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中考数学培优(含解析)之与圆有关的计算

1、与圆有关的计算聚焦考点温习理解一、正多边形与圆1. 正多边形的半径:正多边形外接圆的半径。2. 正多边形的边心距:正多边形内切圆的半径。3. 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角=018n。4. 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。二、弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180rnl2、扇形面积公式 lRnS21360扇其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 rllS21其中 l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。名师

2、点睛典例分类考向一:与弦长相关的计算典例 1:(2016丹东)如图, AB 是O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与O 相切于点 D,CE AD,交 AD 的延长线于点 E(1 )求证:BDC=A ;(2 )若 CE=4,DE=2,求 AD 的长DECBOA考向二:与弧长和扇形有关的计算典例 2:(2017无锡)如图,已知矩形 ABCD 中,AB 3,AD2,分别以边 AD,BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 1O和半圆 2,一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F,且 EF2(EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧) ,求由 AE,EF,

3、FB及 AB 所围成图形(图中阴影部分)的面积典例 3:(2016吉林)如图,阴影部分是两个半径为 1 的扇形,若 =120,=60,则大扇形与小扇形的面积之差为( )A 3 B 6 C 35 D 65考向三:与圆柱、圆锥有关的计算典例 4:(2018聊城) 用一块圆心角为 216的扇形铁皮,做一个高为 40cm 的圆锥形工件(接缝忽略不计) ,那么这个扇形铁皮的半径是 cm考向四:计算阴影部分的面积 典例 5:如图,ABC 和ABD 都是O 的内接三角形,圆心 O 在边 AB 上,边 AD 分别与BC, OC 交于 E,F 两点,点 C 为 AD 弧的中点(1 )求证:OFBD; (2 )若

4、 21D,且O 的半径 R=6cm 求证:点 F 为线段 OC 的中点; 求图中阴影部分(弓形)的面积考向五:正多边形与圆的有关计算 典例 6:(2015成都)如图,正六边形 ABCDEF 内接于圆 O,半径为 4,则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的长分别为 ( )A 2、 3 B 32、 C 3、 2 D 3、 题 7:(2015上海, )如果一个正多边形的中心角为 72,那么这个正多边形的边数是( )A、4 ; B、5; C、6 ; D、7题 8:(2015台州)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,中心为点 O,有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转,在

5、旋转过程中,这个正六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边) ,当这个六边形的边长最大时,AE 的最小值为_IHEJFGODCBA课时作业能力提升一选择题1 ( 2018襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的O 上,若 OABC,CDA30,则弦 BC 的长为( ) CDBAOA4 B2 C 3 D2 32 ( 2018德州) 如图, 从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形,则此扇形的面积为( )A 2m B 23m C 2m D 2m3 ( 2017绵阳) “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径 AB8c

6、m ,圆柱体部分的高 BC6cm,圆锥体部分的高 CD3cm,则这个陀螺的表面积是( )A68cm 2 B74cm 2 C84cm 2 D100cm 24 ( 2018泰安)如图,BM 与O 相切于点 B,若MBA140 ,则ACB 的度数为( )A40 B50 C60 D705 ( 2018深圳)如图,一把直尺, 60的直角三角形和光盘如图摆放,A 为 60角与直尺交点,AB 3,则光盘的直径是( ) A3 B3 C6 D6 3 36 (2017达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A 2 B 23 C 2 D 37 ( 20

7、18成都)如图,在 ABCD 中,B=60,C 的半径为 3,则图中阴影部分的面积是( )A B2 C.3 D6二、填空题8 ( 2018 眉山)如图,ABC 是等腰直角三角形, ACB90,ACBC2,把ABC 绕点C A B M O A 按顺时针方向旋转 45后得到 ABC,则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 9(2018黄石)在 RtABC 中,C90,CA8,CB 6,则 ABC 内切圆的周长为_.10 ( 2016泸州)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1 ,0) ,B(1 a,0) ,C( 1+a,0) (a0) ,点 P 在以 D(4 ,4)为圆心,

8、1 为半径的圆上运动,且始终满足BPC=90,则 a 的最大值是 三、解答题11 ( 2017黔南州)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形 ABC(顶点是网格线的交点)(1 )先将ABC 竖直向上平移 5 个单位,再水平向右平移 4 个单位得到 1CBA,请画出 1CBA;(2 )将 绕 1点顺时针旋转 90,得 21CBA,请画出 21;(3 )求线段 变换到 2CB的过程中扫过区域的面积12 ( 2018 十堰 )如图,扇形 OAB 中,AOB120, OA12,C 是 OB 的中点,CDOA交 于点 D,以 OC 为半径的 交 OB 于点 E,求图中阴影

9、部分的面积AB CE13 ( 2018扬州)如图,在ABC 中,ABAC,AOBC 于点 O,OEAB 于点 E,以点 O 为圆心,OE 为半径作半圆,交 AO 于点 F(1 )求证:AC 是O 的切线;(2 )若点 F 是 AO 的中点, OE3 ,求图中阴影部分的面积;(3 )在(2 )的条件下,点 P 是 BC 边上的动点,当 PE PF 取最小值时,直接写出 BP 的长14 ( 2018襄阳)如图,AB 是O 的直径,AM 和 BN 是O 的两条切线,E 为O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CBCE(1 )求证:DA DE;(2 )若 AB6,C

10、D4 3,求图中阴影部分的面积15 .(2018武汉)如图,PA 是O 的切线,A 是切点,AC 是直径,AB 是弦,连接PB、PC,PC 交 AB 于点 E,且 PAPB.(1 )求证:PB 是O 的切线;(2 )若APC3BPC,求 CEP的值.16 ( 2018深圳)如图,在O 中,BC2,ABAC,点 D 为 AC上的动点,且 cosB(1 )求 AB 的长度;(2 )求 ADAE 的值;(3 )过点 A 作 AHBD 于 H,求证:BH CDDHEABDCO H与圆有关的计算聚焦考点温习理解一、正多边形与圆1. 正多边形的半径:正多边形外接圆的半径。2. 正多边形的边心距:正多边形内

11、切圆的半径。3. 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角=018n。4. 正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。二、弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180rnl2、扇形面积公式 lRnS21360扇其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 rllS21其中 l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。名师点睛典例分类考向一:与弦长相关的计算典例 1:(2016丹东)如图, AB 是O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD

12、 与O 相切于点 D,CE AD,交 AD 的延长线于点 E(1 )求证:BDC=A ;(2 )若 CE=4,DE=2,求 AD 的长DECBOA【分析】 (1)利用圆的有关性质,综合运用相似或锐角三角函数导比、勾股定理等方法及知识,解决与圆有关的线段计算问题【解答】解:(1)证明:连接 ODCD 是O 切线, ODC=90即ODB+BDC=90.AB 为 O 的直径,ADB=90. 10 即ODB+ADO=90 BDC= ADO OA=OD, ADO=A BDC= A (2) 易得 E=ADB=90 .DBEC DCE=BDC BDC= A , A=DCE E =E,AEC CED EDC2

13、16=2(2+AD),AD =6 DECBOA考向二:与弧长和扇形有关的计算典例 2:(2017无锡)如图,已知矩形 ABCD 中,AB 3,AD2,分别以边 AD,BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 1O和半圆 2,一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交于点 E、点 F,且 EF2(EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧) ,求由 AE,EF, FB及 AB 所围成图形(图中阴影部分)的面积【分析】考查扇形面积的计算,矩形的性质,梯形的性质,连接 1O2, 1E,O2F,过 E作 EG 1O2,过 F 12,得到四边形 EGHF 是矩形,根据矩形的性质得到GHEF2

14、,求得 G ,得到 1OEG30,根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论【解答】解:连接 12, 1E, 2F,则四边形 1O2FE 是等腰梯形,过 E 作 EG 1O2O,过 FH ,四边形 EGHF 是矩形,GHEF2, 1G 2, 1OE1,GE 23, 21COG; 1EG30,A 1E30,同理B F30,阴影部分的面积12112 OEAOOSS梯 形扇 形知 形 6345)3(3602 典例 3:(2016吉林)如图,阴影部分是两个半径为 1 的扇形,若 =120,=60,则大扇形与小扇形的面积之差为( )A 3 B 6 C 35 D 65【分析】利用扇形的面积公式分别求出两

15、个扇形的面积,再用较大面积减去较小的面积即可【解答】解: 636012360122 ,故答案:B考向三:与圆柱、圆锥有关的计算典例 4:(2018聊城) 用一块圆心角为 216的扇形铁皮,做一个高为 40cm 的圆锥形工件(接缝忽略不计) ,那么这个扇形铁皮的半径是 cm【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形,其底面周长正好是展开图中扇形的弧长,母线长正好是扇形的半径,利用这一关系和勾股定理列方程组即可求得【解答】解:设扇形铁皮的半径为 Rcm,圆锥工件的底面半径为 rcm,根据题意得2216804Rr,解方程组,得 503Rr,所以扇形铁皮的半径为 50cm.故答案:50考向四:计算阴影部分的面

16、积 典例 5:如图,ABC 和ABD 都是O 的内接三角形,圆心 O 在边 AB 上,边 AD 分别与BC, OC 交于 E,F 两点,点 C 为 AD 弧的中点(1 )求证:OFBD; (2 )若 21EDF,且O 的半径 R=6cm 求证:点 F 为线段 OC 的中点; 求图中阴影部分(弓形)的面积【分析】考查圆的有关性质及利用扇形和三角形面积,计算弓形面积【解答】解:(1)证明: OC 为半径,点 C 为 CD 的中点,OCAD。AB 为直径,BDA=90 , BDADOF BD(2 ) 证明:点 O 为 AB 的中点,点 F 为 AD 的中点,OF= 1BD。FCBD ,FCE=DBE

17、 FEC=DEB,ECFEBD, 2EDFBC,FC= 1BD。FC=FO,即点 F 为线段 OC 的中点。解:FC=FO,OCAD,AC=AO,又AO=CO,AOC 为等边三角形根据锐角三角函数定义得AOC 的高为 362 2291360cmS阴 答:图中阴影部分(弓形)的面积为 236 考向五:正多边形与圆的有关计算 典例 6:(2015成都)如图,正六边形 ABCDEF 内接于圆 O,半径为 4,则这个正六边形的边心距 OM 和弧 BC 的长分别为 ( )A 2、 3 B 32、 C 3、 2 D 3、 【分析】考查正多边形的边长、边心距、半径、中心角及面积等的计算【解答】解:在正六边形

18、中,我们连接 OB、OC 可以得到OBC 为等边三角形,边长等于半径 4。OM 为边心距,所以 OMBC ,在边长为 4 的等边三角形中,边上的高32OM。弧 BC 所对的圆心角为 60,由弧长计算公式: 342360 故答案:D题 7:(2015上海, )如果一个正多边形的中心角为 72,那么这个正多边形的边数是( )A、4 ; B、5; C、6 ; D、7【分析】考查正多边形中心角的计算.【解答】解:边数为 572360n故答案:B题 8:(2015台州)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,中心为点 O,有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转,在旋转过程中,这个正

19、六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边) ,当这个六边形的边长最大时,AE 的最小值为_ IHEJFGODCBA【分析】当正六边形 EFGHIJ 的边长最大时,要使 AE 最小,以点 H(H 与 O 重合) 为圆心,对角线 EH 为半径的圆应与正方形 ABCD 相切,且点 E 在线段 OA 上,此时只需求出 OE,OA 的值,即可得解【解答】解:当这个正六边形的边长最大时,作正方形 ABCD 的内切圆O,当正六边形EFGHIJ 的顶点 H 与 O 重合,且点 E 在线段 OA 上时,AE 最小,如图所示:正方形 ABCD的边长为 1,O 的半径 OE 为 21,AO= AC= 212

20、,则 AE 的最小值为2 EJIFGO(H)DCBA故答案: 21课时作业能力提升一选择题1 ( 2018襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的O 上,若 OABC,CDA30,则弦 BC 的长为( ) CDBAOA4 B2 C 3 D2 3【分析】连接 OC,根据垂径定理及圆周角定理即可计算【解答】解:连接 OC,根据垂径定理及圆周角定理,可得BC 2CE,COE 2CDA 60,所以 CEOCsinCOE 2 3 ,BC2 3EOA BDC故答案:D2 ( 2018德州) 如图, 从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形,则此扇形的面积为( )A 2m B

21、23m C 2m D 2m【分析】连接 AC 利用圆周角定理及扇形面积计算公式可得【解答】解:连接 AC, B90 ,AC 是O 的直径,ABBC,ABBC 2AC,此扇形的面积为 2211()4A故答案:A,3 ( 2017绵阳) “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径 AB8cm ,圆柱体部分的高 BC6cm,圆锥体部分的高 CD3cm,则这个陀螺的表面积是( )A68cm 2 B74cm 2 C84cm 2 D100cm 2【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积【解答】解:底面圆的直径为 8cm,高为 3cm,母线长为 5cm,

22、其表面积45428684cm 2,故答案:C4 ( 2018泰安)如图,BM 与O 相切于点 B,若MBA140 ,则ACB 的度数为( )A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA,OB,由切线性质定理得 OBBM, 从而可得 BAO=ABO=50 ,则AOB=80,利用圆周角定理得ACB= 21AOB=40【解答】解:如图,连接 OA,OB,则 OBBM,BAO=ABO=MBAOBM=14090=50, AOB=180502=80,ACB= AOB=40故答案:A5 ( 2018深圳)如图,一把直尺, 60的直角三角形和光盘如图摆放,A 为 60角与直尺交点,AB 3,则光盘的直径是

23、( ) A3 B3 C6 D6 3 3【分析】根据题意求出OAB60,由直角三角形的性质和勾股定理求得 OB,从而得出光盘的直径【解答】解: CAD 60 ,CAB120 ,AB 和 AC 与O 相切,OABOAC,OAB CAB 60,AB3cm,OA6cm ,由勾股定理得12OB3 cm,光盘的直径 6 cm3 3C A B M O C A B M O 故答案:D6 (2017达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A 2 B 23 C 2 D 3【分析】本题主要考查多边形与圆中多边形的半径、边心距、中心角等概念;由于内接正三

24、角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三角形分别求出边心距的长,由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形,进而可得其面积【解答】解:如图 1,OC=2,OD=2sin30=1 ;如图 2,OB=2,OE=2sin45= 2;如图 3,OA=2,OD=2cos30= 3,则该三角形的三边分别为:1, , , 2221 ,该三角形是直角三角形, 该三角形的面积是:27 ( 2018成都)如图,在 ABCD 中,B=60,C 的半径为 3,则图中阴影部分的面积是( )xyOA B2 C.3 D6【分析】由平行四边形性质及扇形面积计算公式可得【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,A

25、BCD.B+C=180.C=180 60=120. 36012阴 影S=3.故答案:C 二、填空题8 ( 2018 眉山)如图,ABC 是等腰直角三角形, ACB90,ACBC2,把ABC 绕点A 按顺时针方向旋转 45后得到 ABC,则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 【分析】由图形旋转组合可得 S 阴 S 扇 ABBS ACB S 扇 ACCS ABC S 扇 ABBS 扇 ACC,【解答】解:S 阴 S 扇 ABBS ACB S 扇 ACCS ABC S 扇 ABBS 扇 ACC 2245451()360360故答案: 219(2018黄石)在 RtABC 中,

26、C90,CA8,CB 6,则 ABC 内切圆的周长为_.【分析】由ABC 内切圆的半径及圆周长公式可得【解答】解:ABC 内切圆的半径为: 12(6810) 2,故该圆的周长为 4.故答案:410 ( 2016泸州)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1 ,0) ,B(1 a,0) ,C( 1+a,0) (a0) ,点 P 在以 D(4 ,4)为圆心,1 为半径的圆上运动,且始终满足BPC=90,则 a 的最大值是 【分析】考查三角形的外接圆与外心相关计算首先证明 AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出D 上到点 A 的最大距离即可解决问题【解答】解:A(1 ,0) ,B (

27、1a,0 ) ,C(1+a ,0 ) (a 0) ,AB=1(1 a)=a, CA=a+11=a,AB=AC ,BPC=90,PA=AB=AC=a,如图延长 AD 交D 于 P,此时 AP最大,A(1,0 ) ,D(4 ,4) ,AD=5,AP=5+1=6,a 的最大值为 6故答案:6三、解答题11 ( 2017黔南州)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形 ABC(顶点是网格线的交点)(1 )先将ABC 竖直向上平移 5 个单位,再水平向右平移 4 个单位得到 1CBA,请画出 1CBA;(2 )将 绕 1点顺时针旋转 90,得 21CBA,请画出 21;(3

28、 )求线段 1CB变换到 21的过程中扫过区域的面积【分析】考查动手操作能力及作图旋转变换;扇形面积的计算;作图平移变换(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用旋转的性质进而得出对应点位置,进而得出答案;(3)首先得出圆心角以及半径,再利用扇形面积公式直接计算得出答案【解答】解:(1)如图所示: 1CBA,即为所求;(2 )如图所示: 21,即为所求;(3 )线段 B1C1 变换到 B1C2 的过程中扫过区域的面积为: 49360212 ( 2018 十堰 )如图,扇形 OAB 中,AOB120, OA12,C 是 OB 的中点,CDOA交 于点 D,以 OC 为半径

29、的 交 OB 于点 E,求图中阴影部分的面积AB CE【分析】 ,连接 OD,AD ,易得 ADO 为等边三角形,再由图形组合得 S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形COE(S 扇形 AODS COD)进行计算【解答】解:如图,连接 OD,AD,点 C 为 OA 的中点,OC OA OD,CD OA, CDO30 ,DOC60, ADO 为等边三角形,12 12OD OA12,OCCA 6,CD 6 ,S 扇形(OD)2 (OC)2 (12)2 6 3AOD 24 ,60(12)2 360S 阴影 S 扇形 AOBS 扇形 COE(S 扇形 AODS COD) (24 66 )12+18 120

30、(12)2 360 1206360 12 3 313 ( 2018扬州)如图,在ABC 中,ABAC,AOBC 于点 O,OEAB 于点 E,以点 O 为圆心,OE 为半径作半圆,交 AO 于点 F(1 )求证:AC 是O 的切线;(2 )若点 F 是 AO 的中点, OE3 ,求图中阴影部分的面积;(3 )在(2 )的条件下,点 P 是 BC 边上的动点,当 PE PF 取最小值时,直接写出 BP 的长【分析】 (1)过点 O 作 AC 的垂线,交 AC 于点 D,证明 ODOE,根据“圆心到直线的距离等于该圆的半径,则这条直线与该圆相切”即可证明 AC 是O 的切线;(2 )阴影部分面积等

31、于AEO 的面积扇形 OEF 的面积,要求扇形的面积必须求出圆心角EOA 的度数,由点 F 是 AO 的中点可知 AO2OF2OE,由三角函数的知识可以得出EOA60;(3 )作点 E 关于 OB 的对称点 G,当点 F、P、G 共线时,PEPF 才取最小值【解答】解:(1)过点 O 作 AC 的垂线 OD,垂足为 DABAC,AO BC 于点OOB OC,BAOCAOOEAB,ODACOE OD OE 为O 的半径AC 是O的切线(2 ) 点 F 是 AO 的中点 AO2OF OFOE 3 AO 6,在 RtAOE 中,cos AOE316OEAAOE60AEOE tanAOE 3 tan6

32、03阴影部分的面积 2AEEO260 133 260 93;(3 ) BP 3 14 ( 2018襄阳)如图,AB 是O 的直径,AM 和 BN 是O 的两条切线,E 为O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CBCE(1 )求证:DA DE;(2 )若 AB6,CD4 3,求图中阴影部分的面积G【分析】 (1)连接 OE,OC,通过证明OECOBC ,得到 OECOBC90,先证得 CD是 O 的切线,再根据切线长定理,可得 DADE (2)过点 D 作 DFBC 于点 F,得DFAB,在 RtDFC 中,先运用勾股定理求出 FC2 3,再根据CDBCAD4

33、 3,FC BCAD2 求出 BC 长,然后利用特殊锐角三角函数求出BOC 的度数,最后根据 S 阴影部分 S 四边形 BCEOS 扇形 OBE 2SOBCS 扇形 OBE 计算求解【解答】解:(1)证明:连接 OE,OCBN 切O 于点B,OBN90 OEOB,OCOC ,CECB,OECOBCOECOBC90CD 是O 的切线AD 切O 于点 A,DADE(2 )过点 D 作 DFBC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形ADBF,DFAB6DCBCAD4 3FC 2DC2 3,BCAD 2 3BC3 在 Rt OBC 中, tanBOC BO 3,BOC 60 OEC OBC,BOE2B

34、OC120S 阴影部分 S 四边形 BCEO S 扇形OBE21BCOB 036OB29 3315 .(2018武汉)如图,PA 是O 的切线,A 是切点,AC 是直径,AB 是弦,连接PB、PC,PC 交 AB 于点 E,且 PAPB.(1 )求证:PB 是O 的切线;(2 )若APC3BPC,求 CEP的值.【分析】 (1)由切线的性质得到 OAP90,再通过OAPOBP 得到OBP OAP,从而判断出 PB 是O 的切线.;(2 )根据切线长定理得到 OPBC,再根据条件APC 3BPC 得到 CBBP.由PBFPOB ,判断出 PF 与 OF 的关系,再由PFE CBE 将 PF 与

35、OF 的关系转移到 PE与 CE 的关系 .【解答】解:(1)证明:分别连接 OB,OP,在OAP 和 OBP 中,OABP,OAPOBP(SSS),OBP OAP ,PA 是O 的切线,OBPOAP90,PB是O 的切线.连接 BC,设 AB 与 OP 交于点 F,AC 是O 的直径,ABC90,PA,PB 是O的切线,PO 垂直平分 AB, PO 平分APB .OP BC, OPCPCB.APC3BPC , OPCCPB, PCB CPB.CBBP 设OFt,则 CB BP2t ,由PBF POB ,得 PB2PFPO.即(2t) 2 PF(PFt).解得 PF172t.(取正值)PFE

36、CBE, PEFCB, PFBC 174.16 ( 2018深圳)如图,在O 中,BC2,ABAC,点 D 为 AC上的动点,且 cosB(1 )求 AB 的长度;(2 )求 ADAE 的值;(3 )过点 A 作 AHBD 于 H,求证:BH CDDH【分析】 (1)作 AMBC,由等腰三角形三线合一的性质得 BMCM BC1,在 Rt12AMB 中,根据余弦定义得 cosB ,由此求出 ABBMAB(2 )连接 CD,根据等腰三角形性质等边对等角得ACBABC,再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得ADCACE;由相似三角形的判定得EACCAD,根据相似三角形的性质得 ; 从而得 ADAEA

37、C 2AB 2ACAD AEAC(3 )在 BD 上取一点 N,使得 BNCD,根据 SAS 得ABNACD,再由全等三角形的性质得 ANAD,根据等腰三角形三线合一的性质得 NHDH,从而得BHBN+NHCD+DH【解答】解:(1)作 AMBC 于点 MABAC,AMBC,BC2,BMCM 12BC 1,cosB ,在 RtAMB 中,BM1, AB BMcosB 1 BMAB 10(2)连接 DC,ABACACBABC,四边形 ABCD 内接于圆O,ADCABC180 ,ACEACB 180,ADCACE,CAE 为公共角,EABDCO HEAC CAD, ,ADAEAC 2( ) 210ACAD AEAC 10(3) 证明:在 BD 上取一点 N,使得 BNCD, 在ABN 和ACD 中 AB ACABN ACDBN CD )ABN ACD(SAS) ,ANAD,AH BD,ANAD,NHDH ,又BNCD ,NHDH ,BHBN+NHCD+DH EABDCO HMEBDCO HMN