，该质点落入 C 的概率为 p2，则 2p14p 2 的值为（ ）A B C D【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合，以及概率求解即可的得到结论【解答】解：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 A（ ， ）处取得最小值，且最小值为 z ，即 p1 区域 C 的面积为： ，第 15 页（共 30 页）平面区域 D 的面积为： 6，故 p2 ，所以 2p14p 2 故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键12 （5 分）若函数 f（x ）a
25、x+lnx 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， ） B1 ， C （ ，1） D ，1【分析】令 f（x ）0，分类参数可得 ag（x） ，判断 g（x）的单调性，求出 g（x）的极值即可得出 a 的范围【解答】解：令 f（x ）0 可得 a ，令 g（x） ，则 g（x）（1lnx ） （ ） 令 g（x）0 可得 xe 或 x1 或 2xlnx，令 h（x）2xlnx，则 h（ x）2 ，h（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+）单调递增，h（x）的最小值为 h（ ）1ln 0，方程 2xlnx 无解当 0x1 时，1lnx 0，xlnxx，当 1xe
26、时，1lnx0，0xlnxx，第 16 页（共 30 页）当 xe 时，1lnx0，0xlnxx，当 0x1 时，g（x ）0，当 1x e 时，g（x）0，当 xe 时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，当 x1 时，g（x ）取得极小值 g（1）1，当 xe 时，g（x ）取得极大值 g（e） f（x）有 3 个零点， ag（x）有 3 解，1a 故选：A【点评】本题考查了函数零点个数与函数单调性的关系，考查函数单调性的判断与极值计算，属于中档题二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若（ax+
27、1） （1 ） 6 的展开式中的常数项是11，则实数 a 的值为 2 【分析】把（1 ） 6 按照二项式定理展开，可得（ax+1） （1 ） 6 的展开式中的常数项，再根据常数项为11，求得 a 的值【解答】解：（ax+1） （1 ） 6（ax+1） （1 + + + ） 的展开式中的常数项是11，则实数 a 的展开式中的常数项是6a+111，则实数 a2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）已知椭圆 1（ab0）的左焦点 F1，过点 F1 作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2b 2 相交的弦长为 ，则椭圆的离心
28、率为 【分析】求出直线方程，利用过点 F1 作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2b 2 相交的弦长为 b，列出方程求解即可【解答】解：椭圆 1（ab0）的左焦点 F1（c，0） ，第 17 页（共 30 页）过点 F1 作倾斜角为 30的直线 y （x +c）与圆 x2+y2b 2 相交的弦长为 b，可得： ，可得： bc，a 2b 2+c2，则 a b，则椭圆的离心率为：e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，仔细与圆的位置关系的应用，考查计算能力15 （5 分）已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn 且 S82S 46，则 a9+a10+a1
29、1+a12 的最小值为 24 【分析】由题意可得：S 82S 46，可得：S 8S 4S 4+6，由等比数列的性质可得：S4，S 8S 4，S 12S 8 成等比数列，可得：a 9+a10+a11+a12S 12S 8 ，展开利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由题意可得：S 82S 46，可得：S 8S 4S 4+6，由等比数列的性质可得：S 4，S 8S 4，S 12S 8 成等比数列，则 S4（S 12S 8） ，综上可得：a 9+a10+a11+a12 S12S 8 S 4+ +1224，当且仅当 S46 时等号成立综上可得，则 a9+a10+a11+a12 的最小值为 24故答案
30、为：24【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （5 分）在ABC 中，a+c 6，且（3cos A）tan sinA，则ABC 的面积最大值为 2 【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出 a，b，c 的关系，使用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解第 18 页（共 30 页）【解答】解：在ABC 中，（3cos A）tan sin A，（3cosA ） sinA，即 3sinBsinA+sinA cosB+cosAsinBsinA+sinC ，
31、由正弦定理可得：3ba+c6，解得：b2a+c6，6a+c2 可得：ac9， （当且仅当 ac 3 时等号成立）cosB ，可得：sinB ，S acsinB ac 2 2 2 （当且仅当ac3 时等号成立）故答案为：2 【点评】本题考查了正弦定理，三角函数化简，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三.解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2（bc） 2（2）bc （1）求角 A 的大小；（2）若等差数
32、列a n的公差不为零，且 a1sinA1，且 a2、a 4、a 8 成等比数列，求的前 n 项和 Sn【分析】 （1）由 a2（bc） 2（2 ）bc可得 b2+c2a 2 结合余弦定理可得答案（2）等差数列a n的公差不为零，根据 a1sinA1，可得 a1 的值，由 a2、a 4、a 8 成等比数列，建立关系求解 d，可得通项 an，利用裂项相消可得 的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）在ABC 中，由 a2（bc） 2（2 ）bc可得 b2+c2a 2第 19 页（共 30 页）所以 cosA 0AA（2）设a n的公差为 d（d0） ，a 1sinA1，由（1）得 a12，且 a42
33、a 2a8（a 1+3d） 2（a 1+d） （a 1+7d）即（2+3d） 2（2+ d） （2+7 d）解得：d2a n2n那么 数列 的前 n 项和 Sn 【点评】本题考查了等差等比数列，裂项相消法、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，侧面 SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD， CDSD，点 M 是 SA 的中点，ADBC ，ABC90，AB AD （）求证：平面 MBD平面 SCD；（）若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为 60，求二面角 BMD C 余弦值【分析】 （）取 BC 中点 E，连接 DE，设 A
34、BADa，BC2a，由已知可得BD2+CD2BC 2，则 BDCD，又平面 SCD底面 ABCD，由面面垂直的性质可得BD平面 SCD从而得到平面 MBD平面 SCD；（）过点 S 作 CD 的垂线，交 CD 延长线于点 H，连接 AH，可得 SHCD，则 SH第 20 页（共 30 页）底面 ABCD，故 DH 为斜线 SD 在底面 ABCD 内的射影，求解三角形可得AH2+DH2AD 2，从而AHD90，过点 D 作 DFSH，则 DF底面 ABCD，可得DB、DC、DF 两两垂直，以点 D 为坐标原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向，为 z 轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求
35、出平面 BMD 与平面 MDC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 BMD C 余弦值【解答】 （）证明：取 BC 中点 E，连接 DE，设 ABADa，BC2a，依题意得，四边形 ABED 为正方形，且有 BEDE CE a，BD CD ，BD 2+CD2BC 2，则 BDCD，又平面 SCD底面 ABCD，平面 SCD底面 ABCDCD，BD底面 ABCD，BD平面 SCD又 BD平面 MBD，平面 MBD平面 SCD；（）解：过点 S 作 CD 的垂线，交 CD 延长线于点 H，连接 AH，平面 SCD底面 ABCD，平面 SCD底面 ABCDCD，SHCD，SH平面 SC
36、D，SH底面 ABCD，故 DH 为斜线 SD 在底面 ABCD 内的射影，SDH 为斜线 SD 与底面 ABCD 所成的角，即SDH60 由（）得，SD ， 在 RtSHD 中， ，DH ，SH ，在ADH 中， ADH 45 ，ADa，DH ，由余弦定理得 AH ，AH 2+DH2AD 2，从而AHD90，过点 D 作 DFSH，DF底面 ABCD，DB、DC、DF 两两垂直，如图，以点 D 为坐标原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向， 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 B（ ，0，0） ，C（0， ，0） ，S（0， ， ） ，A（ ， ，0） ，M（ ， ， ） ，设平面
37、 MBD 的法向量 ，第 21 页（共 30 页）由 ，取 z1，得 ，设平面 MCD 的法向量 ，由 ，取 z11，得 ，|cos | 故所求的二面角 BMD C 的余弦值为 【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题19 （12 分）IC 芯片堪称“国之重器” ，其制作流程异常繁琐，制作 IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工
38、作人员对生产出的 50 片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的 30 片单晶的晶圆中有 28 片达标，没有使用该工艺的 20 片单晶的晶圆中有 12 片达标（1）用列联表判断：这次实验是否有 99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程如果生产出来的多第 22 页（共 30 页）晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四
39、个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为 ，每个环节出错需要修复的费用均为 20元，第四环节生产正常的概率为 ，此环节出错需要修复的费用为 10 元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：K 2 ，na+b+c+ d参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001k0 2.072 2.7
40、 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （1）由题意列表求出 K2 7.879，从而有 99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设 Ai 表示检测到第 i 个环节有问题， （i 1，2，3，4） ，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则 X 的可能取值为：0，10，20，30，40，50，60，70，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望【解答】解：（1）由题意列表为：使用工艺 不使用工艺 合计合格 28 12 40不合格 2 8 10合计 30 20 50故 K2 7.879，故有 99.5%的把握认为晶圆
41、的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设 Ai 表示检测到第 i 个环节有问题， （i 1，2，3，4） ，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则 X 的可能取值为：0，10，20，30，40，50，60，70，第 23 页（共 30 页）X0，表明四个环节均正常，P（X0）P（ ）（ ） 3 ，X10，表明第四环节有问题，P（X10）P（ ）（ ） 3 ，X20，表明前三环节有一环节有问题 P（X10） ，X30 表明前三环节有一环节及第四环节有问题 P（X30） ，X40，表明前三环节有两环节有问题 P（X40） ，X50，表明前三环节有两环节及第四环节有问题 P（X50）
42、 ，X60，表明前三环节有问题 P（X60）（ ） 3 ，X70，表明四环节均有问题 P（X70）（ ） 3 ，费用 X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70P故 E（X） （024+108+2036+3012+40 18+506+603+701） （元）故大约需要耗费 元【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线 C 上一点 Q（a，2）到焦点的距离为 3，线段 AB 的两端
43、点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在抛物线 C 上（1）求抛物线 C 的方程；（2）在抛物线 C 上存在点 D（x 3，y 3） ，满足 x3x 1x 2，若ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形，求ABD 面积的最小值第 24 页（共 30 页）【分析】 （1）设抛物线的方程为 x22py，抛物线的焦点为 F，则|QF|32+ ，由此能求出抛物线 C 的方程（2）A（x 1， ） ，B（x 2， ） ，D （x 3， ） ，取 x10，记 kABk 1，k ADk 2，则 x24k 1x 1，x 34k 2x 1，k 1k21，推导出 AB| AD|，从而 ，则 （ ） 2
44、，|AB| ，令 y ，求出 y ，当A（0，0） ，B （4，4） ，D（ 4，4）时，ABD 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为 16【解答】解：（1）抛物线 C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，设抛物线的方程为 x22py，抛物线的焦点为 F，则|QF|32+ ，解得 p1，抛物线 C 的方程为 x24y（2）如图所示，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，D（x 3，y 3） ，x 3x 1x 2，A（x 1， ） ，B（x 2， ） ，D （x 3， ） ，根据抛物线关于 y 轴对称，取 x10，记 kABk 1，k ADk 2，则有 ， ，x 24k 1x 1，x
45、34k 2x 1，k 1k21，又ABD 是以 A 为顶点的等腰直角三角形，| AB| AD|，即 |x3x 1|，将 x2，x 3 代入得 |4k22x 1|，化简，得 ，第 25 页（共 30 页）则 （ ） 2，|AB| ，令 y ，则 ，当 t1，即 k11 时，|AB| 最小值为 4 ，此时 x10，即当 A（0，0） ，B（4，4） ，D （4，4）时，ABD 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为 16【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xlnx，g（x） x2+xa （aR） （1）若直线 xt（t0）与曲线 yf （x）和 yg（x）分别交于 A，B 两点，且曲线yf（x）在 A 处的切线与 yg（x ）在 B 处的切线相互平行，求 a 的取值范围；（2）设 h（x）f（x）g（x）在其定义域内有两个不同的极值点 x1，x