1、1离散型随机变量的概率分布(1)X 的概率分布离散型随机变量 X 的所有不同取值为 x1，x 2，x n，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xx i)p i，则称以下表格为随机变量 X 的概率分布列，简称为分布列.X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn离散型随机变量具有如下性质：p i0，i1,2，n； i1.ni 1p(2)两点分布：两点分布也叫 01 分布，它只有两个试验结果 0 和 1，其分布列为X 0 1P 1p p(3)二项分布：在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，事件
2、A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)C pk(1p)knnk ，k 0,1,2，n.这时称 X 服从二项分布，记为 XB( n，p) (4)超几何分布N 件产品中 M 件次品，从中随机抽取 n 件，因 X 表示这 n 件中的次品数，则 X 服从超几何分布 H(N，M，n)，即 P(XM) ，m0,1，nCmMCn mN MCnN2离散型随机变量的均值和方差(1)均值和方差随机变量 X 的分布列是 P(Xx i)p i，i1,2，n，则称 E(X)x 1p1x 2p2x npn为 X 的均值或数学期望；D (X)x 1E(X) 2p1x 2E(X)2p2x nE(X) 2pn为随机变量 X
3、的方差(2)均值与方差的性质：E(axb)aE( X)b；D(ax b)a 2D(X)(3)两点分布与二项分布的均值与方差：若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X) p(1p)若 XB (n，p)，则 E(X)np，D (X)np(1 p)3条件概率及事件的相互独立性(1)事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率P(B|A) (P(A)0)PA BPA nA BnA(2)若事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(AB )P(A )P(B)4正态分布若 XN(， 2)，则 P(2.706，892426 318255343257因此，能以 90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女
4、乘客更容易晕机(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知随机变量 X 服从正态分布 N(2， 2)，P(X4)0.84，则 P(X0)( )A0.16 B0.32C0.68 D0.84解析：选 A 由正态分布的特征得 P(X0)1P(X4)10.840.16.2甲袋中装有 2 个白球，2 个黑球，乙袋中装有 2 个白球，4 个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A. B.16 25C. D.215 56解析：选 A 记“从甲袋中任取一球为白球 ”为事件 A， “
5、从乙袋中任取一球为白球”为事件 B，则由题意知，事件 A、B 是相互独立事件，故 P(AB)P(A) P(B) .24 26 163设随机变量 X 的分布列为 P(Xi)a i(i1,2,3) ，则 a 的值为( )(13)A1 B.913C. D.1113 2713解析：选 D 因为 P(X1) ，P(X2) ，a3 a9P(X3) ，a27所以 1，所以 a .a3 a9 a27 27134对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 abx 中，回归系数 b( )y A可以小于 0 B大于 0C能等于 0 D只能小于 0解析：选 A b0 时，则 r0，这时不具有线性相关关系，但 b 可
6、以大于 0 也可以小于 0.5某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8，现有四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台需要照看的概率为( )A0.153 6 B0.180 8C0.563 2 D0.972 8解析：选 D “一小时内至多有 2 台印刷机需要照看”的事件包括有 0,1,2 台需要照看三种可能因此，所求概率为 C 0.200.84C 0.210.83 C 0.220.820.972 8.04 14 246为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了 300 名学生得到下面列联表：数学物理 85 100 分 85 分以下 合计85 100
7、 分 37 85 12285 分以下 35 143 178合计 72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )A0.5% B1%C2% D5%解析：选 D 代入公式得2 4.5143.841 查表可得犯错误的概率不超过 5%.30037143 35852722281221787已知 XB (n，p)，且 E(X)7，D (X)6，则 p 等于( )A. B.17 16C. D.15 14解析：选 A 由题易知，E(X)np7，D(X)np(1 p)6，所以 p .178张家的 3 个鸡仔钻进了李家装有 3 个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个
8、走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是( )A. B.25 23C. D.15 35解析：选 A 设“第一个走出的是张家的鸡仔 ”为事件 A， “第二个走出的是张家的鸡仔”为事件 B，则 P(B|A) .PA BPAA23A26A13A16 259若同时抛掷两枚骰子，当至少有 5 点或 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 3 次试验中至少有 1 次成功的概率是( )A. B.125729 80243C. D.665729 100243解析：选 C 一次试验中，至少有 5 点或 6 点出现的概率为1 1 ，设 X 为 3 次试验中成功的次数，则 XB ，故所求概率(1 1
9、3) (1 13) 49 59 (3，59)P(X1) 1P(X0) 1C 0 3 .03 (59) (49) 66572910一袋中装有 5 个白球和 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12) 等于( )AC 10 2102 (38) (58)BC 9 2911 (38) (58) 38CC 9 2911 (58) (38)DC 9 2911 (38) (58)解析：选 B X12 表示第 12 次取到红球，前 11 次中有 9 次取到红球，从而P(X12) C 9 2 .911 (38) (58) 3
10、811一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为ca、b、 c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为( )A. B.148 124C. D.112 16解析：选 B 由已知 3a2b 0c1，即 3a2b1.ab 3a2b 2 2 .当且仅当 3a2b ，即 a ，b 时16 16 (3a 2b2 ) 16 (12) 124 12 16 14取“等号” 12设由“0”、 “1”组成的三位数组中，若用 A 表示“第二位数字为0的事件” ，用 B表示“第一位数字为0的事件” ，则 P(A|B)( )A. B
11、.25 34C. D.12 18解析：选 C P(B) ，P(AB) ，P(A|B)122222 12 112222 14 .PA BPB 12二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)13甲、乙两名同学通过英语听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，恰有12 13一人通过的概率是_解析：解析：恰有一人通过有两种可能：恰好甲通过或恰好乙通过，故其概率为 12 .(1 13) 13 (1 12) 12答案：1214对于 P(2 x 0)，当 x02.706 时，就有_的把握认为“x 与 y 有关系” 解析：由 k2.706，可知 P(22.70
12、6)0.10，即若 k2.706，此时则有 90%的把握认为“x 与 y 有关系” 答案：90%15若 100 件零件中包含 10 件废品，现从中任取两件，已知取出的两件中有废品，则两件都是废品的概率为_解析：设事件 A 为“取出的两件中有废品” ，事件 B 为“取出的两件都是废品” ，由题意，显然，ABB ，而 P(A) ，P (B) ，C10C190 C210C2100 C210C2100故 P(B|A) .PBPA C210C210 C10C190 121答案：12116某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记
13、为 X，则 X 的数学期望为_解析：记“不发芽的种子数为 X”，则 B(1 000,0.1)，所以 E()1 0000.1100，而 X2 ，故 E(X)E(2 )2E( )200.答案：200三、解答题(本大题共有 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间 X(单位：分钟 )服从正态分布 N(50,102)，求他在时间段(30,70内赶到火车站的概率解：由 XN(50,10 2)知 50，10，所以 P(30X70)P(50210X50210)95.4%，所以所求概率为 9
14、5.4%.18(本小题满分 12 分)某班有 6 名班干部，其中男生 4 人，女生 2 人，任选 3 人参加学校的义务劳动(1)设所选 3 人中女生人数为 X，求 X 的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件 A， “女生乙被选中”为事件 B，求 P(B)和 P(B|A)解：(1)X 的所有可能取值为 0,1,2，依题意得P(X0) ，P(X1) .C34C36 15 C24C12C36 35P(X2) .C14C2C36 15X 的分布列为X 0 1 2P 15 35 15(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C，则 P(C) ；C34C36 15所求概率为
15、 P( )1P( C)1 .C15 45(3)P(B) .C25C36 1020 12P(B|A) .PA BPAC14C36C25C36 410 2519(本小题满分 12 分)有两个分类变量 x 与 y，其一组观测值如下面的 22 列联表所示：y1 y2x1 a 20ax2 15a 30a其中 a,15a 均为大于 5 的整数，则 a 取何值时，在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系，则2 2.706，而265a30 a 20 a15 a220451550 .6565a 300
16、220451550 1313a 6026090由 22.706 得 a7.19 或 a2.04.又 a5 且 15a5，aZ，即 a8,9.故 a 为 8 或 9 时，在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系20(本小题满分 12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日温差 x/ 10 11 13 12 8发芽数 y
17、/颗 23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，剩下的2 组数据用于回归方程检验(1)若选取 12 月 1 日和 12 月 5 日这两日的数据进行检验，请根据 12 月 2 日至 12 月 4日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为 14 时的发芽数解：(1)由数据，求得 12， 27，x y由公式，求得 ， 3，b 52 a y b x所
18、以 y 关于 x 的线性回归方程为 x3.y 52(2)当 x10 时， 10322，|2223| 2；y 52当 x8 时， 8317，|17 16|2.y 52因此得到的线性回归方程是可靠的当 x14 时， 14335332，y 52所以预测温差为 14 时的发芽数为 32 颗21(2017天津高考)( 本小题满分 12 分) 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， .1213 14(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到
19、1 个红灯的概率解：(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ，(1 12) (1 13) (1 14) 14P(X1) ，12 (1 13) (1 14) (1 12) 13 (1 14) (1 12) (1 13) 14 1124P(X2) ，(1 12) 13 14 12 (1 13) 14 12 13 (1 14) 14P(X3) .12 13 14 124所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .14 1124 14 124 1312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个
20、数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1) P(Y 0，Z1)P( Y1，Z0)P(Y0)P (Z1)P( Y1)P(Z0) .14 1124 1124 14 1148所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .114822(本小题满分 12 分)已知一个口袋中装有 n 个红球(n1 且 nN *)和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖(1)当 n3 时，设三次摸球中( 每次摸球后放回)中奖的次数为 X，求 X 的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回 )恰有两次中奖的概率为 P，当 n 取多少时，P 最大？
21、解：(1)当 n3 时，每次摸出两个球，中奖的概率 P .32C25 35P(X0)C 3 ；03(25) 8125P(X1)C 2 ；1335(25) 36125P(X2)C 2 ；23(35) 25 54125P(X3)C 3 .3(35) 27125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 8125 36125 54125 27125(2)设每次摸球中奖的概率为 p，则三次摸球( 每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为PC p2(1 p)3p 33p 2,0p1，23P9p 26p3p(3p 2)，知在 上 P 为增函数，在 上 P 为减函数，当(0，23) (23，1)p 时，P 取得最大值23所以 p ，即 n23 n20，C1nC12C2n 2 23解得 n1 或 n2.故当 n1 或 n2 时，P 最大